שני תהליכים: מתי הם שווים? · גדילה ודעיכה · כיתה י״ב

בשאלת הבגרות יש בדרך כלל שני תהליכים. אחד גדל ואחד קטן, או ששניהם גדלים באחוזים שונים.

השאלה שחוזרת: מתי הם שווים? ואחריה: מי גדול יותר, ומתי אחד גדול פי כמה מהשני.

שני גרפים, נקודת חיתוך אחת

באגם א׳ יש $1200$ דגים, ומספרם קטן ב- $10\%$ בכל שבוע. באגם ב׳ יש $300$ דגים, ומספרם גדל ב- $20\%$ בכל שבוע.

שני אגמים

אגם א׳: $A(t)=1200\cdot 0.9^t$
אגם ב׳: $B(t)=300\cdot 1.2^t$

הגרפים נחתכים כעבור קצת פחות מ-5 שבועות. לפני החיתוך יש יותר דגים באגם א׳, ואחריו באגם ב׳.

איזה גרף מתאר את אגם ב׳? איך יודעים בלי לקרוא את המקרא?

להציג את התשובה והפתרון

הגרף העולה, שיוצא מ- $300$ : $q=1.2>1$ , ו- $B(0)=300$ .

פעילות אינטראקטיבית

איזה גרף מתאר את $f(t)=400\cdot 1.25^t$ ואת $g(t)=1600\cdot 0.8^t$ ?

בדקו שלושה דברים: מאיפה כל גרף יוצא, האם הוא עולה או יורד, והאם הוא עקומה או קו ישר. ואז לחצו על הגרף הנכון.

להציג את התשובה והפתרון

נכון. $f$ יוצא מ- $400$ ועולה, כי $1.25>1$ . $g$ יוצא מ- $1600$ ויורד בעקומה, כי $0.8<1$ . הם נחתכים כעבור $3.11$ שנים בערך.

לא. כאן השמות הפוכים: הגרף שיוצא מ- $1600$ ויורד נקרא $f$ . אבל $f(0)=400$ .

לא. בגרף III גם $g$ עולה. אבל $q=0.8<1$ , ולכן $g$ יורד.

לא. בגרף IV $g$ הוא קו ישר: הוא מוריד $250$ בכל שנה, ומגיע ל- $0$ . דעיכה באחוז קבוע היא עקומה שלא מגיעה ל- $0$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

מתי שווים? משוואה אחת

משווים את שני הביטויים. מעבירים את החזקות לצד אחד ואת המספרים לצד השני.

חזקות עם אותו מעריך מתחלקות יחד: $\frac{p^t}{r^t}=\left(\frac{p}{r}\right)^t$ .

\begin{aligned}a\cdot p^t &= b\cdot r^t \ \Rightarrow \ \left(\frac{p}{r}\right)^t \\ &= \frac{b}{a}\end{aligned}

מתי באגמים מספר שווה של דגים?

$A(t)=1200\cdot 0.9^t$ ו- $B(t)=300\cdot 1.2^t$ .

1200\cdot 0.9^t=300\cdot 1.2^t

משווים

\begin{aligned}\frac{1200}{300} &= \frac{1.2^t}{0.9^t} \ \Rightarrow \ 4 \\ &= \left(\frac{4}{3}\right)^t\end{aligned}

מחלקים ב- $300$ וב- $0.9^t$

t=\frac{\log 4}{\log\frac{4}{3}}\approx 4.82

שבועות

כמה דגים יש בכל אגם ברגע השוויון?

להציג את התשובה והפתרון

מציבים באחד מהם: $1200\cdot 0.9^{4.82}\approx 722$ . בשני האגמים אותו מספר, וזו דרך טובה לבדוק את $t$ .

שתי טעויות בשוויון.

\left(1.2-0.9\right)^t=4

\left(\frac{1.2}{0.9}\right)^t=4

חזקות עם אותו מעריך מחלקים, לא מחסירים.

\begin{aligned}20\%+10\% &= 30\% \ \Rightarrow \ 1.3^t \\ &= 4\end{aligned}

\frac{1.2}{0.9}=\frac{4}{3}

הפער בין התהליכים הוא מנה של המכפילים, לא סכום של אחוזים.

פי $k$

« מתי באגם ב׳ יהיו פי 2 דגים מאשר באגם א׳? » כותבים $B(t)=2\cdot A(t)$ . ה- $2$ מכפיל את הכמות הקטנה.

פי 2

מתי באגם ב׳ יהיו פי 2 דגים מאשר באגם א׳?

300\cdot 1.2^t=2\cdot 1200\cdot 0.9^t

\begin{aligned}\left(\frac{4}{3}\right)^t &= \frac{2400}{300} \\ &= 8\end{aligned}

t=\frac{\log 8}{\log\frac{4}{3}}\approx 7.23

שבועות

איפה שמים את ה- $2$ ?

2\cdot 300\cdot 1.2^t=1200\cdot 0.9^t

300\cdot 1.2^t=2\cdot 1200\cdot 0.9^t

« ב׳ פי 2 מ-א׳ » אומר שצריך להכפיל את א׳ כדי להגיע ל-ב׳.

תהליך בשני שלבים

לפעמים אותה כמות עולה בתקופה אחת, ויורדת בתקופה שאחריה. המכפילים מוכפלים זה בזה.

עלייה של $20\%$ ואחריה ירידה של $20\%$ . האם חזרנו לנקודת ההתחלה?

להציג את התשובה והפתרון

לא. $1.2\cdot 0.8=0.96$ : ירדנו ב- $4\%$ . והסדר לא משנה: גם $0.8\cdot 1.2=0.96$ .

בתהליך של שני שלבים: $f=f(0)\cdot q_1^{t_1}\cdot q_2^{t_2}$ . השלב השני מתחיל מהכמות שבסוף הראשון.

תרגילים

תרגיל 1

בעיר א׳ גרים $5000$ תושבים, ומספרם גדל ב- $10\%$ בכל שנה. בעיר ב׳ גרים $8000$ תושבים, ומספרם גדל ב- $5\%$ בכל שנה. כעבור כמה שנים יהיה מספר התושבים בשתי הערים שווה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.1

הפתרון:

5000\cdot 1.1^t=8000\cdot 1.05^t

\left(\frac{1.1}{1.05}\right)^t=1.6

t=\frac{\log 1.6}{\log\frac{1.1}{1.05}}\approx 10.10

שנים

מי שכתב $1.05^t=1.6$ חיסר את האחוזים ( $10\%-5\%$ ). הפער הוא המנה $\frac{1.1}{1.05}\approx 1.0476$ , ולא $1.05$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

$A(t)=500\cdot 1.3^t$ ו- $B(t)=4500\cdot 1.1^t$ . איזו משוואה מתארת « $A$ גדול פי 3 מ- $B$ »?

$500\cdot 1.3^t=4500\cdot 1.1^{3t}$
$500\cdot 1.3^t+3=4500\cdot 1.1^t$
$3\cdot 500\cdot 1.3^t=4500\cdot 1.1^t$
$500\cdot 1.3^t=3\cdot 4500\cdot 1.1^t$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $500\cdot 1.3^t=3\cdot 4500\cdot 1.1^t$

הפתרון:

A(t)=3\cdot B(t)

ה- $3$ מכפיל את $B$

האפשרות הראשונה. האפשרות השנייה אומרת « $B$ פי 3 מ- $A$ ». « פי 3 » הוא כפל של הכמות, לא של הזמן ולא תוספת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$f(t)=800\cdot 0.8^t$ ו- $g(t)=200\cdot 1.25^t$ . מצאו את הכמות ברגע שבו $f(t)=g(t)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 400

הפתרון:

\begin{aligned}\left(\frac{1.25}{0.8}\right)^t &= 4 \ \Rightarrow \ 1.5625^t \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}1.5625 &= 1.25^2 \ \Rightarrow \ (1.25^t)^2 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ 1.25^t \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}g(t) &= 200\cdot 2 \\ &= 400\end{aligned}

וגם $f(t)=800\cdot\frac{1}{2}=400$ ✓

השאלה שואלת על הכמות, לא על הזמן ( $t\approx 3.11$ ). אחרי שמוצאים $t$ חייבים להציב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

קבעו אם הטענה נכונה: $A$ גדל ב- $20\%$ בכל שנה, ו- $B$ קטן ב- $20\%$ בכל שנה. לכן היחס $\frac{A}{B}$ גדל ב- $40\%$ בכל שנה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\frac{1.2}{0.8}=1.5

המכפיל של היחס

1.5 \ \Rightarrow \ +50\%

הטענה לא נכונה. היחס גדל ב- $50\%$ בכל שנה. אחוזים של שני תהליכים לא מחברים: מחלקים את המכפילים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במפעל א׳ מייצרים $100$ יחידות בחודש, והייצור גדל ב- $30\%$ בכל חודש. במפעל ב׳ מייצרים $900$ יחידות בחודש, והייצור גדל ב- $10\%$ בכל חודש. כעבור כמה חודשים הייצור שווה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13.15

הפתרון:

100\cdot 1.3^t=900\cdot 1.1^t

\left(\frac{1.3}{1.1}\right)^t=9

t=\frac{\log 9}{\log\frac{1.3}{1.1}}\approx 13.15

חודשים

מי שחישב $\log(1.3-1.1)$ חיסר מכפילים בתוך הלוגריתם, וקיבל מכנה שלילי. נכון: $\log 1.3-\log 1.1$ , כלומר $\log\frac{1.3}{1.1}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בשני המפעלים מהשאלה הקודמת ( $100\cdot 1.3^t$ ו- $900\cdot 1.1^t$ ): מאיזה חודש שלם הייצור במפעל א׳ גדול מהייצור במפעל ב׳?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

\left(\frac{1.3}{1.1}\right)^t>9

t>13.15

$\frac{1.3}{1.1}>1$ : הכיוון נשמר

t=14

החודש השלם הראשון

התשובה $14$ , ולא $13$ : בחודש ה-13 מפעל ב׳ עוד מוביל. מאיזה חודש — מעגלים למעלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

שני תהליכים

בגרף שני תהליכים, $f$ ו- $g$ , מהצורה $c\cdot q^t$ . השלימו לפי הנקודות המסומנות.

$f$ קטן ב- ____ אחוז בכל שבוע. $g$ גדל ב- ____ אחוז בכל שבוע. $f(0)=$ ____ , $g(0)=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $f$ קטן ב- 20 אחוז בכל שבוע. $g$ גדל ב- 20 אחוז בכל שבוע. $f(0)=$ 600 , $g(0)=$ 150

הפתרון:

\begin{aligned}q_f^2 &= \frac{384}{600} \\ &= 0.64 \ \Rightarrow \ q_f \\ &= 0.8\end{aligned}

$-20\%$

\begin{aligned}q_g^2 &= \frac{216}{150} \\ &= 1.44 \ \Rightarrow \ q_g \\ &= 1.2\end{aligned}

$+20\%$

\begin{aligned}f(0) &= 600 \\ \ g(0) &= 150\end{aligned}

החיתוך עם הציר האנכי

הנקודות נמצאות ב- $t=2$ , ולכן מוציאים שורש ריבועי. מי שחילק את $\frac{384}{600}$ ב- $2$ קיבל $0.32$ , מכפיל של ירידה של $68\%$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

שני תהליכים

אלה אותם שני תהליכים: $f(t)=600\cdot 0.8^t$ ו- $g(t)=150\cdot 1.2^t$ . כעבור כמה שבועות $f(t)=g(t)$ ?

$1.5$
$4$
$2$
$3.42$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $3.42$

הפתרון:

\begin{aligned}\left(\frac{1.2}{0.8}\right)^t &= \frac{600}{150} \ \Rightarrow \ 1.5^t \\ &= 4\end{aligned}

t=\frac{\log 4}{\log 1.5}\approx 3.42

שבועות

$3.42$ . $t=2$ הוא רק הזמן של הנקודות המסומנות: שם $384>216$ , ו- $f$ עוד מעל $g$ . $1.5$ הוא המכפיל של היחס, לא הזמן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נועה מחפשת מתי $2000\cdot 0.9^t=500\cdot 1.1^t$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

2000\cdot 0.9^t=500\cdot 1.1^t

\frac{2000}{500}=\frac{1.1^t}{0.9^t}

\begin{aligned}4 &= (1.1-0.9)^t \\ &= 0.2^t\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $4=(1.1-0.9)^t=0.2^t$ → $4=\left(\frac{1.1}{0.9}\right)^t$

הפתרון:

\frac{1.1^t}{0.9^t}=\left(\frac{1.1}{0.9}\right)^t

מנה של חזקות עם אותו מעריך

t=\frac{\log 4}{\log\frac{1.1}{0.9}}\approx 6.91

בשורה 3 חיסרו את הבסיסים. סימן לטעות: $0.2^t$ קטן כש- $t$ גדל, ולא יכול להגיע ל- $4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מחיר של דירה היה $400$ אלף ש״ח. במשך שנתיים הוא עלה ב- $25\%$ בכל שנה. אחר כך, במשך 3 שנים, הוא ירד ב- $20\%$ בכל שנה. מה מחיר הדירה בסוף, באלפי ש״ח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 320

הפתרון:

400\cdot 1.25^2=625

אחרי שתי שנים של עלייה

625\cdot 0.8^3=320

אחרי שלוש שנים של ירידה

המחיר לא חוזר ל- $400$ : $1.25\cdot 0.8=1$ , אבל היו שלוש שנות ירידה ורק שתיים של עלייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

התאימו לכל שאלה את המשוואה או אי-השוויון שלה.

מתי $A$ ו- $B$ שווים?
מתי $A$ גדול פי 2 מ- $B$ ?
מתי $B$ גדול פי 2 מ- $A$ ?
מאיזה זמן $A$ גדול מ- $B$ ?

$A(t)=2B(t)$
$A(t)=B(t)$
$A(t)>B(t)$
$B(t)=2A(t)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מתי $A$ ו- $B$ שווים? — $A(t)=B(t)$ · מתי $A$ גדול פי 2 מ- $B$ ? — $A(t)=2B(t)$ · מתי $B$ גדול פי 2 מ- $A$ ? — $B(t)=2A(t)$ · מאיזה זמן $A$ גדול מ- $B$ ? — $A(t)>B(t)$

הפתרון:

A=2B

ה- $2$ מכפיל את הקטן

הבלבול הנפוץ: « $A$ פי 2 מ- $B$ » הוא $A=2B$ , ולא $2A=B$ . הגדול שווה לקטן כפול 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

$A(t)=1000\cdot 1.2^t$ ו- $B(t)=1000\cdot 0.8^t$ . פי כמה $A$ גדול מ- $B$ כעבור 5 שנים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.59

הפתרון:

\frac{A(5)}{B(5)}=\left(\frac{1.2}{0.8}\right)^5

$1000$ מצטמצם

1.5^5=7.59375

התשובה לא $3$ ( $1+5\cdot 0.4$ ): היחס גדל פי 1.5 בכל שנה, ולכן $1.5^5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שני גרפים, נקודת חיתוך אחת

מתי שווים? משוואה אחת

פי kkk

תהליך בשני שלבים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

פי $k$