פותרים יחד · גדילה ודעיכה · כיתה י״ב

שלוש שאלות בנוסח שאלת הגדילה והדעיכה בבגרות. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל חישוב כותבים את המודל של כל תהליך: $f(0)$ , $q$ , ומה היחידה של $t$ . רוב הטעויות נולדות בשורה הזאת.

1 — שתי מדידות, ואחר כך הזמן

פעילות אינטראקטיבית

מספר המשתמשים באפליקציה גדל באחוז קבוע בכל חודש. אחרי חודש אחד היו $2400$ משתמשים, ואחרי 3 חודשים היו $3456$ . א. מצאו את אחוז הגדילה החודשי. ב. כמה משתמשים היו בהתחלה? ג. כעבור כמה חודשים מההתחלה יהיו $10{,}000$ משתמשים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

\begin{aligned}f(1) &= 2400 \\ \quad f(3) &= 3456\end{aligned}

לחצו «להתחיל». סעיף א פותח את השאלה: בלי $q$ אין התחלה ואין זמן.

א. מנה

\begin{aligned}q^2 &= \frac{3456}{2400} \\ &= 1.44\end{aligned}

בין חודש 1 לחודש 3 עברו שני חודשים.

א. שורש

\begin{aligned}q &= \sqrt{1.44} \\ &= 1.2\end{aligned}

גדילה של $20\%$ בחודש.

ב. אחורה

\begin{aligned}f(0) &= \frac{2400}{1.2} \\ &= 2000\end{aligned}

חודש אחד אחורה: מחלקים ב- $q$ פעם אחת.

ג. משוואה

\begin{aligned}2000\cdot 1.2^t &= 10{,}000 \ \Rightarrow \ 1.2^t \\ &= 5\end{aligned}

המודל המלא: $f(t)=2000\cdot 1.2^t$ .

ג. לוגריתם

t=\frac{\log 5}{\log 1.2}\approx 8.83

חודשים מההתחלה.

סעיף ב נתן את $f(0)$ שסעיף ג צריך. מי שפתר את ג מ- $2400$ מדד את הזמן מחודש 1, ולא מההתחלה.

לעשות את הפעילות ב-elev

אם בסעיף ג שואלים « כעבור כמה חודשים מהמדידה הראשונה », מה התשובה?

להציג את התשובה והפתרון

מחסירים חודש אחד: $8.83-1=7.83$ . או ישר: $2400\cdot 1.2^s=10{,}000$ , ו- $s=\frac{\log\frac{25}{6}}{\log 1.2}\approx 7.83$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — שתי מכוניות: מתי שוות, ומתי אחת זולה יותר

פעילות אינטראקטיבית

שתי מכוניות

מכונית א׳ נקנתה ב- $150{,}000$ ש״ח, וערכה יורד ב- $15\%$ בכל שנה. מכונית ב׳ נקנתה באותו יום ב- $90{,}000$ ש״ח, וערכה יורד ב- $8\%$ בכל שנה. א. כעבור כמה שנים יהיה ערך המכוניות שווה? ב. מאיזו שנה שלמה ערך מכונית א׳ נמוך מערך מכונית ב׳?

איזו משוואה מתארת את סעיף א?

$150{,}000\cdot 0.85^t=90{,}000\cdot 0.92^t$

להציג את התשובה והפתרון

כל מכונית עם המודל שלה.

$150{,}000\cdot 0.15^t=90{,}000\cdot 0.08^t$

להציג את התשובה והפתרון

$0.15$ הוא החלק שהולך. המכפיל הוא מה שנשאר: $0.85$ .

150{,}000\cdot 0.85^t=90{,}000\cdot 0.92^t

המשוואה.

איך מעבירים לצורה $a^t=c$ ?

מחלקים ב- $150{,}000$ וב- $0.92^t$

להציג את התשובה והפתרון

החזקות לצד אחד, המספרים לצד השני.

מחסירים $0.92^t$ משני האגפים

להציג את התשובה והפתרון

שני האגפים הם מכפלות. חיסור לא יפריד את $t$ .

\begin{aligned}\left(\frac{0.85}{0.92}\right)^t &= \frac{90{,}000}{150{,}000} \\ &= 0.6\end{aligned}

מנה של חזקות עם אותו מעריך.

מה הזמן?

$t=\frac{\log 0.6}{\log\frac{0.85}{0.92}}\approx 6.45$

להציג את התשובה והפתרון

שני הלוגריתמים שליליים: המנה חיובית.

$t=\frac{\log 0.6}{\log 0.07}\approx 0.19$

להציג את התשובה והפתרון

חיסרו את המכפילים ( $0.92-0.85$ ). מחלקים אותם.

t\approx 6.45

סעיף א: כעבור $6.45$ שנים בערך.

סעיף ב: « א׳ נמוך מ-ב׳ ». מה הכיוון אחרי החילוק ב- $\log\frac{0.85}{0.92}$ ?

$t<6.45$

להציג את התשובה והפתרון

ב- $t=0$ מכונית א׳ יקרה יותר. אי-השוויון לא יכול להתקיים בהתחלה.

$t>6.45$

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{0.85}{0.92}<1$ , ולכן הלוגריתם שלו שלילי והכיוון מתהפך.

\left(\frac{0.85}{0.92}\right)^t<0.6 \ \Rightarrow \ t>6.45

מהשנה השלמה הראשונה אחרי $6.45$ : שנה 7.

להציג את התשובה והפתרון

א. כעבור $6.45$ שנים. ב. מהשנה ה-7. בדיקה: אחרי 6 שנים א׳ שווה $56{,}572$ וב׳ $54{,}572$ ; אחרי 7 שנים א׳ $48{,}087$ וב׳ $50{,}206$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

למה מכונית א׳, שיקרה יותר, נעשית בסוף זולה יותר?

להציג את התשובה והפתרון

כי היא מאבדת אחוז גדול יותר בכל שנה. אחוז גדול מנצח, עם הזמן, כל הפרש בהתחלה.

השאלות התאומות: שאלה 2 ושאלה 3 ברשימה למטה.

3 — זמן מחצית חיים

פעילות אינטראקטיבית

זמן מחצית החיים של חומר הוא 6 שנים. בהתחלה יש $800$ גרם. א. מצאו את $q$ השנתי (ארבע ספרות אחרי הנקודה). ב. כמה גרם יישארו אחרי 10 שנים? ג. כעבור כמה שנים יישארו $50$ גרם?

\begin{aligned}T &= 6 \\ \quad f(0) &= 800\end{aligned}

לחצו «להתחיל». שימו לב לסעיף ג: אפשר לפתור אותו בלי לוגריתם.

א.

\begin{aligned}q^6 &= 0.5 \ \Rightarrow \ q \\ &= 0.5^{\frac{1}{6}}\approx 0.8909\end{aligned}

ירידה של כ- $10.9\%$ בשנה.

ב.

f(10)=800\cdot 0.5^{\frac{10}{6}}\approx 251.98

עדיף $0.5^{\frac{t}{T}}$ מאשר $q$ המעוגל.

ג. יחס

\begin{aligned}\frac{50}{800} &= \frac{1}{16} \\ &= \left(\frac{1}{2}\right)^4\end{aligned}

ארבעה זמני מחצית חיים.

ג.

\begin{aligned}t &= 4\cdot 6 \\ &= 24\end{aligned}

שנים. ובדרך הלוגריתם: $\frac{\log\frac{1}{16}}{\log 0.8909}\approx 24$ ✓

בסעיף ב, מי שהציב $q=0.89$ קיבל $249.45$ : עיגול של $q$ מזיז את התוצאה. משאירים את $q$ במחשבון.

לעשות את הפעילות ב-elev

כמה גרם יישארו אחרי 12 שנים, בלי מחשבון?

להציג את התשובה והפתרון

12 שנים הן שני זמני מחצית חיים: $800\cdot\frac{1}{4}=200$ גרם.

השאלות התאומות: שאלה 4 ושאלה 5 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

מספר החברים במועדון גדל באחוז קבוע בכל שנה. אחרי שנה אחת היו $1250$ חברים, ואחרי 3 שנים היו $1953.125$ (לפי המודל). השלימו. עגלו את הזמן לשתי ספרות אחרי הנקודה.

אחוז הגדילה השנתי: ____ . בהתחלה היו ____ חברים. כעבור ____ שנים מההתחלה יהיו $5000$ חברים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אחוז הגדילה השנתי: 25 . בהתחלה היו 1000 חברים. כעבור 7.21 שנים מההתחלה יהיו $5000$ חברים.

הפתרון:

\begin{aligned}q^2 &= \frac{1953.125}{1250} \\ &= 1.5625 \ \Rightarrow \ q \\ &= 1.25\end{aligned}

\begin{aligned}f(0) &= \frac{1250}{1.25} \\ &= 1000\end{aligned}

\begin{aligned}1.25^t &= 5 \ \Rightarrow \ t \\ &= \frac{\log 5}{\log 1.25}\approx 7.21\end{aligned}

הזמן נמדד מההתחלה, ולכן משתמשים ב- $f(0)=1000$ . מי שהתחיל מ- $1250$ קיבל $6.21$ : שנה אחת פחות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מכונה א׳ נקנתה ב- $200{,}000$ ש״ח, וערכה יורד ב- $12\%$ בכל שנה. מכונה ב׳ נקנתה באותו יום ב- $100{,}000$ ש״ח, וערכה יורד ב- $5\%$ בכל שנה. כעבור כמה שנים יהיה ערכן שווה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9.06

הפתרון:

200{,}000\cdot 0.88^t=100{,}000\cdot 0.95^t

\left(\frac{0.88}{0.95}\right)^t=0.5

t=\frac{\log 0.5}{\log\frac{0.88}{0.95}}\approx 9.06

שנים

אם יצא זמן שלילי, המנה נכתבה הפוך באחד הצדדים: $\left(\frac{0.95}{0.88}\right)^t$ שווה ל- $2$ , ולא ל- $0.5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

אותן שתי מכונות ( $200{,}000\cdot 0.88^t$ ו- $100{,}000\cdot 0.95^t$ ). מאיזו שנה שלמה ערך מכונה א׳ נמוך מערך מכונה ב׳?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\left(\frac{0.88}{0.95}\right)^t<0.5

t>9.06

הכיוון מתהפך

t=10

מי שכתב $t<9.06$ שכח שהלוגריתם של $\frac{0.88}{0.95}$ שלילי. ב- $t=0$ מכונה א׳ יקרה פי 2, ולכן התשובה לא יכולה להיות « מההתחלה ».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

זמן מחצית החיים של תרופה הוא 8 שעות. בדם יש $960$ מ״ג. כמה מ״ג יישארו אחרי 20 שעות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 169.71

הפתרון:

\frac{20}{8}=2.5

זמני מחצית חיים

960\cdot 0.5^{2.5}\approx 169.71

מ״ג

התשובה לא $240$ (שני חצאים) ולא $120$ (שלושה). $2.5$ זמני מחצית חיים: בין שני המספרים, בחזקה $2.5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

אותה תרופה: זמן מחצית חיים 8 שעות, ובהתחלה $960$ מ״ג. כעבור כמה שעות יישארו $60$ מ״ג?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{60}{960} &= \frac{1}{16} \\ &= 0.5^4\end{aligned}

ארבעה זמני מחצית חיים

\begin{aligned}t &= 4\cdot 8 \\ &= 32\end{aligned}

שעות

מי שענה $16$ חשב ש- $\frac{1}{16}$ הוא שני חצאים. $\frac{1}{16}$ הוא $\frac{1}{2}$ בחזקת 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — שתי מדידות, ואחר כך הזמן

2 — שתי מכוניות: מתי שוות, ומתי אחת זולה יותר

3 — זמן מחצית חיים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev