זמן מחצית חיים וזמן הכפלה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

זמן מחצית חיים הוא הזמן שבו כמות בדעיכה נעשית חצי ממה שהייתה.

והדבר המפתיע: הזמן הזה קבוע. מ-100100 ל-5050 עובר אותו זמן כמו מ-5050 ל-2525.

אחרי 3 זמני מחצית חיים, איזה חלק מהכמות נשאר?

להציג את התשובה והפתרון

12⋅12⋅12=18\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}. לא 00, וגם לא 16\frac{1}{6}.

t=Tt=T

נשאר 12\frac{1}{2}

t=2Tt=2T

נשאר 14\frac{1}{4}

t=3Tt=3T

נשאר 18\frac{1}{8}

מציאת זמן מחצית החיים

מחפשים את הזמן TT שבו qT=12q^T=\frac{1}{2}. הכמות ההתחלתית לא משתתפת: היא מצטמצמת.

T=log⁡0.5log⁡qT=\frac{\log 0.5}{\log q}

תרופה בדם

כמות של תרופה בדם קטנה ב-6%6\% בכל שעה. מהו זמן מחצית החיים של התרופה?

q=0.94q=0.94

ירידה של 6%6\%

f(0)⋅0.94T=0.5⋅f(0) ⇒ 0.94T=0.5\begin{aligned}f(0)\cdot 0.94^T &= 0.5\cdot f(0) \ \Rightarrow \ 0.94^T \\ &= 0.5\end{aligned}

f(0)f(0) מצטמצם

T=log⁡0.5log⁡0.94≈11.20T=\frac{\log 0.5}{\log 0.94}\approx 11.20

שעות

האם זמן מחצית החיים של התרופה תלוי במנה שנלקחה?

להציג את התשובה והפתרון

לא. בכל מנה f(0)f(0) מצטמצם. מנה גדולה או קטנה — אותו T≈11.2T\approx 11.2 שעות.

מזמן מחצית החיים אל qq

יודעים את TT? אז qT=12q^T=\frac{1}{2}, ולכן q=0.51Tq=0.5^{\frac{1}{T}}.

בכמה אחוזים בשנה?

זמן מחצית החיים של חומר הוא 5 שנים. בכמה אחוזים קטנה כמות החומר בכל שנה?

q5=0.5q^5=0.5

אחרי 5 שנים נשאר חצי

q=0.515≈0.8706q=0.5^{\frac{1}{5}}\approx 0.8706

שורש חמישי

1−0.8706=0.12941-0.8706=0.1294

ירידה של 12.94%12.94\% בשנה

הטעות של החלוקה.

q=1−0.55=0.9\begin{aligned}q &= 1-\frac{0.5}{5} \\ &= 0.9\end{aligned}
q=0.515≈0.8706q=0.5^{\frac{1}{5}}\approx 0.8706

חלוקה של 50%50\% ב-55 היא חשיבה של חיבור. בדיקה: 0.95≈0.590.9^5\approx 0.59, ולא 0.50.5.

נוסחה נוחה: אחרי tt יחידות זמן נשאר f(t)=f(0)⋅0.5tTf(t)=f(0)\cdot 0.5^{\frac{t}{T}}. המעריך tT\frac{t}{T} סופר כמה זמני מחצית חיים עברו.

T=5T=5 שנים. איזה חלק נשאר אחרי 15 שנים?

להציג את התשובה והפתרון

0.5155=0.53=180.5^{\frac{15}{5}}=0.5^3=\frac{1}{8}.

זמן הכפלה

בגדילה שואלים את השאלה ההפוכה: כעבור כמה זמן הכמות תוכפל? זה זמן ההכפלה.

D=log⁡2log⁡qD=\frac{\log 2}{\log q}

ריבית של 7%7\%

כסף מופקד בריבית של 7%7\% בשנה. כעבור כמה שנים הוא יוכפל?

1.07D=21.07^D=2
D=log⁡2log⁡1.07≈10.24D=\frac{\log 2}{\log 1.07}\approx 10.24

שנים

גם זמן ההכפלה קבוע: מ-10001000 ל-20002000, ומ-20002000 ל-40004000, עוברות אותן 10.2410.24 שנים.

האם ריבית של 14%14\% מכפילה את הכסף בדיוק בחצי מהזמן, כלומר ב-5.125.12 שנים?

להציג את התשובה והפתרון

לא בדיוק. log⁡2log⁡1.14≈5.29\frac{\log 2}{\log 1.14}\approx 5.29. קרוב, אבל כפל האחוז לא חותך את הזמן בדיוק לחצי.

תרגילים

תרגיל 1

כמות של חומר קטנה ב-10%10\% בכל יום. מהו זמן מחצית החיים של החומר, בימים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.58

הפתרון:

0.9T=0.50.9^T=0.5
T=log⁡0.5log⁡0.9≈6.58T=\frac{\log 0.5}{\log 0.9}\approx 6.58

ימים

התשובה לא 55 (50%:10%50\%:10\%): בכל יום ה-10%10\% נלקחים מכמות שכבר קטנה, ולכן לוקח יותר זמן להגיע לחצי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

זמן מחצית החיים של חומר הוא 8 ימים. בהתחלה יש 400400 גרם. כמה גרם יישארו אחרי 24 ימים?

  1. 00
  2. 133.33133.33
  3. 5050
  4. 100100
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 5050

הפתרון:

248=3\frac{24}{8}=3

שלושה זמני מחצית חיים

400⋅0.53=50400\cdot 0.5^3=50

גרם

5050 גרם. 133.33133.33 הוא 400:3400:3 — חלוקה לשלושה, לא חצי של חצי של חצי. ו-00 לא מתקבל לעולם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

זמן מחצית החיים של תרופה הוא 4 שעות. בכמה אחוזים קטנה כמות התרופה בכל שעה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15.91

הפתרון:

q4=0.5q^4=0.5
q=0.514≈0.8409q=0.5^{\frac{1}{4}}\approx 0.8409

שורש רביעי

1−0.8409≈0.15911-0.8409\approx 0.1591

15.91%15.91\%

התשובה לא 12.512.5 (50:450:4): זו חלוקה של חיבור. בדיקה: 0.8754≈0.5860.875^4\approx 0.586, יותר מחצי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

קבעו אם הטענה נכונה: זמן מחצית החיים של חומר הוא 3 שנים, ולכן אחרי 6 שנים לא נשאר ממנו כלום.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

63=2\frac{6}{3}=2

שני זמני מחצית חיים

0.52=140.5^2=\frac{1}{4}

נשאר רבע

הטענה לא נכונה. שני חצאים הם לא שלם: בפעם השנייה נעלם חצי ממה שנשאר, ולא עוד חצי מההתחלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

אוכלוסייה גדלה ב-12%12\% בכל שנה. כעבור כמה שנים היא תוכפל? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.12

הפתרון:

1.12D=21.12^D=2
D=log⁡2log⁡1.12≈6.12D=\frac{\log 2}{\log 1.12}\approx 6.12

שנים

התשובה לא 8.338.33 (100:12100:12). מי שחילק חשב שכל שנה מוסיפה 12%12\% מההתחלה. בכפל מגיעים ל-22 מהר יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

זמן מחצית החיים של חומר הוא 10 שנים. בהתחלה יש 640640 גרם. השלימו.

אחרי 10 שנים: ____ גרם. אחרי 20 שנים: ____ גרם. אחרי 30 שנים: ____ גרם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אחרי 10 שנים: 320 גרם. אחרי 20 שנים: 160 גרם. אחרי 30 שנים: 80 גרם.

הפתרון:

640⋅0.5=320640\cdot 0.5=320
320⋅0.5=160320\cdot 0.5=160
160⋅0.5=80160\cdot 0.5=80

כל 10 שנים מחלקים ב-22. מי שהוריד 320320 בכל פעם הגיע ל-00 אחרי 20 שנים: זו ירידה בחיבור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

אחרי 6 שעות נשאר רבע מכמות של חומר. מהו זמן מחצית החיים שלו, בשעות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

14=(12)2\frac{1}{4}=\left(\frac{1}{2}\right)^2

שני זמני מחצית חיים

2T=6 ⇒ T=3\begin{aligned}2T &= 6 \ \Rightarrow \ T \\ &= 3\end{aligned}

שעות

מי שענה 1.51.5 חשב שרבע הוא ארבעה חצאים. רבע הוא חצי של חצי: שני זמני מחצית חיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

לאיזה מהתהליכים זמן מחצית החיים הקצר ביותר?

  1. f(t)=900⋅0.95tf(t)=900\cdot 0.95^t
  2. f(t)=500⋅0.9tf(t)=500\cdot 0.9^t
  3. f(t)=50⋅0.99tf(t)=50\cdot 0.99^t
  4. f(t)=100⋅0.8tf(t)=100\cdot 0.8^t
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד f(t)=100⋅0.8tf(t)=100\cdot 0.8^t

הפתרון:

log⁡0.5log⁡0.8≈3.11\frac{\log 0.5}{\log 0.8}\approx 3.11

הקצר ביותר

log⁡0.5log⁡0.9≈6.58\frac{\log 0.5}{\log 0.9}\approx 6.58
log⁡0.5log⁡0.99≈68.97\frac{\log 0.5}{\log 0.99}\approx 68.97

הארוך ביותר

q=0.8q=0.8. הכמות ההתחלתית לא משנה את זמן מחצית החיים. רק qq קובע: ככל ש-qq קטן יותר, הדעיכה מהירה יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

זמן מחצית החיים של חומר רדיואקטיבי הוא 30 שנים. כמה אחוזים מהחומר יישארו אחרי 45 שנים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 35.36

הפתרון:

tT=4530=1.5\begin{aligned}\frac{t}{T} &= \frac{45}{30} \\ &= 1.5\end{aligned}

זמן מחצית חיים וחצי

0.51.5≈0.35360.5^{1.5}\approx 0.3536
35.36%35.36\%

התשובה לא 25%25\%, וגם לא 37.5%37.5\% (באמצע בין 5050 ל-2525): הירידה היא עקומה, לא קו ישר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

לכל תהליך: האם שואלים על זמן מחצית חיים או על זמן הכפלה?

  • זמן מחצית חיים
  • זמן הכפלה
  • q=0.5q=0.5
  • q=0.9q=0.9
  • q=0.99q=0.99
  • q=1.01q=1.01
  • q=1.1q=1.1
  • q=3q=3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: q=0.9q=0.9 — זמן מחצית חיים · q=1.1q=1.1 — זמן הכפלה · q=0.5q=0.5 — זמן מחצית חיים · q=3q=3 — זמן הכפלה · q=0.99q=0.99 — זמן מחצית חיים · q=1.01q=1.01 — זמן הכפלה

הפתרון:

0<q<10<q<1

דעיכה: זמן מחצית חיים

q>1q>1

גדילה: זמן הכפלה

בגדילה הכמות לא תגיע לחצי, ובדעיכה היא לא תוכפל. log⁡0.5log⁡1.1\frac{\log 0.5}{\log 1.1} יוצא שלילי: זה הזמן בעבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

סכום כסף מוכפל כל 6 שנים. מהי הריבית השנתית, באחוזים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12.25

הפתרון:

q6=2q^6=2
q=216≈1.1225q=2^{\frac{1}{6}}\approx 1.1225

שורש שישי

+12.25%+12.25\%

התשובה לא 16.6716.67 (100:6100:6): בריבית דריבית מגיעים להכפלה עם אחוז קטן יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מיכל חישבה את זמן מחצית החיים של חומר שקטן ב-15%15\% בכל שנה. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

q=1−0.15=0.85\begin{aligned}q &= 1-0.15 \\ &= 0.85\end{aligned}
0.85T=0.50.85^T=0.5
T=log⁡0.85log⁡0.5≈0.23T=\frac{\log 0.85}{\log 0.5}\approx 0.23
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: T=log⁡0.85log⁡0.5≈0.23T=\frac{\log 0.85}{\log 0.5}\approx 0.23 → T=log⁡0.5log⁡0.85≈4.27T=\frac{\log 0.5}{\log 0.85}\approx 4.27

הפתרון:

T⋅log⁡0.85=log⁡0.5T\cdot\log 0.85=\log 0.5

המעריך יורד

T=log⁡0.5log⁡0.85≈4.27T=\frac{\log 0.5}{\log 0.85}\approx 4.27

שנים

בשורה 3 המנה הפוכה. בדיקת היגיון: 0.850.230.85^{0.23} קרוב ל-11, לא לחצי. ירידה של 15%15\% בשנה לא מורידה חצי בפחות משנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת