המודל f(t)=f(0)·qᵗ

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

גדילה ודעיכה הן תהליכים שבהם כמות משתנה באחוז קבוע בכל תקופה: בכל שנה, בכל שבוע, בכל שעה.

אחוז קבוע הוא לא מספר קבוע. הסתכלו על שתי קרנות שמתחילות מאותו סכום.

למה הכתום מוסיף בשנה השנייה 1111 ש״ח, ולא 1010?

להציג את התשובה והפתרון

כי 10%10\% נלקחים מ-110110, ולא מ-100100. בכל שנה כופלים ב-1.11.1: 110⋅1.1=121110 \cdot 1.1=121.

המכפיל qq

להוסיף p%p\% זה לכפול ב-1+p1001+\frac{p}{100}. להוריד p%p\% זה לכפול ב-1−p1001-\frac{p}{100}.

את המכפיל של תקופה אחת מסמנים ב-qq. אחרי tt תקופות כופלים ב-qq בדיוק tt פעמים.

f(t)=f(0)⋅qtf(t)=f(0)\cdot q^t
f(0)f(0)

הכמות בהתחלה, כאשר t=0t=0

qq

המכפיל של תקופה אחת

tt

מספר התקופות שעברו

+8% ⇒ q=1.08+8\% \ \Rightarrow \ q=1.08

גדילה: q>1q>1

−15% ⇒ q=0.85-15\% \ \Rightarrow \ q=0.85

דעיכה: 0<q<10<q<1

×2 ⇒ q=2\times 2 \ \Rightarrow \ q=2

הכפלה היא גדילה של 100%100\%

כמות קטנה ב-4%4\% בכל שבוע. מהו qq?

להציג את התשובה והפתרון

q=1−0.04=0.96q=1-0.04=0.96. לא 0.040.04: 0.040.04 הוא החלק שהולך, ו-0.960.96 הוא החלק שנשאר.

הגרף

גדילה ודעיכה מאותה נקודה
012345602004006008001000120014001600tכמות
  • גדילה: f(t)=500⋅1.2tf(t)=500\cdot 1.2^t
  • דעיכה: g(t)=500⋅0.8tg(t)=500\cdot 0.8^t
שני הגרפים עוברים ב-(0, 500)(0,\,500): זו הכמות ההתחלתית. הגדילה עולה, וכל שנה מהר יותר. הדעיכה יורדת ומתקרבת ל-00, אבל אף פעם לא מגיעה אליו.
q>1q>1

הגרף עולה

0<q<10<q<1

הגרף יורד, והציר האופקי הוא אסימפטוטה

f(0)f(0)

נקודת החיתוך עם הציר האנכי

האם כמות בדעיכה יכולה להגיע ל-00?

להציג את התשובה והפתרון

לא. qt>0q^t>0 לכל tt. הכמות נעשית קטנה מאוד, אבל היא לא 00.

דוגמה: ערך של מכונית

מכונית שמאבדת מערכה

מכונית נקנתה ב-120,000120{,}000 ש״ח. בכל שנה היא מאבדת 12%12\% מערכה. מה ערכה אחרי 5 שנים?

q=1−0.12=0.88\begin{aligned}q &= 1-0.12 \\ &= 0.88\end{aligned}

ירידה, ולכן q<1q<1

f(5)=120,000⋅0.885f(5)=120{,}000\cdot 0.88^5

מציבים t=5t=5

f(5)≈63,327.83f(5)\approx 63{,}327.83

ש״ח

מעגלים רק בסוף. את 0.8850.88^5 משאירים במחשבון כמו שהוא.

tt לא חייב להיות מספר שלם. t=0.5t=0.5 הוא חצי תקופה, ו-t=2.5t=2.5 הן שתי תקופות וחצי.

שתי טעויות שחוזרות.

120,000⋅(1−5⋅0.12)120{,}000\cdot(1-5\cdot 0.12)
120,000⋅0.885120{,}000\cdot 0.88^5

5⋅12%=60%5 \cdot 12\%=60\% היא ירידה בחיבור. אבל בכל שנה ה-12%12\% נלקחים מערך שכבר ירד.

q=0.12q=0.12
q=0.88q=0.88

0.120.12 הוא החלק שהולך. qq הוא החלק שנשאר.

תרגילים

תרגיל 1

כמות קטנה ב-7%7\% בכל שנה. מהו המכפיל qq?

  1. q=1.07q=1.07
  2. q=0.93q=0.93
  3. q=0.7q=0.7
  4. q=0.07q=0.07
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב q=0.93q=0.93

הפתרון:

q=1−7100=0.93\begin{aligned}q &= 1-\frac{7}{100} \\ &= 0.93\end{aligned}

ירידה: מחסירים מ-11

q=0.93q=0.93. 0.070.07 הוא החלק שהולך, לא החלק שנשאר. 0.70.7 הוא ירידה של 30%30\%, ו-1.071.07 הוא עלייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במעבדה יש 25002500 חיידקים. מספרם גדל ב-30%30\% בכל שעה. כמה חיידקים יהיו אחרי 4 שעות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7140.25

הפתרון:

q=1.3q=1.3

גדילה של 30%30\%

f(4)=2500⋅1.34f(4)=2500\cdot 1.3^4

מציבים t=4t=4

=2500⋅2.8561=7140.25=2500\cdot 2.8561=7140.25

מי שחישב 2500⋅(1+4⋅0.3)=55002500\cdot(1+4\cdot 0.3)=5500 הוסיף את אותו מספר בכל שעה. אבל ה-30%30\% נלקחים כל פעם ממספר גדול יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

קבעו אם הטענה נכונה: כמות שגדלה ב-10%10\% בכל שנה, גדלה ב-20%20\% בשנתיים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

1.12=1.211.1^2=1.21

שתי שנים: כופלים פעמיים

1.21 ⇒ +21%1.21 \ \Rightarrow \ +21\%

ולא 20%20\%

הטענה לא נכונה. בשנה השנייה ה-10%10\% נלקחים גם מהעלייה של השנה הראשונה. לכן מתקבלים 21%21\%.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

התאימו לכל תיאור את המכפיל qq של תקופה אחת.

  • גדלה ב-5%5\%
  • קטנה ב-5%5\%
  • גדלה ב-50%50\%
  • קטנה ב-50%50\%
  • מוכפלת
  • 0.50.5
  • 0.950.95
  • 1.051.05
  • 1.51.5
  • 22
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: גדלה ב-5%5\% — 1.051.05 · קטנה ב-5%5\% — 0.950.95 · גדלה ב-50%50\% — 1.51.5 · קטנה ב-50%50\% — 0.50.5 · מוכפלת — 22

הפתרון:

+p% ⇒ q=1+p100+p\% \ \Rightarrow \ q=1+\frac{p}{100}

גדילה

−p% ⇒ q=1−p100-p\% \ \Rightarrow \ q=1-\frac{p}{100}

דעיכה

הבלבול הנפוץ: 1.51.5 ו-1.051.05. גדילה של 5%5\% היא 1.051.05. 1.51.5 היא גדילה של 50%50\%.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

כמות מתוארת על ידי f(t)=f(0)⋅0.92tf(t)=f(0)\cdot 0.92^t. בכמה אחוזים היא קטנה בכל תקופה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

1−0.92=0.081-0.92=0.08

החלק שהולך בכל תקופה

0.08=8%0.08=8\%

התשובה 88, לא 9292: 92%92\% זה מה שנשאר אחרי כל תקופה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מספר התושבים בעיר מתואר על ידי f(t)=3000⋅1.04tf(t)=3000\cdot 1.04^t, כאשר tt בשנים. השלימו.

בהתחלה גרו בעיר ____ תושבים. בכל שנה מספרם גדל ב- ____ אחוז. אחרי שנתיים גרים בעיר ____ תושבים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בהתחלה גרו בעיר 3000 תושבים. בכל שנה מספרם גדל ב- 4 אחוז. אחרי שנתיים גרים בעיר 3244.8 תושבים.

הפתרון:

f(0)=3000⋅1.040=3000\begin{aligned}f(0) &= 3000\cdot 1.04^0 \\ &= 3000\end{aligned}

הכמות ההתחלתית

q=1.04 ⇒ +4%q=1.04 \ \Rightarrow \ +4\%

האחוז

f(2)=3000⋅1.0816=3244.8\begin{aligned}f(2) &= 3000\cdot 1.0816 \\ &= 3244.8\end{aligned}

אחרי שנתיים

מספר תושבים לא שלם הוא תוצאה של מודל, לא של ספירה. מי שכתב 32403240 חישב 3000⋅1.083000\cdot 1.08: הוא חיבר את האחוזים במקום לכפול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מיינו את המכפילים: האם הכמות גדלה או קטנה?

  • גדילה
  • דעיכה
  • q=0.5q=0.5
  • q=0.8q=0.8
  • q=0.97q=0.97
  • q=1.03q=1.03
  • q=1.25q=1.25
  • q=2q=2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: q=1.03q=1.03 — גדילה · q=0.97q=0.97 — דעיכה · q=2q=2 — גדילה · q=0.5q=0.5 — דעיכה · q=1.25q=1.25 — גדילה · q=0.8q=0.8 — דעיכה

הפתרון:

q>1q>1

גדילה

0<q<10<q<1

דעיכה

ההחלטה היא לפי 11, לא לפי 00: גם 0.970.97 חיובי, אבל הוא קטן מ-11, ולכן הכמות קטנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

דנה חישבה כמה יישאר מ-50005000 ש״ח שקטנים ב-20%20\% בכל שנה, אחרי 3 שנים. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

q=1−0.2=0.8\begin{aligned}q &= 1-0.2 \\ &= 0.8\end{aligned}
f(3)=5000⋅0.83f(3)=5000\cdot 0.8^3
f(3)=5000⋅2.4=12,000\begin{aligned}f(3) &= 5000\cdot 2.4 \\ &= 12{,}000\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f(3)=5000⋅2.4=12,000f(3)=5000\cdot 2.4=12{,}000 → f(3)=5000⋅0.512=2560f(3)=5000\cdot 0.512=2560

הפתרון:

0.83=0.8⋅0.8⋅0.8=0.512\begin{aligned}0.8^3 &= 0.8\cdot 0.8\cdot 0.8 \\ &= 0.512\end{aligned}

חזקה, לא כפל ב-33

5000⋅0.512=25605000\cdot 0.512=2560

ש״ח

בשורה 3 חישבו 0.8⋅30.8\cdot 3 במקום 0.830.8^3. הסימן: בדעיכה התוצאה חייבת להיות קטנה מ-50005000.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ערך של מניה מתואר על ידי f(t)=800⋅1.21tf(t)=800\cdot 1.21^t, כאשר tt בשנים. מה ערך המניה אחרי חצי שנה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 880

הפתרון:

t=0.5t=0.5

חצי שנה

1.210.5=1.21=1.1\begin{aligned}1.21^{0.5} &= \sqrt{1.21} \\ &= 1.1\end{aligned}

חזקה של חצי היא שורש

f(0.5)=800⋅1.1=880\begin{aligned}f(0.5) &= 800\cdot 1.1 \\ &= 880\end{aligned}

מי שכתב 800⋅1.212800\cdot\frac{1.21}{2} חילק את המכפיל ב-22. חצי תקופה היא חזקה 0.50.5, כלומר שורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

123412345xyI
123412345xyII
123412345xyIII
123412345xyIV

איזה גרף מתאר את f(t)=4⋅0.5tf(t)=4\cdot 0.5^t?

  1. גרף IV
  2. גרף III
  3. גרף II
  4. גרף I
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף I

הפתרון:

f(0)=4f(0)=4

הגרף עובר ב-(0, 4)(0,\,4)

q=0.5<1q=0.5<1

הגרף יורד

f(4)=4⋅0.0625=0.25>0\begin{aligned}f(4) &= 4\cdot 0.0625 \\ &= 0.25>0\end{aligned}

ולא מגיע ל-00

גרף III גם יורד מ-44, אבל הוא ישר: הוא מוריד את אותו מספר בכל תקופה, ומגיע ל-00. דעיכה היא עקומה שמתקרבת ל-00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מחיר של מוצר היה 500500 ש״ח. המחיר עלה ב-6%6\% בכל שנה, במשך 3 שנים. מה המחיר אחרי 3 שנים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 595.51

הפתרון:

500⋅1.063500\cdot 1.06^3

שלוש עליות של 6%6\%

=500⋅1.191016=595.508=500\cdot 1.191016=595.508
≈595.51\approx 595.51

ש״ח

עלייה של 18%18\% הייתה נותנת 590590. ההפרש קטן כאן, אבל הוא גדל ככל שעוברות יותר שנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

הגרף של f(t)=200⋅qtf(t)=200\cdot q^t יורד. איזה מהערכים יכול להיות qq?

  1. q=−0.5q=-0.5
  2. q=1.2q=1.2
  3. q=0.85q=0.85
  4. q=1q=1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג q=0.85q=0.85

הפתרון:

0<q<10<q<1

זה התנאי לדעיכה

0<0.85<10<0.85<1

q=0.85q=0.85. q=1q=1 נותן כמות קבועה. qq שלילי לא מתאר שום תהליך: 200⋅(−0.5)t200\cdot(-0.5)^t מחליף סימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת