כמות התחלתית, מכפיל ואחוז

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בנוסחה f(t)=f(0)⋅qtf(t)=f(0)\cdot q^t יש ארבעה גדלים. אם יודעים שלושה, מוצאים את הרביעי.

f(t)f(t)

הכמות אחרי tt תקופות: מציבים

f(0)f(0)

הכמות בהתחלה: מחלקים ב-qtq^t

qq

המכפיל: שורש

tt

הזמן: לוגריתם, ביחידה הבאה

הכמות ההתחלתית f(0)f(0)

יודעים כמה יש אחרי tt תקופות? הולכים אחורה: מחלקים ב-qtq^t.

f(0)=f(t)qtf(0)=\frac{f(t)}{q^t}

כמה הופקד?

בחשבון חיסכון יש היום 13,31013{,}310 ש״ח. הריבית היא 10%10\% בשנה, והכסף הופקד לפני 3 שנים. כמה כסף הופקד?

f(0)⋅1.13=13,310f(0)\cdot 1.1^3=13{,}310

המודל

1.13=1.3311.1^3=1.331
f(0)=13,3101.331=10,000\begin{aligned}f(0) &= \frac{13{,}310}{1.331} \\ &= 10{,}000\end{aligned}

ש״ח

כמות קטנה ב-20%20\% בכל יום. אחרי יומיים נשארו 320320 גרם. כמה היה בהתחלה?

להציג את התשובה והפתרון

f(0)=3200.82=3200.64=500f(0)=\frac{320}{0.8^2}=\frac{320}{0.64}=500 גרם. לא 320⋅1.22320\cdot 1.2^2: עלייה של 20%20\% לא מבטלת ירידה של 20%20\%.

המכפיל qq מתוך שתי כמויות

יודעים את f(0)f(0) ואת f(t)f(t)? מחלקים, ומקבלים את qtq^t. אחר כך מוציאים שורש מסדר tt.

q=f(t)f(0)tq=\sqrt[t]{\frac{f(t)}{f(0)}}

הטעות של החיבור.

2662−20002000⋅3≈11.03%\frac{2662-2000}{2000\cdot 3}\approx 11.03\%
q=1.3313=1.1 ⇒ 10%\begin{aligned}q &= \sqrt[3]{1.331} \\ &= 1.1 \ \Rightarrow \ 10\%\end{aligned}

חלוקה ב-33 מתאימה לגדילה בחיבור. בגדילה בכפל מוציאים שורש.

שתי מדידות, בלי ההתחלה

לפעמים יודעים את הכמות בשני זמנים, ולא בהתחלה. מחלקים את המאוחרת במוקדמת. נשאר qq בחזקת מספר התקופות שביניהן.

דגים בבריכה

בסוף השבוע השני היו בבריכה 14401440 דגים. בסוף השבוע החמישי היו 2488.322488.32. מספר הדגים גדל באחוז קבוע. מצאו את האחוז ואת מספר הדגים בהתחלה.

f(5)f(2)=f(0)⋅q5f(0)⋅q2=q3\begin{aligned}\frac{f(5)}{f(2)} &= \frac{f(0)\cdot q^5}{f(0)\cdot q^2} \\ &= q^3\end{aligned}

f(0)f(0) מצטמצם

q3=2488.321440=1.728\begin{aligned}q^3 &= \frac{2488.32}{1440} \\ &= 1.728\end{aligned}
q=1.7283=1.2\begin{aligned}q &= \sqrt[3]{1.728} \\ &= 1.2\end{aligned}

גדילה של 20%20\% בשבוע

f(0)=14401.22=14401.44=1000\begin{aligned}f(0) &= \frac{1440}{1.2^2} \\ &= \frac{1440}{1.44} \\ &= 1000\end{aligned}

דגים בהתחלה

למה q3q^3, ולא q5q^5?

להציג את התשובה והפתרון

כי בין השבוע השני לשבוע החמישי עברו 3 שבועות. החזקה היא ההפרש בין הזמנים.

אחוז של תקופה אחרת

גדילה של 2%2\% בחודש היא לא 24%24\% בשנה. בשנה יש 12 חודשים, ולכן המכפיל השנתי הוא 1.02121.02^{12}.

1.0212≈1.26821.02^{12}\approx 1.2682

בשנה: עלייה של 26.82%26.82\%

0.92=0.810.9^2=0.81

ירידה של 10%10\% בשבוע: ירידה של 19%19\% בשבועיים

בדיקה: מציבים את qq שמצאתם בחזרה בנוסחה, ובודקים שמתקבלת הכמות הנתונה.

תרגילים

תרגיל 1

אחרי 4 שנים יש בחשבון חיסכון 7320.57320.5 ש״ח. הריבית היא 10%10\% בשנה. כמה כסף הופקד בהתחלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5000

הפתרון:

f(0)⋅1.14=7320.5f(0)\cdot 1.1^4=7320.5

המודל

1.14=1.46411.1^4=1.4641
f(0)=7320.51.4641=5000\begin{aligned}f(0) &= \frac{7320.5}{1.4641} \\ &= 5000\end{aligned}

ש״ח

מי שחישב 7320.5⋅0.947320.5\cdot 0.9^4 הוריד 10%10\% ארבע פעמים. אבל ירידה של 10%10\% לא מבטלת עלייה של 10%10\%. מחלקים ב-1.141.1^4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ערכה של מכונה ירד מ-50,00050{,}000 ש״ח ל-40,50040{,}500 ש״ח בשנתיים, באחוז קבוע בכל שנה. בכמה אחוזים ירד ערכה בכל שנה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

50,000⋅q2=40,50050{,}000\cdot q^2=40{,}500
q2=0.81q^2=0.81
q=0.81=0.9\begin{aligned}q &= \sqrt{0.81} \\ &= 0.9\end{aligned}
1−0.9=0.11-0.9=0.1

ירידה של 10%10\%

ירידה כוללת של 19%19\% אינה 9.5%9.5\% בשנה. השנה השנייה מתחילה מערך נמוך יותר, ולכן האחוז השנתי הוא 10%10\%.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

כמות גדלה מ-400400 ל-625625 בשעתיים, באחוז קבוע בכל שעה. מהו qq של שעה אחת?

  1. q=1.28125q=1.28125
  2. q=0.64q=0.64
  3. q=1.5625q=1.5625
  4. q=1.25q=1.25
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד q=1.25q=1.25

הפתרון:

q2=625400=1.5625\begin{aligned}q^2 &= \frac{625}{400} \\ &= 1.5625\end{aligned}
q=1.5625=1.25\begin{aligned}q &= \sqrt{1.5625} \\ &= 1.25\end{aligned}

q=1.25q=1.25. 1.56251.5625 הוא המכפיל של שעתיים. 1.281251.28125 בא מחלוקת ההפרש ב-22. 0.640.64 הוא 400625\frac{400}{625}, ההפך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

כמות של חומר קטנה באחוז קבוע בכל יום. אחרי יום אחד נשארו 540540 גרם. אחרי 3 ימים נשארו 437.4437.4 גרם. כמה גרם היו בהתחלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 600

הפתרון:

q2=437.4540=0.81\begin{aligned}q^2 &= \frac{437.4}{540} \\ &= 0.81\end{aligned}

בין יום 1 ליום 3 עברו יומיים

q=0.9q=0.9
f(0)=5400.9=600\begin{aligned}f(0) &= \frac{540}{0.9} \\ &= 600\end{aligned}

גרם

החזקה היא 22, לא 33: בין המדידות עברו יומיים. ואחרי שמוצאים qq, הולכים מיום 1 יום אחד אחורה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מספר העוקבים של ערוץ גדל באחוז קבוע בכל חודש. אחרי חודשיים היו 32003200 עוקבים, ואחרי 4 חודשים היו 50005000. השלימו.

q=q= ____ , האחוז החודשי: ____ , בהתחלה היו ____ עוקבים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: q=q= 1.25 , האחוז החודשי: 25 , בהתחלה היו 2048 עוקבים.

הפתרון:

q2=50003200=1.5625\begin{aligned}q^2 &= \frac{5000}{3200} \\ &= 1.5625\end{aligned}
q=1.25 ⇒ +25%q=1.25 \ \Rightarrow \ +25\%
f(0)=32001.252=2048\begin{aligned}f(0) &= \frac{3200}{1.25^2} \\ &= 2048\end{aligned}

כדי להגיע להתחלה מחלקים ב-q2q^2, כי 32003200 נמדד אחרי חודשיים. מי שחילק ב-qq פעם אחת קיבל 25602560.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

קבעו אם הטענה נכונה: גדילה של 3%3\% בכל חודש היא גדילה של 36%36\% בשנה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

1.0312≈1.42581.03^{12}\approx 1.4258

המכפיל השנתי

+42.58%+42.58\%

ולא 36%36\%

הטענה לא נכונה. 12⋅3%12\cdot 3\% מחבר את האחוזים. בכל חודש ה-3%3\% נלקחים מכמות שכבר גדלה, ולכן השנה מוסיפה 42.58%42.58\%.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הריבית בחשבון היא 1.5%1.5\% בכל חודש. בכמה אחוזים גדל הסכום בשנה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 19.56

הפתרון:

1.01512≈1.195621.015^{12}\approx 1.19562

המכפיל של 12 חודשים

(1.19562−1)⋅100≈19.56(1.19562-1)\cdot 100\approx 19.56

אחוזים

התשובה 19.5619.56, ולא 1818: 12⋅1.5%12\cdot 1.5\% שוכח שגם הריבית נושאת ריבית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

יוסי חיפש את qq, כשכמות גדלה מ-12001200 ל-1756.921756.92 בארבע שנים. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

1200⋅q4=1756.921200\cdot q^4=1756.92
q4=1.4641q^4=1.4641
q=1.46414≈0.366q=\frac{1.4641}{4}\approx 0.366
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: q=1.46414≈0.366q=\frac{1.4641}{4}\approx 0.366 → q=1.46414=1.1q=\sqrt[4]{1.4641}=1.1

הפתרון:

q4=1.4641q^4=1.4641

נכון

q=1.46414=1.1\begin{aligned}q &= \sqrt[4]{1.4641} \\ &= 1.1\end{aligned}

שורש רביעי

בשורה 3 חילקו ב-44 במקום להוציא שורש רביעי. הסימן: הכמות גדלה, ולכן qq חייב להיות גדול מ-11, ו-0.3660.366 לא יכול להיות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כמות של תרופה בדם קטנה באחוז קבוע בכל שעה. אחרי 3 שעות נשארו 51.2%51.2\% מהכמות ההתחלתית. בכמה אחוזים קטנה הכמות בכל שעה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

q3=0.512q^3=0.512

אין צורך לדעת את f(0)f(0)

q=0.5123=0.8\begin{aligned}q &= \sqrt[3]{0.512} \\ &= 0.8\end{aligned}
1−0.8=0.21-0.8=0.2

ירידה של 20%20\%

לא צריך את הכמות ההתחלתית: היחס f(3)f(0)=0.512\frac{f(3)}{f(0)}=0.512 מספיק. מי שחילק 48.8%48.8\% ב-33 קיבל 16.27%16.27\%, תשובה של חיבור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

כמות גדלה ב-50%50\% בכל שבוע. אחרי 3 שבועות יש 270270. כמה היה בהתחלה?

  1. 911.25911.25
  2. 180180
  3. 8080
  4. 6060
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 8080

הפתרון:

f(0)=2701.53f(0)=\frac{270}{1.5^3}
1.53=3.3751.5^3=3.375
f(0)=80f(0)=80

8080. 180180 הוא רק שבוע אחד אחורה. 6060 בא מחלוקת ב-1.5⋅31.5\cdot 3. 911.25911.25 הוא כפל במקום חילוק: זה קדימה בזמן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

כמות קטנה ב-5%5\% בכל שבוע. בכמה אחוזים היא קטנה בארבעה שבועות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18.55

הפתרון:

0.954≈0.814510.95^4\approx 0.81451

המכפיל של 4 שבועות

1−0.81451=0.185491-0.81451=0.18549

החלק שהלך

≈18.55%\approx 18.55\%

התשובה 18.5518.55, ולא 2020: כל שבוע ה-5%5\% נלקחים מכמות שכבר קטנה, ולכן יורד פחות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

השלימו את הטבלה. בכל שורה f(t)=f(0)⋅qtf(t)=f(0)\cdot q^t.

f(0)f(0)qqttf(t)f(t)
100010001.21.222____
10001000____22640640
____0.50.533250250
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10001000: 1440 · 10001000: 0.8

הפתרון:

1000⋅1.22=14401000\cdot 1.2^2=1440

שורה 1: מציבים

q2=0.64 ⇒ q=0.8\begin{aligned}q^2 &= 0.64 \ \Rightarrow \ q \\ &= 0.8\end{aligned}

שורה 2: שורש

f(0)=2500.125=2000\begin{aligned}f(0) &= \frac{250}{0.125} \\ &= 2000\end{aligned}

שורה 3: מחלקים ב-0.530.5^3

שלוש שאלות, שלוש פעולות: מציבים, מוציאים שורש, מחלקים. בשורה 2 q=0.8q=0.8 ולא −0.8-0.8: מכפיל של תהליך הוא תמיד חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת