כעבור כמה זמן? פותרים בלוגריתם

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עכשיו הזמן הוא הנעלם. הוא יושב במעריך, ולכן מורידים אותו בעזרת לוגריתם.

משוואה: כעבור כמה זמן?

שלושה צעדים: מבודדים את qtq^t, מפעילים log⁡\log על שני האגפים, ומחלקים.

qt=c ⇒ t=log⁡clog⁡q\begin{aligned}q^t &= c \ \Rightarrow \ t \\ &= \frac{\log c}{\log q}\end{aligned}
11

מבודדים את qtq^t: מחלקים ב-f(0)f(0)

22

לוגריתם: log⁡(qt)=t⋅log⁡q\log(q^t)=t\cdot\log q

33

מחלקים ב-log⁡q\log q

האם התשובה משתנה אם משתמשים ב-ln⁡\ln במקום ב-log⁡\log?

להציג את התשובה והפתרון

לא. ln⁡1.6ln⁡1.06=log⁡1.6log⁡1.06≈8.07\frac{\ln 1.6}{\ln 1.06}=\frac{\log 1.6}{\log 1.06}\approx 8.07. המנה של שני לוגריתמים לא תלויה בבסיס.

שתי טעויות של לוגריתם.

log⁡(5000⋅1.06t)=5000⋅t⋅log⁡1.06\log(5000\cdot 1.06^t)=5000\cdot t\cdot\log 1.06
log⁡(5000⋅1.06t)=log⁡5000+t⋅log⁡1.06\log(5000\cdot 1.06^t)=\log 5000+t\cdot\log 1.06

log⁡\log של מכפלה הוא סכום. הדרך הפשוטה: לבודד את 1.06t1.06^t לפני הלוגריתם.

t=log⁡1.61.06t=\log\frac{1.6}{1.06}
t=log⁡1.6log⁡1.06t=\frac{\log 1.6}{\log 1.06}

מחלקים שני לוגריתמים, ולא מחלקים מספרים בתוך לוגריתם אחד.

בדעיכה: log⁡q\log q שלילי

אם 0<q<10<q<1, אז log⁡q<0\log q<0. גם log⁡c\log c שלילי, כי c<1c<1. המנה של שני שליליים חיובית, והזמן יוצא חיובי.

כמה זמן עד שיישאר רבע?

חומר קטן ב-15%15\% בכל יום. בהתחלה יש 800800 גרם. כעבור כמה ימים יישארו 200200 גרם?

800⋅0.85t=200800\cdot 0.85^t=200

המודל

0.85t=0.250.85^t=0.25

מבודדים

t=log⁡0.25log⁡0.85=−0.602−0.0706≈8.53\begin{aligned}t &= \frac{\log 0.25}{\log 0.85} \\ &= \frac{-0.602}{-0.0706}\approx 8.53\end{aligned}

שני שליליים: מנה חיובית

q=0.5q=0.5. כעבור כמה תקופות יישאר רבע מהכמות?

להציג את התשובה והפתרון

0.5t=0.25 ⇒ t=20.5^t=0.25 \ \Rightarrow \ t=2. בלי מחשבון: חצי של חצי.

אי-שוויון: מאיזה זמן?

« מאיזו שנה הכמות תעלה על … ? » זו שאלה של אי-שוויון. פותרים כמו משוואה, ושמים לב לכיוון.

1.06t>1.6 ⇒ t>8.071.06^t>1.6 \ \Rightarrow \ t>8.07

גדילה: log⁡1.06>0\log 1.06>0, הכיוון נשמר

0.85t<0.25 ⇒ t>8.530.85^t<0.25 \ \Rightarrow \ t>8.53

דעיכה: מחלקים ב-log⁡0.85<0\log 0.85<0, הכיוון מתהפך

שאלה על זמן שלם (« מאיזה שבוע », « מאיזו שנה ») — מעגלים למעלה, ובודקים את שני המספרים השלמים שמסביב.

5000⋅1.06t>80005000\cdot 1.06^t>8000. מאיזו שנה שלמה?

להציג את התשובה והפתרון

t>8.07t>8.07, ולכן מהשנה ה-9. ב-t=8t=8 יש 5000⋅1.068≈79695000\cdot 1.06^8\approx 7969: עדיין פחות מ-80008000.

שתי טעויות של אי-שוויון.

0.85t<0.25 ⇒ t<8.530.85^t<0.25 \ \Rightarrow \ t<8.53
0.85t<0.25 ⇒ t>8.530.85^t<0.25 \ \Rightarrow \ t>8.53

בחילוק ב-log⁡q\log q של דעיכה הסימן מתהפך.

t>8.07 ⇒ 8t>8.07 \ \Rightarrow \ 8
t>8.07 ⇒ 9t>8.07 \ \Rightarrow \ 9

עיגול רגיל נותן 88, אבל ב-t=8t=8 התנאי עוד לא מתקיים.

תרגילים

תרגיל 1

בחשבון יש 20002000 ש״ח, והריבית 8%8\% בשנה. כעבור כמה שנים יהיו בו 50005000 ש״ח? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11.91

הפתרון:

1.08t=2.51.08^t=2.5

מבודדים

t=log⁡2.5log⁡1.08t=\frac{\log 2.5}{\log 1.08}
t≈11.91t\approx 11.91

שנים

מי שחישב 30002000⋅0.08=18.75\frac{3000}{2000\cdot 0.08}=18.75 השתמש בריבית פשוטה. כאן הריבית נצברת, ולכן מגיעים מהר יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מספר המכשירים מדגם ישן קטן ב-12%12\% בכל שנה. היום יש 60006000 מכשירים. כעבור כמה שנים יהיו 30003000? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.42

הפתרון:

6000⋅0.88t=30006000\cdot 0.88^t=3000
0.88t=0.50.88^t=0.5
t=log⁡0.5log⁡0.88≈5.42t=\frac{\log 0.5}{\log 0.88}\approx 5.42

שני הלוגריתמים שליליים

אם יצא זמן שלילי, אחד הלוגריתמים לקח מספר הפוך: log⁡2log⁡0.88\frac{\log 2}{\log 0.88} במקום log⁡0.5log⁡0.88\frac{\log 0.5}{\log 0.88}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו הפתרון של המשוואה 400⋅1.25t=1000400\cdot 1.25^t=1000?

  1. t=log⁡2.51.25t=\log\frac{2.5}{1.25}
  2. t=log⁡2.5log⁡1.25t=\frac{\log 2.5}{\log 1.25}
  3. t=log⁡1000400⋅log⁡1.25t=\frac{\log 1000}{400\cdot\log 1.25}
  4. t=2.51.25t=\frac{2.5}{1.25}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב t=log⁡2.5log⁡1.25t=\frac{\log 2.5}{\log 1.25}

הפתרון:

1.25t=2.51.25^t=2.5

מבודדים

t⋅log⁡1.25=log⁡2.5t\cdot\log 1.25=\log 2.5

לוגריתם

t=log⁡2.5log⁡1.25≈4.11t=\frac{\log 2.5}{\log 1.25}\approx 4.11

האפשרות הרביעית מוציאה את 400400 מהלוגריתם, כאילו log⁡(400⋅x)=400log⁡x\log(400\cdot x)=400\log x. זה לא חוק: log⁡\log של מכפלה הוא סכום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הופקדו 10,00010{,}000 ש״ח בריבית של 4%4\% בשנה. מאיזו שנה שלמה יעלה הסכום על 15,00015{,}000 ש״ח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

1.04t>1.51.04^t>1.5
t>log⁡1.5log⁡1.04≈10.34t>\frac{\log 1.5}{\log 1.04}\approx 10.34

הכיוון נשמר: log⁡1.04>0\log 1.04>0

10,000⋅1.0410≈14,80210{,}000\cdot 1.04^{10}\approx 14{,}802

בשנה 10 עוד לא

10,000⋅1.0411≈15,39510{,}000\cdot 1.04^{11}\approx 15{,}395

בשנה 11 כן

התשובה 1111, ולא 1010: עיגול רגיל של 10.3410.34 נותן שנה שבה הסכום עוד לא עבר את 15,00015{,}000.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

קבעו אם הטענה נכונה: הפתרון של 0.9t<0.50.9^t<0.5 הוא t<6.58t<6.58.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

t⋅log⁡0.9<log⁡0.5t\cdot\log 0.9<\log 0.5
t>log⁡0.5log⁡0.9≈6.58t>\frac{\log 0.5}{\log 0.9}\approx 6.58

מחלקים ב-log⁡0.9<0\log 0.9<0: הסימן מתהפך

הטענה לא נכונה. הפתרון t>6.58t>6.58. בדיקה מהירה: ב-t=0t=0 יש 0.90=10.9^0=1, וזה לא קטן מ-0.50.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

שווי של מניה יורד ב-9%9\% בכל חודש. היום שוויה 250250 ש״ח. מאיזה חודש שלם יהיה שוויה פחות מ-100100 ש״ח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

250⋅0.91t<100250\cdot 0.91^t<100
0.91t<0.40.91^t<0.4
t>log⁡0.4log⁡0.91≈9.72t>\frac{\log 0.4}{\log 0.91}\approx 9.72

הסימן מתהפך

250⋅0.9110≈97.35250\cdot 0.91^{10}\approx 97.35

בחודש 10: פחות מ-100100

מי שהשאיר << אחרי החילוק קיבל t<9.72t<9.72. אבל היום (t=0t=0) השווי 250250, וזה לא פחות מ-100100.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פתרו את המשוואה 3⋅1.5t=183\cdot 1.5^t=18. השלימו.

t⋅log⁡t\cdot\log ____ =log⁡=\log ____ , t≈t\approx ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: t⋅log⁡t\cdot\log 1.5 =log⁡=\log 6 , t≈t\approx 4.42

הפתרון:

1.5t=61.5^t=6

מחלקים ב-33

t⋅log⁡1.5=log⁡6t\cdot\log 1.5=\log 6
t≈4.42t\approx 4.42

בתוך הלוגריתם השני 66, ולא 1818: קודם מחלקים ב-33, ורק אחר כך מפעילים log⁡\log.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

רוני פתר: מאיזה זמן יישארו פחות מ-100100 גרם מ-500500 גרם, שקטנים ב-20%20\% בכל שעה. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

500⋅0.8t<100500\cdot 0.8^t<100
0.8t<0.20.8^t<0.2
t⋅log⁡0.8<log⁡0.2t\cdot\log 0.8<\log 0.2
t<log⁡0.2log⁡0.8≈7.21t<\frac{\log 0.2}{\log 0.8}\approx 7.21
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: t<log⁡0.2log⁡0.8≈7.21t<\frac{\log 0.2}{\log 0.8}\approx 7.21 → t>log⁡0.2log⁡0.8≈7.21t>\frac{\log 0.2}{\log 0.8}\approx 7.21

הפתרון:

log⁡0.8<0\log 0.8<0

מחלקים במספר שלילי

t>7.21t>7.21

הסימן מתהפך

בשורה 4 חילקו ב-log⁡0.8\log 0.8, מספר שלילי, ושכחו להפוך את הסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בכפר גרים היום 12001200 תושבים, ומספרם גדל ב-5%5\% בכל שנה. כעבור כמה שנים יגורו בו 20002000 תושבים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.47

הפתרון:

1.05t=20001200=53\begin{aligned}1.05^t &= \frac{2000}{1200} \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}
t=log⁡53log⁡1.05≈10.47t=\frac{\log\frac{5}{3}}{\log 1.05}\approx 10.47

אם עיגלתם את 53\frac{5}{3} ל-1.71.7 קיבלתם 10.8810.88: עיגול באמצע הדרך מזיז את התשובה. מעגלים רק בסוף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מהו הפתרון של אי-השוויון 0.7t>0.10.7^t>0.1?

  1. t>−6.46t>-6.46
  2. t<6.46t<6.46
  3. t>6.46t>6.46
  4. t<0.14t<0.14
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב t<6.46t<6.46

הפתרון:

t⋅log⁡0.7>log⁡0.1t\cdot\log 0.7>\log 0.1
t<log⁡0.1log⁡0.7≈6.46t<\frac{\log 0.1}{\log 0.7}\approx 6.46

הסימן מתהפך

t<6.46t<6.46. בדעיכה, « יותר מ-0.10.1 » מתקיים רק בהתחלה, עד t≈6.46t\approx 6.46. אחר כך הכמות כבר קטנה יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

כמות גדלה ב-2%2\% בכל חודש. כעבור כמה חודשים היא תגדל ב-50%50\%? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20.48

הפתרון:

1.02t=1.51.02^t=1.5

גדילה של 50%50\%: פי 1.51.5

t=log⁡1.5log⁡1.02≈20.48t=\frac{\log 1.5}{\log 1.02}\approx 20.48

חודשים

התשובה לא 2525 (50:250:2): זו התשובה של גדילה בחיבור. בגדילה בכפל מגיעים ל-50%50\% מהר יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

סדרו את שלבי הפתרון של המשוואה 800⋅1.1t=1200800\cdot 1.1^t=1200.

  • 1.1t=1.51.1^t=1.5
  • 800⋅1.1t=1200800\cdot 1.1^t=1200
  • t≈4.25t\approx 4.25
  • t⋅log⁡1.1=log⁡1.5t\cdot\log 1.1=\log 1.5
  • t=log⁡1.5log⁡1.1t=\frac{\log 1.5}{\log 1.1}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 800⋅1.1t=1200800\cdot 1.1^t=1200 · 1.1t=1.51.1^t=1.5 · t⋅log⁡1.1=log⁡1.5t\cdot\log 1.1=\log 1.5 · t=log⁡1.5log⁡1.1t=\frac{\log 1.5}{\log 1.1} · t≈4.25t\approx 4.25

הפתרון:

1.1t=1.51.1^t=1.5

מבודדים

t⋅log⁡1.1=log⁡1.5t\cdot\log 1.1=\log 1.5

לוגריתם

t≈4.25t\approx 4.25

מחלקים

הלוגריתם בא אחרי הבידוד. מי שמפעיל log⁡\log על 800⋅1.1t800\cdot 1.1^t צריך לזכור ש-log⁡800\log 800 מתווסף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת