סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בדרגה בינונית: שטח עם חיתוך שמוצאים בעזרת ln⁡\ln, שטח בין שני גרפים עם הצבה, ושטח מתחת לגרף של f′f'.

בכל שאלת שטח: חיתוכים, מי למעלה, ורק אז אינטגרל.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=e2x−9f(x)=e^{2x}-9. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של ff ושני הצירים. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.89

הפתרון:

e2x=9 ⇒ x=12ln⁡9=ln⁡3\begin{aligned}e^{2x} &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{1}{2}\ln 9 \\ &= \ln 3\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה-xx

0<x<ln⁡3: f(x)<00<x<\ln 3: \ f(x)<0

מתחת לציר

S=∫0ln⁡3(9−e2x) dx=[9x−12e2x]0ln⁡3=(9ln⁡3−4.5)+0.5\begin{aligned}S &= \int_0^{\ln 3}(9-e^{2x})\,dx \\ &= \Big[9x-\frac{1}{2}e^{2x}\Big]_0^{\ln 3} \\ &= (9\ln 3-4.5)+0.5\end{aligned}

אפס פחות ff

=9ln⁡3−4≈5.89=9\ln 3-4\approx 5.89

התוצאה

הגרף מתחת לציר, ולכן מחשבים ∫(0−f)\int(0-f). ו-12ln⁡9=ln⁡3\frac{1}{2}\ln 9=\ln 3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונות f(x)=exf(x)=e^x ו-g(x)=4−3e−xg(x)=4-3e^{-x}. חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.39

הפתרון:

t2−4t+3=0 ⇒ t=1 t=3 ⇒ x=0 x=ln⁡3\begin{aligned}t^2-4t+3 &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 1 \\ \ t &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= \ln 3\end{aligned}

החיתוכים, עם t=ext=e^x

g(0.5)≈2.18>f(0.5)≈1.65g(0.5)\approx 2.18>f(0.5)\approx 1.65

gg למעלה

S=[4x+3e−x−ex]0ln⁡3=(4ln⁡3+1−3)−(3−1)\begin{aligned}S &= \Big[4x+3e^{-x}-e^x\Big]_0^{\ln 3} \\ &= (4\ln 3+1-3)-(3-1)\end{aligned}

מציבים

=4ln⁡3−4≈0.39=4\ln 3-4\approx 0.39

התוצאה

הגבולות הם שני החיתוכים. e−ln⁡3=13e^{-\ln 3}=\frac{1}{3}, ולכן 3e−ln⁡3=13e^{-\ln 3}=1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

איפה נחתכים הגרפים של y=e2xy=e^{2x} ו-y=ex+6y=e^x+6?

  1. x=ln⁡2x=\ln 2
  2. x=12ln⁡6x=\frac{1}{2}\ln 6
  3. x=ln⁡3x=\ln 3
  4. x=ln⁡6x=\ln 6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x=ln⁡3x=\ln 3

הפתרון:

t2−t−6=0 ⇒ t=3 t=−2\begin{aligned}t^2-t-6 &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 3 \\ \ t &= -2\end{aligned}

t=ext=e^x

ex=3 ⇒ x=ln⁡3\begin{aligned}e^x &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 3\end{aligned}

t=−2t=-2 נפסל

הנכונה: ln⁡3\ln 3. ln⁡2\ln 2 בא מהפתרון הפסול t=−2t=-2 בלי הסימן. 12ln⁡6\frac{1}{2}\ln 6 מתעלם מ-exe^x שבאגף ימין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של y=6xy=\frac{6}{x} לבין הישר y=7−xy=7-x. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.75

הפתרון:

x2−7x+6=0 ⇒ x=1 x=6\begin{aligned}x^2-7x+6 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 6\end{aligned}

החיתוכים

x=2: 5>3x=2: \ 5>3

הישר למעלה

S=[7x−x22−6ln⁡x]16=(24−6ln⁡6)−6.5=17.5−6ln⁡6≈6.75\begin{aligned}S &= \Big[7x-\frac{x^2}{2}-6\ln x\Big]_1^6 \\ &= (24-6\ln 6)-6.5 \\ &= 17.5-6\ln 6\approx 6.75\end{aligned}

מציבים

בגבול העליון: 42−18−6ln⁡642-18-6\ln 6. בגבול התחתון: 7−0.5−07-0.5-0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=e2x−10xf(x)=e^{2x}-10x. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f' ושני הצירים. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.05

הפתרון:

f′(x)=2e2x−10=0 ⇒ x=12ln⁡5\begin{aligned}f'(x) &= 2e^{2x}-10 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{1}{2}\ln 5\end{aligned}

החיתוך

0<x<12ln⁡5: f′(x)<00<x<\frac{1}{2}\ln 5: \ f'(x)<0

מתחת לציר

S=f(0)−f(12ln⁡5)=1−(5−5ln⁡5)=5ln⁡5−4≈4.05\begin{aligned}S &= f(0)-f\left(\tfrac{1}{2}\ln 5\right) \\ &= 1-(5-5\ln 5) \\ &= 5\ln 5-4\approx 4.05\end{aligned}

מציבים ב-ff: eln⁡5=5e^{\ln 5}=5

מציבים ב-ff, לא ב-f′f'. ו-e2⋅12ln⁡5=eln⁡5=5e^{2\cdot\frac{1}{2}\ln 5}=e^{\ln 5}=5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

∫1312x−1 dx=ln⁡5\int_1^3 \frac{1}{2x-1}\,dx=\ln 5.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

[12ln⁡(2x−1)]13=12ln⁡5−12ln⁡1\Big[\frac{1}{2}\ln(2x-1)\Big]_1^3=\frac{1}{2}\ln 5-\frac{1}{2}\ln 1

מחלקים במקדם 22

=12ln⁡5≈0.80=\frac{1}{2}\ln 5\approx 0.80

התוצאה

לא נכון. חסרה החלוקה במקדם 22 של xx: התשובה היא 12ln⁡5\frac{1}{2}\ln 5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=2xy=\frac{2}{x}, הישר y=2xy=2x והישר x=2x=2. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.61

הפתרון:

2x=2x ⇒ x=1\begin{aligned}\frac{2}{x} &= 2x \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

החיתוך, כאשר x>0x>0

x=2: 4>1x=2: \ 4>1

הישר y=2xy=2x למעלה

S=[x2−2ln⁡x]12=(4−2ln⁡2)−1=3−2ln⁡2≈1.61\begin{aligned}S &= \Big[x^2-2\ln x\Big]_1^2 \\ &= (4-2\ln 2)-1 \\ &= 3-2\ln 2\approx 1.61\end{aligned}

מציבים

הגבול השמאלי הוא החיתוך x=1x=1, לא x=0x=0: שם 2x\frac{2}{x} לא מוגדרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מצאו את השורה השגויה בחישוב של ∫0122x+1 dx\int_0^1 \frac{2}{2x+1}\,dx.

F(x)=2ln⁡(2x+1)F(x)=2\ln(2x+1)
F(1)−F(0)=2ln⁡3−2ln⁡1F(1)-F(0)=2\ln 3-2\ln 1
=2ln⁡3≈2.20=2\ln 3\approx 2.20
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: F(x)=2ln⁡(2x+1)F(x)=2\ln(2x+1) → F(x)=ln⁡(2x+1)F(x)=\ln(2x+1)

הפתרון:

2⋅12ln⁡(2x+1)=ln⁡(2x+1)2\cdot\frac{1}{2}\ln(2x+1)=\ln(2x+1)

המונה 22 כפול החלוקה ב-22

ln⁡3≈1.10\ln 3\approx 1.10

התשובה הנכונה

הטעות בשורה הראשונה: שכחו לחלק במקדם 22 של xx. כאן המונה 22 והחלוקה מבטלים זה את זה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

חשבו את ∫−11(ex+e−x)dx\int_{-1}^{1}\left(e^x+e^{-x}\right)dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.7

הפתרון:

F(x)=ex−e−xF(x)=e^x-e^{-x}

הקדומה של e−xe^{-x} היא −e−x-e^{-x}

F(1)−F(−1)=(e−1e)−(1e−e)F(1)-F(-1)=\left(e-\frac{1}{e}\right)-\left(\frac{1}{e}-e\right)

מציבים

=2(e−1e)≈4.70=2\left(e-\frac{1}{e}\right)\approx 4.70

התוצאה

ב-F(−1)F(-1): e−1−e1e^{-1}-e^{1}. שני סימנים מתהפכים, וזה המקום לטעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=e2x−3ex+2f(x)=e^{2x}-3e^x+2. השלימו.

הגרף חותך את ציר ה-xx ב-x=0x=0 וב-x=ln⁡x=\ln ____ ; f(ln⁡1.5)=f(\ln 1.5)= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הגרף חותך את ציר ה-xx ב-x=0x=0 וב-x=ln⁡x=\ln 2 ; f(ln⁡1.5)=f(\ln 1.5)= -0.25

הפתרון:

t2−3t+2=0 ⇒ t=1 t=2\begin{aligned}t^2-3t+2 &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 1 \\ \ t &= 2\end{aligned}

t=ext=e^x

f(ln⁡1.5)=2.25−4.5+2=−0.25\begin{aligned}f(\ln 1.5) &= 2.25-4.5+2 \\ &= -0.25\end{aligned}

נקודת בדיקה

f(ln⁡1.5)<0f(\ln 1.5)<0: בין שני החיתוכים הגרף מתחת לציר. לכן השטח שם הוא −∫f-\int f.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת