תרגול · אינטגרלים של eˣ ו־1/x ושטחים · כיתה י״ב

עשרה תרגילים על כל הפרק: פונקציה קדומה, אינטגרל מסוים עם $e$ ו- $\ln$ , שטח בין גרף לציר, שטח בין שני גרפים ושטח מתחת לגרף של $f'$ . מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

מהי $\int (e^x+2x)\,dx$ ?

$xe^x+x^2+C$
$e^x+2+C$
$e^x+x^2+C$
$\frac{e^{x+1}}{x+1}+x^2+C$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $e^x+x^2+C$

הפתרון:

\begin{aligned}\int e^x\,dx &= e^x \qquad \int 2x\,dx \\ &= x^2\end{aligned}

כל מחובר לחוד

הנכונה: $e^x+x^2+C$ . $e^x+2$ היא נגזרת. והתשובה עם $x+1$ מעתיקה את הכלל של חזקות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו את $\int_0^{\ln 3} 2e^{2x}\,dx$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\int 2e^{2x}\,dx=e^{2x}

ה- $2$ מבטל את החלוקה

\begin{aligned}e^{2\ln 3}-e^0 &= 9-1 \\ &= 8\end{aligned}

$e^{2\ln 3}=3^2$

$e^{2\ln 3}=\left(e^{\ln 3}\right)^2=9$ , ולא $6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חשבו את $\int_{-2}^{0} \frac{1}{x+3}\,dx$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.1

הפתרון:

\Big[\ln(x+3)\Big]_{-2}^{0}=\ln 3-\ln 1

מציבים

=\ln 3\approx 1.10

$\ln 1=0$

בגבול $-2$ : $-2+3=1$ , ו- $\ln 1=0$ . הגבול השלילי לא מפריע, כי $x+3>0$ בכל הקטע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $y=e^{-x}$ , הצירים והישר $x=\ln 4$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

\int e^{-x}\,dx=-e^{-x}

המקדם $-1$

\begin{aligned}-e^{-\ln 4}+e^0 &= -\frac{1}{4}+1 \\ &= 0.75\end{aligned}

מציבים

$e^{-\ln 4}=\frac{1}{4}$ . מי ששכח את המינוס בקדומה קיבל $-0.75$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $y=e^x$ , הישר $y=2$ וציר ה- $y$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.39

הפתרון:

\begin{aligned}e^x &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 2\end{aligned}

החיתוך

\begin{aligned}S &= \Big[2x-e^x\Big]_0^{\ln 2} \\ &= (2\ln 2-2)-(0-1)\end{aligned}

הישר למעלה

=2\ln 2-1\approx 0.39

התוצאה

הישר $y=2$ למעלה: ב- $x=0$ , $e^0=1<2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

$\int_0^1 \frac{1}{x+1}\,dx=\ln 2$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\Big[\ln(x+1)\Big]_0^1 &= \ln 2-\ln 1 \\ &= \ln 2\end{aligned}

מציבים

נכון. $\ln 2\approx 0.69$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה $f(x)=\frac{1}{2}e^{2x}-2x$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f'$ ושני הצירים. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.19

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= e^{2x}-2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{1}{2}\ln 2\end{aligned}

החיתוך

0<x<\frac{1}{2}\ln 2: \ f'(x)<0

מתחת לציר

\begin{aligned}S &= f(0)-f\left(\tfrac{1}{2}\ln 2\right) \\ &= \frac{1}{2}-(1-\ln 2) \\ &= \ln 2-0.5\approx 0.19\end{aligned}

מציבים ב- $f$

$e^{2\cdot\frac{1}{2}\ln 2}=2$ , ולכן $f\left(\frac{1}{2}\ln 2\right)=1-\ln 2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — אתגר

תרגיל 8

חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של $y=\frac{8}{x}$ לבין הישר $y=6-x$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.45

הפתרון:

\begin{aligned}x^2-6x+8 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= 4\end{aligned}

החיתוכים

x=3: \ 3>\frac{8}{3}

הישר למעלה

\begin{aligned}S &= \Big[6x-\frac{x^2}{2}-8\ln x\Big]_2^4 \\ &= (16-8\ln 4)-(10-8\ln 2)\end{aligned}

מציבים

=6-8\ln 2\approx 0.45

$\ln 4=2\ln 2$

שני הגבולות נותנים $\ln$ : $8\ln 4-8\ln 2=8\ln 2$ . בלי חוק הלוגריתמים קשה לפשט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה $f(x)=e^{2x}-2e^x$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ , ציר ה- $x$ וציר ה- $y$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

\begin{aligned}e^x(e^x-2) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 2\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה- $x$

0<x<\ln 2: \ f(x)<0

מתחת לציר

\begin{aligned}S &= -\Big[\frac{1}{2}e^{2x}-2e^x\Big]_0^{\ln 2} \\ &= -\left[(2-4)-\left(\frac{1}{2}-2\right)\right] \\ &= 0.5\end{aligned}

מציבים

האינטגרל יוצא $-0.5$ : הגרף מתחת לציר. השטח הוא $0.5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה $f(x)=\frac{3}{x-1}$ , כאשר $x>1$ . הנקודה $A$ על הגרף, ו- $x_A=4$ . דרך $A$ העבירו אנך לציר ה- $x$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף, ציר ה- $x$ , האנך והישר $x=2$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.3

הפתרון:

\begin{aligned}S &= \int_2^4 \frac{3}{x-1}\,dx \\ &= \Big[3\ln(x-1)\Big]_2^4\end{aligned}

הגרף מעל הציר

=3\ln 3-3\ln 1=3\ln 3\approx 3.30

מציבים

האנך דרך $A(4,\,1)$ הוא $x=4$ . בגבול $x=2$ : $\ln 1=0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — אתגר

השיעור הבא מחכה ב-elev