הנגזרת של ln x · חשבון דיפרנציאלי של הפונקציה ln x · כיתה י״ב

הנגזרת של $\ln x$ פשוטה מאוד:

(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}

לכל $x>0$

מהו שיפוע המשיק ל- $y=\ln x$ בנקודה שבה $x=5$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac15=0.2$ . השיפוע הוא הנגזרת: $\frac1x$ ב- $x=5$ .

הנגזרת של $\ln f(x)$

כשבתוך ה- $\ln$ יש ביטוי, גוזרים לפי כלל השרשרת: נגזרת הביטוי חלקי הביטוי.

\big(\ln f(x)\big)^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}

\big(\ln(3x+1)\big)^{\prime}=\frac{3}{3x+1}

הנגזרת של $3x+1$ היא $3$

\big(\ln(x^2+4)\big)^{\prime}=\frac{2x}{x^2+4}

הנגזרת של $x^2+4$ היא $2x$

\big(\ln(x^2-6x+8)\big)^{\prime}=\frac{2x-6}{x^2-6x+8}

אותו כלל, בכל ביטוי

מהי הנגזרת של $\ln(5x)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{5}{5x}=\frac1x$ . בדיוק כמו $\ln x$ : כי $\ln(5x)=\ln 5+\ln x$ , ו- $\ln 5$ הוא מספר.

שתי טעויות נפוצות.

\big(\ln(x^2+4)\big)^{\prime}=\frac{1}{x^2+4}

\frac{2x}{x^2+4}

שכחו את נגזרת הפנימית במונה.

(\ln 5)^{\prime}=\frac15

(\ln 5)^{\prime}=0

$\ln 5\approx 1.61$ הוא מספר. הנגזרת של מספר היא $0$ .

$\ln x$ עם פולינום ועם שבר

$f(x)=x\ln x$

מכפלה: $(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$ .

f^{\prime}(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\frac1x

גוזרים כל גורם בתורו

f^{\prime}(x)=\ln x+1

$x\cdot\frac1x=1$

$f(x)=(\ln x)^2$

חזקה של ביטוי: כלל השרשרת.

f^{\prime}(x)=2\ln x\cdot\frac1x

מורידים את החזקה, וכופלים בנגזרת הפנימית

f^{\prime}(x)=\frac{2\ln x}{x}

$f(x)=\frac{\ln x}{x}$

מנה: $\left(\frac uv\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}$ .

f^{\prime}(x)=\frac{\frac1x\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}

f^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}

מהי הנגזרת של $f(x)=x^2-2\ln x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$f^{\prime}(x)=2x-\frac2x$ . כל איבר לחוד.

המשיק

פעילות אינטראקטיבית

מצאו את משוואת המשיק לגרף של $f(x)=x\ln x$ בנקודה שבה $x=e$ .

\begin{aligned}f(x) &= x\ln x \\ \quad x_0 &= e\end{aligned}

לחצו «להתחיל». שלושה צעדים: הנקודה, השיפוע, המשוואה.

הנקודה

\begin{aligned}y_0 &= f(e) \\ &= e\cdot\ln e \\ &= e\end{aligned}

מציבים ב- $f$ . $\ln e=1$ .

הנגזרת

f^{\prime}(x)=\ln x+1

מכפלה.

השיפוע

\begin{aligned}m &= f^{\prime}(e) \\ &= 1+1 \\ &= 2\end{aligned}

מציבים ב- $f^{\prime}$ , לא ב- $f$ .

המשוואה

\begin{aligned}y-e &= 2(x-e) \Rightarrow y \\ &= 2x-e\end{aligned}

$y-y_0=m(x-x_0)$ .

המשיק $y=2x-e$ חותך את ציר ה- $y$ ב- $-e\approx -2.72$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

משיק = שלושה צעדים: הנקודה $(x_0,\,f(x_0))$ , השיפוע $f^{\prime}(x_0)$ , והמשוואה $y-y_0=m(x-x_0)$ .

באיזו נקודה המשיק לגרף של $y=\ln x$ מקביל לישר $y=\frac12 x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

משיקים מקבילים = שיפועים שווים: $\frac1x=\frac12$ , ולכן $x=2$ . הנקודה $(2,\,\ln 2)\approx(2,\,0.69)$ .

תרגילים

תרגיל 1

נתונה $f(x)=\ln x$ . חשבו את $f^{\prime}(4)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

f^{\prime}(x)=\frac1x

\begin{aligned}f^{\prime}(4) &= \frac14 \\ &= 0.25\end{aligned}

$0.25$ . מי שכתב $\ln 4\approx 1.39$ הציב ב- $f$ ולא ב- $f^{\prime}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהי הנגזרת של $f(x)=\ln(5x-2)$ ?

$\frac{5}{5x-2}$
$\frac{1}{5x-2}$
$\ln 5$
$\frac{5}{x}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\frac{5}{5x-2}$

הפתרון:

\frac{(5x-2)^{\prime}}{5x-2}=\frac{5}{5x-2}

נגזרת הביטוי חלקי הביטוי

$\frac{5}{5x-2}$ . בלי ה- $5$ במונה שכחו את נגזרת הפנימית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x)=\ln(x^2+1)$ . חשבו את $f^{\prime}(1)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f^{\prime}(x)=\frac{2x}{x^2+1}

\begin{aligned}f^{\prime}(1) &= \frac{2}{2} \\ &= 1\end{aligned}

$1$ . מי שקיבל $\frac12$ שכח את $2x$ במונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

התאימו לכל פונקציה את הנגזרת שלה.

$\ln(4x)$
$\ln(x^2+3)$
$x\ln x$
$(\ln x)^2$

$\frac{2\ln x}{x}$
$\frac{2x}{x^2+3}$
$\frac1x$
$\ln x+1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\ln(4x)$ — $\frac1x$ · $\ln(x^2+3)$ — $\frac{2x}{x^2+3}$ · $x\ln x$ — $\ln x+1$ · $(\ln x)^2$ — $\frac{2\ln x}{x}$

הפתרון:

\begin{aligned}\big(\ln(4x)\big)^{\prime} &= \frac{4}{4x} \\ &= \frac1x\end{aligned}

(x\ln x)^{\prime}=\ln x+x\cdot\frac1x

מכפלה

$\ln(4x)$ ו- $\ln x$ נבדלות במספר קבוע, $\ln 4$ . לכן יש להן אותה נגזרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הנגזרת של $\ln(3x)$ היא $\frac{3}{x}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\big(\ln(3x)\big)^{\prime} &= \frac{3}{3x} \\ &= \frac1x\end{aligned}

נגזרת הפנימית חלקי הפנימית

לא נכון. ה- $3$ מופיע גם במונה וגם במכנה, ומצטמצם. התשובה $\frac1x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה $f(x)=x^2-2\ln x$ . חשבו את $f^{\prime}(2)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f^{\prime}(x)=2x-\frac2x

\begin{aligned}f^{\prime}(2) &= 4-1 \\ &= 3\end{aligned}

$3$ . הנגזרת של $2\ln x$ היא $\frac2x$ , לא $\frac12$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ . חשבו את $f^{\prime}(1)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}

כלל המנה

\begin{aligned}f^{\prime}(1) &= \frac{1-0}{1} \\ &= 1\end{aligned}

$\ln 1=0$

$1$ . בכלל המנה הסדר חשוב: $u^{\prime}v-uv^{\prime}$ . סדר הפוך נותן $-1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מצאו את משוואת המשיק לגרף של $y=\ln x$ בנקודה שבה $x=e$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

\begin{aligned}y_0 &= \ln e \\ &= 1\end{aligned}

m=\frac{1}{e}

y-1=\frac1e(x-e)

y=\frac{x}{e}-1

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y=\frac{x}{e}-1$ → $y=\frac{x}{e}$

הפתרון:

y=\frac{x}{e}-1+1

פותחים סוגריים: $\frac1e\cdot e=1$

בשורה 4 שכחו להעביר את $1$ מאגף שמאל. המשיק $y=\frac xe$ עובר בראשית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה $f(x)=\ln(2x-1)$ . מצאו את המשיק לגרף בנקודה שבה $x=1$ . השלימו.

שיפוע המשיק: ____ ; החיתוך של המשיק עם ציר ה- $y$ : ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שיפוע המשיק: 2 ; החיתוך של המשיק עם ציר ה- $y$ : -2

הפתרון:

\begin{aligned}f(1) &= \ln 1 \\ &= 0\end{aligned}

הנקודה $(1,\,0)$

\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \frac{2}{2x-1} \Rightarrow f^{\prime}(1) \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}y-0 &= 2(x-1) \Rightarrow y \\ &= 2x-2\end{aligned}

המשיק $y=2x-2$ . השיפוע $2$ בא מנגזרת הפנימית: בלעדיה מקבלים $1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

באיזו נקודה המשיק לגרף של $y=\ln x$ מקביל לישר $y=3x+1$ ? כתבו את שיעור ה- $x$ , עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.33

הפתרון:

\frac1x=3

שיפועים שווים

x=\frac13\approx 0.33

$x=\frac13$ . משיקים מקבילים = שיפועים שווים. לא מציבים את $3x+1$ ב- $\ln$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מהי הנגזרת של $f(x)=x^2\ln x$ ?

$2x\ln x+x$
$\frac{2x}{x}$
$2x+\frac1x$
$2x\ln x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $2x\ln x+x$

הפתרון:

f^{\prime}(x)=2x\cdot\ln x+x^2\cdot\frac1x

מכפלה

=2x\ln x+x

$2x\ln x+x$ . מכפלה אינה מכפלת הנגזרות: $2x\cdot\frac1x$ שגוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מיינו: לאיזו פונקציה הנגזרת היא $\frac1x$ ?

הנגזרת $\frac1x$
נגזרת אחרת

$\ln x+5$
$\ln(10x)$
$\ln(2x)$
$\ln(x^2)$
$\ln(x+2)$
$2\ln x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\ln(2x)$ — הנגזרת $\frac1x$ · $\ln x+5$ — הנגזרת $\frac1x$ · $\ln(x+2)$ — נגזרת אחרת · $\ln(x^2)$ — נגזרת אחרת · $\ln(10x)$ — הנגזרת $\frac1x$ · $2\ln x$ — נגזרת אחרת

הפתרון:

\begin{aligned}\big(\ln(kx)\big)^{\prime} &= \frac kx\cdot\frac1k \\ &= \frac1x\end{aligned}

\begin{aligned}\big(\ln(x^2)\big)^{\prime} &= \frac{2x}{x^2} \\ &= \frac2x\end{aligned}

כפל בפנים ( $\ln(10x)$ ) לא משנה את הנגזרת. חיבור בפנים ( $\ln(x+2)$ ) כן: $\frac{1}{x+2}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

הנגזרת של ln⁡f(x)\ln f(x)lnf(x)

ln⁡x\ln xlnx עם פולינום ועם שבר

המשיק

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

הנגזרת של $\ln f(x)$

$\ln x$ עם פולינום ועם שבר