סדרה 2 — בינוני · גדילה ודעיכה · כיתה י״ב

עשרה תרגילים בשני שלבים או יותר.

בכל שאלה של « מאיזה … שלם »: פותרים אי-שוויון, מעגלים למעלה, ובודקים את המספר השלם שלפני.

תרגילים

תרגיל 1

כמות גדלה באחוז קבוע בכל שנה. אחרי 3 שנים היא $1000$ , ואחרי 5 שנים היא $1440$ . בכמה אחוזים היא גדלה בכל שנה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

\begin{aligned}q^2 &= \frac{1440}{1000} \\ &= 1.44\end{aligned}

עברו שנתיים

q=1.2

$+20\%$

החזקה היא $2$ , ההפרש בין הזמנים — לא $5$ ולא $3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותה כמות ( $1000$ אחרי 3 שנים, $1440$ אחרי 5 שנים): כמה היה בהתחלה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 578.7

הפתרון:

\begin{aligned}f(0) &= \frac{1000}{1.2^3} \\ &= \frac{1000}{1.728}\end{aligned}

\approx 578.70

מ- $t=3$ חוזרים שלוש תקופות: מחלקים ב- $1.2^3$ , ולא ב- $1.2^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במאגר יש $3000$ מ״ק מים, והכמות קטנה ב- $8\%$ בכל שבוע. מאיזה שבוע שלם יהיו במאגר פחות מ- $1000$ מ״ק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

0.92^t<\frac{1}{3}

t>\frac{\log\frac{1}{3}}{\log 0.92}\approx 13.18

הסימן מתהפך

t=14

שתי מלכודות: הסימן מתהפך בחילוק ב- $\log 0.92<0$ , ו- $13.18$ מעגלים למעלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

זמן מחצית החיים של חומר הוא 6 שעות. כמה אחוזים ממנו יישארו אחרי 15 שעות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 17.68

הפתרון:

\frac{15}{6}=2.5

0.5^{2.5}\approx 0.1768

$17.68\%$

בין $25\%$ (אחרי 12 שעות) ל- $12.5\%$ (אחרי 18 שעות), אבל לא באמצע: הירידה היא עקומה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בשמורה א׳ יש $6000$ צבאים, ומספרם קטן ב- $5\%$ בכל שנה. בשמורה ב׳ יש $1500$ צבאים, ומספרם גדל ב- $8\%$ בכל שנה. כעבור כמה שנים יהיה מספר הצבאים בשתי השמורות שווה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.81

הפתרון:

6000\cdot 0.95^t=1500\cdot 1.08^t

\left(\frac{1.08}{0.95}\right)^t=4

t=\frac{\log 4}{\log\frac{1.08}{0.95}}\approx 10.81

מי שכתב $1.13^t=4$ חיבר את האחוזים ( $8\%+5\%$ ). המכפיל של היחס הוא $\frac{1.08}{0.95}\approx 1.137$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

$A(t)=5000\cdot 1.03^t$ ו- $B(t)=2000\cdot 1.09^t$ . כעבור כמה זמן $B$ יהיה גדול פי 2 מ- $A$ ? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 28.43

הפתרון:

2000\cdot 1.09^t=2\cdot 5000\cdot 1.03^t

ה- $2$ מכפיל את $A$

\left(\frac{1.09}{1.03}\right)^t=5

t\approx 28.43

מי ששם את ה- $2$ ליד $B$ פתר « $A$ פי 2 מ- $B$ » וקיבל זמן אחר לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

קבעו אם הטענה נכונה: אם $f(t)=f(0)\cdot q^t$ ו- $q=0.5^{\frac{1}{10}}$ , אז זמן מחצית החיים הוא 10.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}q^{10} &= \left(0.5^{\frac{1}{10}}\right)^{10} \\ &= 0.5\end{aligned}

הטענה נכונה. זו בדיוק הדרך מ- $T$ אל $q$ : $q=0.5^{\frac{1}{T}}$ . בדיקה בהצבה מספיקה, אין צורך בלוגריתם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מספר המנויים לעיתון קטן ב- $3\%$ בכל חודש. בכמה אחוזים הוא קטן בשנה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30.62

הפתרון:

0.97^{12}\approx 0.6938

1-0.6938=0.3062

$30.62\%$

התשובה לא $36$ ( $12\cdot 3$ ): כל חודש ה- $3\%$ נלקחים ממספר קטן יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשך 3 שנים עלה מחיר של מוצר ב- $10\%$ בכל שנה. אחר כך, במשך שנתיים, ירד המחיר ב- $5\%$ בכל שנה. המחיר בהתחלה היה $2000$ ש״ח. מה המחיר בסוף? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2402.46

הפתרון:

2000\cdot 1.1^3=2662

שלוש שנות עלייה

2662\cdot 0.95^2=2662\cdot 0.9025\approx 2402.46

שתי שנות ירידה

השלב השני מתחיל מ- $2662$ , ולא מ- $2000$ . מי שחישב $2000\cdot(1+0.3-0.1)$ חיבר אחוזים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

אחרי 4 שבועות נשארו $40\%$ מכמות של חומר. הכמות קטנה באחוז קבוע. בכמה אחוזים היא קטנה בכל שבוע?

$15\%$
$60\%$
$20.47\%$
$10\%$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $20.47\%$

הפתרון:

q^4=0.4

q=0.4^{\frac{1}{4}}\approx 0.7953

1-0.7953\approx 0.2047

$20.47\%$ . $15\%$ בא מחלוקת $60\%$ ב- $4$ . $60\%$ הוא מה שהלך בכל 4 השבועות יחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev