התחום של ln f(x) · חשבון דיפרנציאלי של הפונקציה ln x · כיתה י״ב

ב- $y=\ln f(x)$ יש תנאי אחד: מה שבתוך ה- $\ln$ חיובי.

y=\ln f(x) \;\Rightarrow\; f(x)>0

זה תחום ההגדרה

\ln(2x-6)

$2x-6>0$ , כלומר $x>3$

\ln(5-x)

$5-x>0$ , כלומר $x<5$ : הסימן מתהפך כשמחלקים ב- $-1$

מהו התחום של $y=\ln(8-2x)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$8-2x>0$ , כלומר $-2x>-8$ , ולכן $x<4$ . מחלקים במספר שלילי: הסימן מתהפך.

כשבפנים יש ביטוי ממעלה שנייה

פותרים אי-שוויון: $x^2-6x+8>0$ . מוצאים את השורשים, ובודקים איפה הפרבולה מעל ציר ה- $x$ .

פעילות אינטראקטיבית

פותרים יחד: התחום של $\ln(x^2-6x+8)$

y=\ln(x^2-6x+8)

תנאי

מה התנאי?

x^2-6x+8>0

x^2-6x+8\ge 0

להציג את התשובה והפתרון

כאשר מה שבפנים שווה $0$ , מקבלים $\ln 0$ , שלא מוגדר.

x^2-6x+8>1

להציג את התשובה והפתרון

$\ln$ מוגדר גם כשמה שבפנים בין $0$ ל- $1$ . אז הוא פשוט שלילי.

מה שבפנים חיובי.

שורשים

איפה $x^2-6x+8=0$ ?

\begin{aligned}x &= 2 \\ \ x &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}x &= -2 \\ \ x &= -4\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

$(x-2)(x-4)$ : השורשים חיוביים. בדיקה: $4-12+8=0$ ✓.

x=3

להציג את התשובה והפתרון

$x=3$ הוא הקודקוד. שם $9-18+8=-1$ , לא $0$ .

הפרבולה חותכת את ציר ה- $x$ ב- $2$ וב- $4$ .

\begin{aligned}(x-2)(x-4) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2 \\ \ x &= 4\end{aligned}

תחום

הפרבולה "מחייכת". איפה היא מעל ציר ה- $x$ ?

x<2 \ \text{או} \ x>4

2<x<4

להציג את התשובה והפתרון

בין השורשים הפרבולה מתחת לציר. בדיקה ב- $x=3$ : $-1<0$ .

x>4

להציג את התשובה והפתרון

גם $x=0$ מתאים: $0-0+8=8>0$ . יש עוד חלק משמאל.

זה התחום: שני חלקים.

אסימפטוטות

מה האסימפטוטות האנכיות?

\begin{aligned}x &= 2 \\ \ x &= 4\end{aligned}

x=3

להציג את התשובה והפתרון

$x=3$ מחוץ לתחום, ושם הגרף לא מתקרב לשום דבר.

x=0

להציג את התשובה והפתרון

$x=0$ בתוך התחום: $\ln 8$ מוגדר.

בכל קצה שבו מה שבפנים מתאפס.

תנאי, שורשים, סימן הפרבולה. ובקצוות: אסימפטוטות.

לעשות את הפעילות ב-elev

f(x)=\ln(x^2-6x+8)

. בין

x=2

ל-

x=4

אין גרף. ליד כל אסימפטוטה הגרף יורד בלי סוף.

למה אין גרף בין $x=2$ ל- $x=4$ ?

להציג את התשובה והפתרון

שם מה שבפנים שלילי. למשל ב- $x=3$ : $9-18+8=-1$ , ו- $\ln(-1)$ לא מוגדר.

\ln(x^2+4)

תמיד חיובי: מוגדר לכל $x$ . אין אסימפטוטה אנכית

\ln(9-x^2)

פרבולה "עצובה": חיובית בין השורשים, $-3<x<3$

\ln(x^2)

חיובי לכל $x\neq 0$

אסימפטוטה אנכית: איפה שמה שבפנים מתאפס

כשמה שבפנים מתקרב ל- $0$ , ה- $\ln$ יורד ל- $-\infty$ . לכן בכל קצה של התחום שבו הביטוי מתאפס, יש אסימפטוטה אנכית.

מצאו את התחום ואת האסימפטוטות של $f(x)=\ln x+\ln(6-x)$

יש שני $\ln$ . כל אחד דורש תנאי.

x>0

התנאי של $\ln x$

6-x>0 \Rightarrow x<6

התנאי של $\ln(6-x)$

0<x<6

שני התנאים יחד

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= 6\end{aligned}

שתי אסימפטוטות אנכיות, בשני הקצוות

שתי טעויות בתחום.

x^2-6x+8>0 \Rightarrow 2<x<4

x<2 \ \text{או} \ x>4

בין השורשים הפרבולה שלילית. בודקים נקודה: $x=0$ נותן $8>0$ .

\ln x+\ln(x-4) : \ x>0

x>4

כל $\ln$ דורש תנאי, ושניהם צריכים להתקיים. $x=1$ נותן $\ln(-3)$ .

תחום של שני חלקים? שרטטו את ציר ה- $x$ , סמנו את השורשים, וצבעו את החלקים שבהם מה שבפנים חיובי.

תרגילים

תרגיל 1

השלימו את תחום ההגדרה של $y=\ln(3x-12)$ .

$x>$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x>$ 4

הפתרון:

3x-12>0

מה שבפנים חיובי

3x>12 \Rightarrow x>4

$x>4$ . מי שכתב $x>12$ שכח לחלק ב- $3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו התחום של $y=\ln(10-2x)$ ?

$x>5$
$x<-5$
$x>-5$
$x<5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x<5$

הפתרון:

10-2x>0 \Rightarrow -2x>-10

x<5

מחלקים ב- $-2$ : הסימן מתהפך

$x<5$ . מי שבחר $x>5$ שכח להפוך את הסימן. בדיקה: $x=0$ נותן $\ln 10$ , מוגדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו התחום של $y=\ln(x^2-5x+6)$ ?

$2<x<3$
$x>3$
$x<2$ או $x>3$
כל $x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x<2$ או $x>3$

הפתרון:

(x-2)(x-3)>0

מפרקים

x<2 \ \text{או} \ x>3

הפרבולה מחייכת: חיובית מחוץ לשורשים

מחוץ לשורשים. $2<x<3$ הוא דווקא המקום שבו מה שבפנים שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

השלימו את התחום של $y=\ln(16-x^2)$ .

____ $<x<$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4 $<x<$ 4

הפתרון:

16-x^2>0 \Rightarrow x^2<16

-4<x<4

פרבולה עצובה: חיובית בין השורשים

$-4<x<4$ . מי שכתב $x<4$ בלבד שכח ש- $x=-5$ נותן $16-25<0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הפונקציה $y=\ln(x^2+9)$ מוגדרת לכל $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x^2\ge 0 \Rightarrow x^2+9\ge 9>0

מה שבפנים תמיד חיובי

נכון. ולכן אין לה אסימפטוטה אנכית. "יש ln" לא אומר "יש אסימפטוטה".

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

התאימו לכל פונקציה את התחום שלה.

$\ln(x-1)$
$\ln(1-x)$
$\ln(x^2-1)$
$\ln(1-x^2)$

$-1<x<1$
$x<-1$ או $x>1$
$x<1$
$x>1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\ln(x-1)$ — $x>1$ · $\ln(1-x)$ — $x<1$ · $\ln(x^2-1)$ — $x<-1$ או $x>1$ · $\ln(1-x^2)$ — $-1<x<1$

הפתרון:

x^2-1>0 \Rightarrow |x|>1

1-x^2>0 \Rightarrow |x|<1

$x^2-1$ ו- $1-x^2$ כמעט זהים בכתיבה, אבל הסימנים הפוכים: אחד חיובי מחוץ לשורשים, השני ביניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מצאו את האסימפטוטות האנכיות של $y=\ln(x^2-7x+10)$ . כתבו קודם את הקטנה.

$x=$ ____ , $x=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=$ 2 , $x=$ 5

הפתרון:

x^2-7x+10=0

איפה מה שבפנים מתאפס

(x-2)(x-5)=0

$x=2$ ו- $x=5$ , בשני קצוות התחום $x<2$ או $x>5$ . הקודקוד $x=3.5$ אינו אסימפטוטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מיינו: איזה ערך של $x$ נמצא בתחום של $f(x)=\ln(x^2-4x)$ ?

בתחום
לא בתחום

$x=-1$
$x=-3$
$x=0$
$x=2$
$x=4$
$x=5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=-1$ — בתחום · $x=2$ — לא בתחום · $x=5$ — בתחום · $x=0$ — לא בתחום · $x=4$ — לא בתחום · $x=-3$ — בתחום

הפתרון:

x(x-4)>0

x<0 \ \text{או} \ x>4

$x=0$ ו- $x=4$ נותנים $\ln 0$ : הם לא בתחום. $x=2$ נותן $\ln(-4)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מצאו את התחום של $f(x)=\ln(x+3)+\ln(5-x)$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

x+3>0 \Rightarrow x>-3

5-x>0 \Rightarrow x>5

-3<x<5

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $5-x>0 \Rightarrow x>5$ → $5-x>0 \Rightarrow x<5$

הפתרון:

-x>-5 \Rightarrow x<5

מחלקים ב- $-1$

בשורה 2 לא הפכו את הסימן. שורה 3 נכונה: היא החלק המשותף של $x>-3$ ו- $x<5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מהו התחום של $f(x)=\frac{\ln x}{x-3}$ ?

$x>3$
$x>0$
$x>0$ , $x\neq 3$
$x\neq 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x>0$ , $x\neq 3$

הפתרון:

x>0

התנאי של $\ln x$

x-3\neq 0

המכנה לא מתאפס

שני תנאים: $\ln$ דורש $x>0$ , והמכנה דורש $x\neq 3$ . מי שבחר $x>3$ חשב שהמכנה צריך להיות חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונה $f(x)=\ln(x^2-6x+8)$ . מצאו את נקודת החיתוך עם ציר ה- $y$ . כתבו את ערך ה- $y$ , עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.08

הפתרון:

x=0 \in \{x<2\}

קודם בודקים ש- $0$ בתחום

f(0)=\ln 8\approx 2.08

$\ln 8\approx 2.08$ . אם $0$ היה מחוץ לתחום, לא היה חיתוך עם ציר ה- $y$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

לפונקציה $y=\ln(x^2+1)$ יש אסימפטוטה אנכית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x^2+1\ge 1

מה שבפנים לא מתקרב ל- $0$

לא נכון. אסימפטוטה אנכית של $\ln$ צריכה מקום שבו מה שבפנים מתאפס. $x^2+1$ אף פעם לא מתאפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

כשבפנים יש ביטוי ממעלה שנייה

אסימפטוטה אנכית: איפה שמה שבפנים מתאפס

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev