תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: ערכים, תחום, נגזרות, משיק, חקירה, גרף הנגזרת, פרמטר ושטח. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

תרגיל 1

חשבו: ln⁡e−2\ln e^{-2}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

ln⁡e−2=−2\ln e^{-2}=-2

−2-2. ln⁡\ln יכול להיות שלילי; רק מה שבפנים חייב להיות חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו התחום של f(x)=ln⁡x+ln⁡(4−x)f(x)=\ln x+\ln(4-x)?

  1. x>4x>4
  2. x>0x>0
  3. 0<x<40<x<4
  4. x<4x<4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 0<x<40<x<4

הפתרון:

x>0,4−x>0⇒x<4x>0 ,\quad 4-x>0 \Rightarrow x<4

שני תנאים

0<x<40<x<4: שני התנאים יחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=ln⁡(x2+x)f(x)=\ln(x^2+x). חשבו את f′(1)f^{\prime}(1).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

f′(x)=2x+1x2+xf^{\prime}(x)=\frac{2x+1}{x^2+x}
f′(1)=32=1.5\begin{aligned}f^{\prime}(1) &= \frac32 \\ &= 1.5\end{aligned}

1.51.5. במונה 2x+12x+1, הנגזרת של כל הביטוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה f(x)=xln⁡x−xf(x)=x\ln x-x. מהו ערך המינימום של הפונקציה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

f′(x)=ln⁡x+1−1=ln⁡x\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \ln x+1-1 \\ &= \ln x\end{aligned}
ln⁡x=0⇒x=1\begin{aligned}\ln x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}
f(1)=0−1=−1\begin{aligned}f(1) &= 0-1 \\ &= -1\end{aligned}

−1-1. הנגזרת יוצאת פשוטה: ln⁡x\ln x. מי שכתב f′=ln⁡x+1f^{\prime}=\ln x+1 שכח את נגזרת −x-x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

(ln⁡x)2(\ln x)^2 ו-ln⁡(x2)\ln(x^2) הן אותה פונקציה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

ln⁡(x2)=2ln⁡x\ln(x^2)=2\ln x

חוק החזקה

(ln⁡e)2=1ln⁡(e2)=2\begin{aligned}(\ln e)^2 &= 1 \\ \quad \ln(e^2) &= 2\end{aligned}

דוגמה נגדית

לא נכון. (ln⁡x)2(\ln x)^2 הוא ריבוע של הלוגריתם, ו-ln⁡(x2)=2ln⁡x\ln(x^2)=2\ln x. ב-x=ex=e: 1≠21\neq 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המשיק לגרף של y=ln⁡xy=\ln x בנקודה שבה x=e2x=e^2 חותך את ציר ה-yy. באיזה ערך של yy?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

y0=ln⁡e2=2m=1e2\begin{aligned}y_0 &= \ln e^2 \\ &= 2 \\ \quad m &= \frac{1}{e^2}\end{aligned}
y−2=1e2(x−e2)y-2=\frac{1}{e^2}(x-e^2)
x=0⇒y=2−1=1\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 2-1 \\ &= 1\end{aligned}

11. 1e2⋅e2=1\frac{1}{e^2}\cdot e^2=1: החישוב יוצא נקי בלי מחשבון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה f(x)=ln⁡(25−x2)f(x)=\ln(25-x^2). השלימו. עגלו לשתי ספרות.

התחום: ____ <x<<x< ____ ; ערך המקסימום: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: התחום: -5 <x<<x< 5 ; ערך המקסימום: 3.22

הפתרון:

25−x2>0⇒−5<x<525-x^2>0 \Rightarrow -5<x<5
f′(x)=−2x25−x2=0⇒x=0\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \frac{-2x}{25-x^2} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}
f(0)=ln⁡25≈3.22f(0)=\ln 25\approx 3.22

מקסימום ב-(0, ln⁡25)(0,\,\ln 25). ליד x=±5x=\pm5 הגרף יורד בלי סוף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

xyy = −1x = 0I
xyy = 1x = 0II
xyy = −1x = 0III
xyx = 0IV

נתונה f(x)=ln⁡x−xf(x)=\ln x-x. קבעו איזה מן הגרפים מתאר את f′(x)f^{\prime}(x).

  1. גרף III
  2. גרף I
  3. גרף II
  4. גרף IV
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף I

הפתרון:

f′(x)=1x−1x>0\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \frac1x-1 \\ \quad x>0\end{aligned}
x=1:f′=0+→−\begin{aligned}x &= 1: f^{\prime} \\ &= 0 \\ \quad +\to-\end{aligned}

עולה ואחר כך יורדת: מקסימום

גרף I. גרף II הוא 1−1x1-\frac1x, בסימן ההפוך. גרף III מוגדר גם ל-x<0x<0. גרף IV לא חוצה את הציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

לפונקציה f(x)=ax2−ln⁡xf(x)=ax^2-\ln x יש נקודת קיצון ב-x=1x=1. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

f′(x)=2ax−1xf^{\prime}(x)=2ax-\frac1x
f′(1)=2a−1=0⇒a=12\begin{aligned}f^{\prime}(1) &= 2a-1 \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= \frac12\end{aligned}

a=0.5a=0.5. מציבים בנגזרת, לא בפונקציה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=ln⁡xxf(x)=\frac{\ln x}{x}. חשבו את השטח בין הגרף של f′(x)f^{\prime}(x), ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=ex=e. עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.37

הפתרון:

f′(x)=1−ln⁡xx2≥01≤x≤e\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \frac{1-\ln x}{x^2}\ge 0 \\ \quad 1\le x\le e\end{aligned}

מעל הציר

S=f(e)−f(1)=1e−0\begin{aligned}S &= f(e)-f(1) \\ &= \frac1e-0\end{aligned}
≈0.37\approx 0.37

1e≈0.37\frac1e\approx 0.37. בדקו קודם את הסימן של f′f^{\prime} בתחום: כאן הוא לא שלילי, ולכן f(e)−f(1)f(e)-f(1).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת