סדרה 3 — ברמת בגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שלוש שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה: פונקציה עם ee, פונקציה עם ln⁡\ln, ושני גרפים.

כמו בבחינה: כל סעיף משתמש בסעיף שלפניו. לפני שמתחילים סעיף, חפשו מה כבר מצאתם: חיתוך, קיצון, תחום.

תרגילים

תרגיל 1

−2−11−1123xyfy = 3

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−4ex+3f(x)=e^{2x}-4e^x+3. א. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף של ff עם ציר ה-xx.

x=0x=0 ; x=ln⁡x=\ln ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=0x=0 ; x=ln⁡x=\ln 3

הפתרון:

t=ex: t2−4t+3=0\begin{aligned}t &= e^x: \ t^2-4t+3 \\ &= 0\end{aligned}

הצבה

t=1 t=3 ⇒ x=0 x=ln⁡3\begin{aligned}t &= 1 \\ \ t &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= \ln 3\end{aligned}

חוזרים ל-xx

הגרף עובר דרך ראשית הצירים: f(0)=1−4+3=0f(0)=1-4+3=0. זה יהיה גבול בסעיף ד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−4ex+3f(x)=e^{2x}-4e^x+3. ב. מצאו את נקודת הקיצון של ff וקבעו את סוגה.

מינימום: x=ln⁡x=\ln ____ , y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מינימום: x=ln⁡x=\ln 2 , y=y= -1

הפתרון:

f′(x)=2e2x−4ex=2ex(ex−2)=0 ⇒ x=ln⁡2\begin{aligned}f'(x) &= 2e^{2x}-4e^x \\ &= 2e^x(e^x-2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 2\end{aligned}

הנגזרת

f′(0)=−2<0f′(1)=2e2−4e>0\begin{aligned}f'(0) &= -2<0 \qquad f'(1) \\ &= 2e^2-4e>0\end{aligned}

מ-−- ל-++

f(ln⁡2)=4−8+3=−1\begin{aligned}f(\ln 2) &= 4-8+3 \\ &= -1\end{aligned}

המינימום

ה-xx של המינימום בין שני החיתוכים 00 ו-ln⁡3\ln 3, ו-yy שלילי: הגרף יורד מתחת לציר ביניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−4ex+3f(x)=e^{2x}-4e^x+3. ג. מצאו את האסימפטוטה האופקית של ff כאשר x→−∞x\to-\infty. רשמו את ערך ה-yy שלה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x→−∞: e2x→0, ex→0x\to-\infty: \ e^{2x}\to 0, \ e^x\to 0

החזקות של ee דועכות

f(x)→3f(x)\to 3

האסימפטוטה y=3y=3

כאשר x→−∞x\to-\infty רק הקבוע נשאר. כאשר x→∞x\to\infty אין אסימפטוטה: e2xe^{2x} גדל בלי גבול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−4ex+3f(x)=e^{2x}-4e^x+3. ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של ff וציר ה-xx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.7

הפתרון:

0≤x≤ln⁡3: f(x)≤00\le x\le\ln 3: \ f(x)\le 0

בין החיתוכים, מתחת לציר

S=−[12e2x−4ex+3x]0ln⁡3S=-\Big[\frac{1}{2}e^{2x}-4e^x+3x\Big]_0^{\ln 3}

אפס פחות ff

=−[(4.5−12+3ln⁡3)−(0.5−4)]=4−3ln⁡3≈0.70=-\left[(4.5-12+3\ln 3)-(0.5-4)\right]=4-3\ln 3\approx 0.70

מציבים

הגבולות הם שני החיתוכים מסעיף א. האינטגרל עצמו יוצא 3ln⁡3−4<03\ln 3-4<0; השטח הוא המספר החיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(4x−x2)f(x)=\ln(4x-x^2). א. מהו תחום ההגדרה של ff?

  1. x≠0x\ne 0 וגם x≠4x\ne 4
  2. 0<x<40<x<4
  3. x<0x<0 או x>4x>4
  4. x>0x>0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 0<x<40<x<4

הפתרון:

4x−x2>0 ⇒ x(4−x)>04x-x^2>0 \ \Rightarrow \ x(4-x)>0

הביטוי בתוך ln⁡\ln חיובי

0<x<40<x<4

פרבולה בוכה: חיובית בין השורשים

הנכונה: 0<x<40<x<4. התשובה x<0x<0 או x>4x>4 היא איפה שהביטוי שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(4x−x2)f(x)=\ln(4x-x^2). ב. לגרף של ff יש אסימפטוטה אנכית אחת בלבד: x=0x=0.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x→0+: 4x−x2→0+x\to 0^+: \ 4x-x^2\to 0^+

ובאותה דרך x→4−x\to 4^-

ln⁡(0+)→−∞\ln(0^+)\to-\infty

שתי אסימפטוטות: x=0x=0, x=4x=4

לא נכון. בשני הקצוות של התחום הביטוי שבתוך ln⁡\ln שואף ל-00. לכן יש שתי אסימפטוטות אנכיות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(4x−x2)f(x)=\ln(4x-x^2). ג. מצאו את נקודת הקיצון של ff וקבעו את סוגה.

מקסימום: x=x= ____ , y=ln⁡y=\ln ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקסימום: x=x= 2 , y=ln⁡y=\ln 4

הפתרון:

f′(x)=4−2x4x−x2=0 ⇒ x=2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{4-2x}{4x-x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

הנגזרת

f′(1)>0f′(3)<0f'(1)>0 \qquad f'(3)<0

מ-++ ל-−-

f(2)=ln⁡4f(2)=\ln 4

המקסימום

המכנה 4x−x24x-x^2 חיובי בכל התחום, ולכן הסימן של f′f' הוא הסימן של 4−2x4-2x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(4x−x2)f(x)=\ln(4x-x^2). ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=3x=3. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.58

הפתרון:

1<x<2: f′>02<x<3: f′<01<x<2: \ f'>0 \qquad 2<x<3: \ f'<0

הגרף של f′f' חותך את הציר ב-x=2x=2

S=(f(2)−f(1))+(f(2)−f(3))S=\big(f(2)-f(1)\big)+\big(f(2)-f(3)\big)

כל חלק לבד

=(ln⁡4−ln⁡3)+(ln⁡4−ln⁡3)=2ln⁡43≈0.58=(\ln 4-\ln 3)+(\ln 4-\ln 3)=2\ln\frac{4}{3}\approx 0.58

f(1)=f(3)=ln⁡3f(1)=f(3)=\ln 3

אינטגרל אחד מ-11 עד 33 נותן f(3)−f(1)=0f(3)-f(1)=0. שני החלקים מתבטלים, ולכן חותכים ב-x=2x=2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונות הפונקציות f(x)=exf(x)=e^x ו-g(x)=e2−xg(x)=e^{2-x}. א. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של הגרפים.

x=x= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x= 1

הפתרון:

ex=e2−x ⇒ x=2−x\begin{aligned}e^x &= e^{2-x} \ \Rightarrow \ x \\ &= 2-x\end{aligned}

בסיס שווה, מעריכים שווים

x=1x=1

פותרים

אין צורך ב-ln⁡\ln: שני האגפים חזקות של ee, ולכן משווים את המעריכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונות הפונקציות f(x)=exf(x)=e^x ו-g(x)=e2−xg(x)=e^{2-x}. ב. חשבו את השטח המוגבל על ידי שני הגרפים וציר ה-yy. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.95

הפתרון:

x=0: g(0)=e2>f(0)=1\begin{aligned}x &= 0: \ g(0) \\ &= e^2>f(0) \\ &= 1\end{aligned}

gg למעלה בין 00 ל-11

∫e2−x dx=−e2−x\int e^{2-x}\,dx=-e^{2-x}

המקדם של xx הוא −1-1

S=[−e2−x−ex]01=(−e−e)−(−e2−1)=e2−2e+1\begin{aligned}S &= \Big[-e^{2-x}-e^x\Big]_0^1 \\ &= (-e-e)-(-e^2-1) \\ &= e^2-2e+1\end{aligned}

מציבים

=(e−1)2≈2.95=(e-1)^2\approx 2.95

התוצאה

הקדומה של e2−xe^{2-x} היא −e2−x-e^{2-x}: המינוס מגיע מהמקדם −1-1 של xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת