סדרה 3 — ברמת בגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שתי שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה.

סעיף מאוחר משתמש בתשובה של סעיף מוקדם. בשאלה השנייה, סעיף ה נפתר בעזרת סעיפים א ו-ב.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2−8x+15)f(x)=\ln(x^2-8x+15). א. מצאו את תחום ההגדרה של ff ואת האסימפטוטות האנכיות שלה.

התחום: x<x< ____ או x>x> ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: התחום: x<x< 3 או x>x> 5

הפתרון:

(x−3)(x−5)>0(x-3)(x-5)>0
x<3 או x>5x<3 \ \text{או} \ x>5

מחוץ לשורשים

x=3 x=5\begin{aligned}x &= 3 \\ \ x &= 5\end{aligned}

האסימפטוטות, בקצוות

האסימפטוטות x=3x=3 ו-x=5x=5 הן בדיוק קצוות התחום. x=4x=4 (הקודקוד) אינו אסימפטוטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2−8x+15)f(x)=\ln(x^2-8x+15). ב. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים. עגלו לשתי ספרות.

ציר ה-yy: y≈y\approx ____ ; ציר ה-xx: x≈x\approx ____ , x≈x\approx ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ציר ה-yy: y≈y\approx 2.71 ; ציר ה-xx: x≈x\approx 2.59 , x≈x\approx 5.41

הפתרון:

f(0)=ln⁡15≈2.71f(0)=\ln 15\approx 2.71

00 בתחום

x2−8x+15=1⇒x2−8x+14=0\begin{aligned}x^2-8x+15 &= 1 \Rightarrow x^2-8x+14 \\ &= 0\end{aligned}

ln⁡t=0  ⟺  t=1\ln t=0 \iff t=1

x=4±2x=4\pm\sqrt2

שני הפתרונות בתחום

ב-f(x)=0f(x)=0 משווים את מה שבפנים ל-11, לא ל-00: x2−8x+15=0x^2-8x+15=0 נותן את האסימפטוטות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2−8x+15)f(x)=\ln(x^2-8x+15). ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה של ff.

  1. יורדת ב-x<3x<3, עולה ב-x>5x>5
  2. עולה בכל התחום
  3. יורדת ב-x<4x<4, עולה ב-x>4x>4
  4. עולה ב-x<3x<3, יורדת ב-x>5x>5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א יורדת ב-x<3x<3, עולה ב-x>5x>5

הפתרון:

f′(x)=2x−8x2−8x+15f^{\prime}(x)=\frac{2x-8}{x^2-8x+15}
x<3:−+<0,x>5:++>0x<3: \frac{-}{+}<0 ,\quad x>5: \frac{+}{+}>0

המכנה חיובי בתחום

יורדת ב-x<3x<3 ועולה ב-x>5x>5. התשובה עם x=4x=4 שוכחת שבין 33 ל-55 אין פונקציה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2−8x+15)f(x)=\ln(x^2-8x+15). ד. לפונקציה יש נקודת מינימום ב-x=4x=4.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f′(4)=0f^{\prime}(4)=0

מועמד

16−32+15=−1<016-32+15=-1<0

x=4x=4 מחוץ לתחום

לא נכון. אין ל-ff נקודות קיצון בכלל: המועמד היחיד מחוץ לתחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

xyx = 3x = 5I
xyx = 3x = 5II
xyx = 3x = 5III
xyx = 3x = 5IV

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2−8x+15)f(x)=\ln(x^2-8x+15). ה. קבעו איזה מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f^{\prime}(x).

  1. גרף I
  2. גרף III
  3. גרף IV
  4. גרף II
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גרף IV

הפתרון:

Df′:x<3 או x>5D_{f^{\prime}}: x<3 \ \text{או} \ x>5

בין 33 ל-55 אין גרף: I נפסל

x<3:f′<0x<3: f^{\prime}<0

מתחת לציר משמאל: II ו-III נפסלים

x>5:f′>0x>5: f^{\prime}>0

מעל הציר מימין

גרף IV. שלוש בדיקות: התחום (שני חלקים), הסימן משמאל, הסימן מימין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2−2ln⁡xf(x)=(\ln x)^2-2\ln x. א. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx. עגלו לשתי ספרות.

x=x= ____ , x≈x\approx ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x= 1 , x≈x\approx 7.39

הפתרון:

ln⁡x (ln⁡x−2)=0\ln x\,(\ln x-2)=0

מוציאים גורם משותף

ln⁡x=0⇒x=1\begin{aligned}\ln x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}
ln⁡x=2⇒x=e2≈7.39\begin{aligned}\ln x &= 2 \Rightarrow x \\ &= e^2\approx 7.39\end{aligned}

x=1x=1 ו-x=e2x=e^2. מי שחילק ב-ln⁡x\ln x איבד את הפתרון x=1x=1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2−2ln⁡xf(x)=(\ln x)^2-2\ln x. ב. מצאו את נקודת הקיצון של ff. עגלו לשתי ספרות.

x≈x\approx ____ , y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x≈x\approx 2.72 , y=y= -1

הפתרון:

f′(x)=2ln⁡xx−2x=2(ln⁡x−1)x\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \frac{2\ln x}{x}-\frac2x \\ &= \frac{2(\ln x-1)}{x}\end{aligned}
ln⁡x=1⇒x=e\begin{aligned}\ln x &= 1 \Rightarrow x \\ &= e\end{aligned}
f(e)=1−2=−1\begin{aligned}f(e) &= 1-2 \\ &= -1\end{aligned}

(e, −1)(e,\,-1). yy בא מ-f(e)=12−2⋅1f(e)=1^2-2\cdot 1, לא מהנגזרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2−2ln⁡xf(x)=(\ln x)^2-2\ln x. ג. מהו סוג הקיצון, ומהם תחומי העלייה והירידה?

  1. מינימום; יורדת ב-1<x<e21<x<e^2
  2. מינימום; יורדת ב-0<x<e0<x<e, עולה ב-x>ex>e
  3. מקסימום; עולה ב-0<x<e0<x<e, יורדת ב-x>ex>e
  4. מינימום; יורדת ב-x<ex<e, עולה ב-x>ex>e
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מינימום; יורדת ב-0<x<e0<x<e, עולה ב-x>ex>e

הפתרון:

f′(1)=2(0−1)1=−2<0\begin{aligned}f^{\prime}(1) &= \frac{2(0-1)}{1} \\ &= -2<0\end{aligned}
f′(e2)=2(2−1)e2>0f^{\prime}(e^2)=\frac{2(2-1)}{e^2}>0

מינימום. התשובה "x<ex<e" שוכחת את התחום x>0x>0. 1<x<e21<x<e^2 הוא תחום השליליות, לא הירידה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2−2ln⁡xf(x)=(\ln x)^2-2\ln x. ד. בעבור איזה ערך של kk יש למשוואה f(x)=kf(x)=k פתרון אחד בלבד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

f(x)≥f(e)=−1f(x)\ge f(e)=-1

המינימום הוא הערך הקטן ביותר

k=−1k=-1

הקו y=ky=k נוגע במינימום

k=−1k=-1. ליד x=0x=0 ובקצה הימני הגרף עולה בלי סוף, ולכן כל k>−1k>-1 נותן שני פתרונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2−2ln⁡xf(x)=(\ln x)^2-2\ln x. ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′(x)f^{\prime}(x), ציר ה-xx והישרים x=ex=e ו-x=e2x=e^2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

e≤x≤e2:f′(x)≥0e\le x\le e^2: f^{\prime}(x)\ge 0

מעל הציר

S=f(e2)−f(e)S=f(e^2)-f(e)

הקדומה של f′f^{\prime} היא ff

=0−(−1)=1=0-(-1)=1

משתמשים בסעיפים א ו-ב

S=1S=1. בלי לחפש קדומה: הערכים f(e2)=0f(e^2)=0 ו-f(e)=−1f(e)=-1 כבר חושבו בסעיפים הקודמים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת