סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים ברמה בינונית: תחום של ביטוי ממעלה שנייה, מכפלה ומנה, משיק, קיצון ושטח מתחת ל-f′f^{\prime}.

"f′(x)=0f^{\prime}(x)=0" הוא רק מועמד. לפני שכותבים "קיצון", בודקים שהנקודה בתחום.

תרגילים

תרגיל 1

מצאו את התחום של y=ln⁡(x2−9)y=\ln(x^2-9). השלימו.

x<x< ____ או x>x> ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x<x< -3 או x>x> 3

הפתרון:

x2−9>0⇒(x−3)(x+3)>0x^2-9>0 \Rightarrow (x-3)(x+3)>0
x<−3 או x>3x<-3 \ \text{או} \ x>3

מחוץ לשורשים

מחוץ לשורשים. מי שכתב −3<x<3-3<x<3 בחר את המקום שבו מה שבפנים שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=xln⁡xf(x)=x\ln x. חשבו את f′(e)f^{\prime}(e).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′(x)=ln⁡x+1f^{\prime}(x)=\ln x+1

מכפלה

f′(e)=1+1=2\begin{aligned}f^{\prime}(e) &= 1+1 \\ &= 2\end{aligned}

22. מי שגזר 1⋅1x1\cdot\frac1x הכפיל את הנגזרות במקום כלל המכפלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהי הנגזרת של f(x)=ln⁡xx2f(x)=\frac{\ln x}{x^2}?

  1. 12x2\frac{1}{2x^2}
  2. 2ln⁡x−1x3\frac{2\ln x-1}{x^3}
  3. 1−ln⁡xx2\frac{1-\ln x}{x^2}
  4. 1−2ln⁡xx3\frac{1-2\ln x}{x^3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 1−2ln⁡xx3\frac{1-2\ln x}{x^3}

הפתרון:

f′(x)=1x⋅x2−ln⁡x⋅2xx4f^{\prime}(x)=\frac{\frac1x\cdot x^2-\ln x\cdot 2x}{x^4}

כלל המנה

=x−2xln⁡xx4=1−2ln⁡xx3=\frac{x-2x\ln x}{x^4}=\frac{1-2\ln x}{x^3}

מצמצמים ב-xx

1−2ln⁡xx3\frac{1-2\ln x}{x^3}. התשובה עם 2ln⁡x−12\ln x-1 הפכה את הסדר במונה: u′vu^{\prime}v קודם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה f(x)=ln⁡(3x−2)f(x)=\ln(3x-2). המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x=1 חותך את ציר ה-yy. באיזה ערך של yy?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

f(1)=ln⁡1=0\begin{aligned}f(1) &= \ln 1 \\ &= 0\end{aligned}
f′(1)=33−2=3\begin{aligned}f^{\prime}(1) &= \frac{3}{3-2} \\ &= 3\end{aligned}
y=3(x−1)=3x−3\begin{aligned}y &= 3(x-1) \\ &= 3x-3\end{aligned}
x=0⇒y=−3\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= -3\end{aligned}

−3-3. המשיק y=3x−3y=3x-3. השיפוע 33 בא מנגזרת הפנימית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חקרו את f(x)=x−2ln⁡xf(x)=x-2\ln x. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f′(x)=1−2xf^{\prime}(x)=1-\frac{2}{x}
f′(x)=0⇒x=2\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}
f(2)=2−2ln⁡2≈0.61f(2)=2-2\ln 2\approx 0.61
max⁡(2, 0.61)\max(2,\ 0.61)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: max⁡(2, 0.61)\max(2,\ 0.61) → min⁡(2, 0.61)\min(2,\ 0.61)

הפתרון:

f′(1)=−1<0f′(3)=13>0\begin{aligned}f^{\prime}(1) &= -1<0 \\ \quad f^{\prime}(3) &= \tfrac13>0\end{aligned}

יורדת ואחר כך עולה

בשורה 4 סוג הקיצון הפוך. יורדת ואז עולה = מינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מיינו: איזו פונקציה מוגדרת לכל xx?

  • לכל xx
  • לא לכל xx
  • ln⁡(1−x2)\ln(1-x^2)
  • ln⁡(ex)\ln(e^x)
  • ln⁡(x2−1)\ln(x^2-1)
  • ln⁡(x2)\ln(x^2)
  • ln⁡(x2+1)\ln(x^2+1)
  • ln⁡(x2+2x+5)\ln(x^2+2x+5)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ln⁡(x2+1)\ln(x^2+1) — לכל xx · ln⁡(x2)\ln(x^2) — לא לכל xx · ln⁡(x2+2x+5)\ln(x^2+2x+5) — לכל xx · ln⁡(x2−1)\ln(x^2-1) — לא לכל xx · ln⁡(ex)\ln(e^x) — לכל xx · ln⁡(1−x2)\ln(1-x^2) — לא לכל xx

הפתרון:

x2+2x+5=(x+1)2+4>0x^2+2x+5=(x+1)^2+4>0
ex>0e^x>0

לכל xx

ln⁡(x2)\ln(x^2) לא מוגדר ב-x=0x=0 בלבד, וזה מספיק כדי לא להיות "לכל xx".

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה f(x)=ln⁡(x2−4x+5)f(x)=\ln(x^2-4x+5). מצאו את שיעור ה-xx של נקודת הקיצון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′(x)=2x−4x2−4x+5=0\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \frac{2x-4}{x^2-4x+5} \\ &= 0\end{aligned}
x=2x=2

בתחום: 4−8+5=1>04-8+5=1>0

x=2x=2. כאן התחום הוא כל xx (מה שבפנים תמיד חיובי), ולכן הנקודה לא נפסלת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln(x^2+1). חשבו את השטח בין הגרף של f′(x)f^{\prime}(x), ציר ה-xx והישרים x=0x=0 ו-x=2x=2. עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.61

הפתרון:

f′(x)=2xx2+1≥00≤x≤2\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \frac{2x}{x^2+1}\ge 0 \\ \quad 0\le x\le 2\end{aligned}

מעל הציר

S=f(2)−f(0)=ln⁡5−ln⁡1\begin{aligned}S &= f(2)-f(0) \\ &= \ln 5-\ln 1\end{aligned}
=ln⁡5≈1.61=\ln 5\approx 1.61

ln⁡5≈1.61\ln 5\approx 1.61. ff היא הקדומה של f′f^{\prime}: לא צריך לחפש אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

לפונקציה f(x)=ln⁡(x2−6x+8)f(x)=\ln(x^2-6x+8) יש נקודת קיצון ב-x=3x=3.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f′(3)=0f^{\prime}(3)=0

הנגזרת מתאפסת

32−18+8=−1<03^2-18+8=-1<0

אבל x=3x=3 מחוץ לתחום

לא נכון. f′(x)=0f^{\prime}(x)=0 לא מספיק: הנקודה חייבת להיות בתחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=x2−4ln⁡xf(x)=x^2-4\ln x. מהו ערך המינימום של הפונקציה? עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.61

הפתרון:

2x−4x=0⇒x2=2⇒x=2\begin{aligned}2x-\frac4x &= 0 \Rightarrow x^2 \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= \sqrt2\end{aligned}

x=−2x=-\sqrt2 נפסל

f(2)=2−4ln⁡2=2−2ln⁡2≈0.61\begin{aligned}f(\sqrt2) &= 2-4\ln\sqrt2 \\ &= 2-2\ln 2\approx 0.61\end{aligned}

≈0.61\approx 0.61. ln⁡2=12ln⁡2\ln\sqrt2=\frac12\ln 2: מי ששכח את החצי קיבל 2−4ln⁡2<02-4\ln 2<0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת