סדרה 1 — קל · חשבון דיפרנציאלי של הפונקציה ln x · כיתה י״ב

עשרה תרגילים קצרים: ערכים של $\ln$ , תחום, נגזרות פשוטות, משיק ומינימום.

לפני כל נגזרת, כתבו את הכלל: $\big(\ln f\big)^{\prime}=\frac{f^{\prime}}{f}$ .

תרגילים

תרגיל 1

חשבו: $\ln e^4+\ln 1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}\ln e^4 &= 4 \\ \quad \ln 1 &= 0\end{aligned}

$4$ . $\ln 1=0$ , כי $e^0=1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו תחום ההגדרה של $y=\ln(x+7)$ ?

$x>7$
$x>0$
$x<-7$
$x>-7$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x>-7$

הפתרון:

x+7>0 \Rightarrow x>-7

$x>-7$ . הפלוס בפנים מזיז את התחום שמאלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x)=\ln(4x)$ . חשבו את $f^{\prime}(2)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \frac{4}{4x} \\ &= \frac1x\end{aligned}

f^{\prime}(2)=0.5

$0.5$ . מי שקיבל $2$ לא צמצם: $\frac{4}{4x}=\frac1x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

התאימו לכל פונקציה את הנגזרת שלה.

$\ln(x+3)$
$\ln(2x+3)$
$3\ln x$
$\ln x+3$

$\frac{1}{x+3}$
$\frac{2}{2x+3}$
$\frac1x$
$\frac3x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\ln(x+3)$ — $\frac{1}{x+3}$ · $\ln(2x+3)$ — $\frac{2}{2x+3}$ · $3\ln x$ — $\frac3x$ · $\ln x+3$ — $\frac1x$

הפתרון:

\big(\ln f\big)^{\prime}=\frac{f^{\prime}}{f}

$3\ln x$ ו- $\ln x+3$ כמעט זהים בכתיבה. הראשון כפול $3$ , והשני מוזז ב- $3$ , שנגזרתו $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הפונקציה $y=\ln x$ עולה בכל התחום שלה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}(\ln x)^{\prime} &= \frac1x>0 \\ \quad x>0\end{aligned}

נכון. הנגזרת חיובית בכל התחום. לכן אין ל- $\ln x$ נקודות קיצון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המשיק לגרף של $y=\ln x$ בנקודה שבה $x=1$ חותך את ציר ה- $y$ . באיזה ערך של $y$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

\begin{aligned}y_0 &= \ln 1 \\ &= 0 \\ \quad m &= 1\end{aligned}

y=x-1

\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= -1\end{aligned}

$-1$ . המשיק $y=x-1$ . מי שכתב $0$ נתן את נקודת ההשקה, לא את החיתוך עם ציר ה- $y$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה $f(x)=x-\ln x$ . מהו ערך המינימום של הפונקציה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= 1-\frac1x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

f(1)=1

$1$ . ערך המינימום הוא $y$ , לא $x$ (שגם הוא $1$ כאן).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מהי האסימפטוטה האנכית של $y=\ln(x-4)+2$ ?

$x=4$
$x=-4$
$y=2$
$x=2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x=4$

הפתרון:

\begin{aligned}x-4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

$x=4$ . ה- $2$ מחוץ ל- $\ln$ מזיז למעלה, לא משנה את האסימפטוטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה $f(x)=\ln(x^2+3)$ . חשבו את $f^{\prime}(1)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

f^{\prime}(x)=\frac{2x}{x^2+3}

\begin{aligned}f^{\prime}(1) &= \frac24 \\ &= 0.5\end{aligned}

$0.5$ . בלי $2x$ במונה מקבלים $0.25$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

פתרו את $\ln x=2$ . עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.39

הפתרון:

x=e^2

ההגדרה

\approx 7.39

$x=e^2\approx 7.39$ . לא $x=2^e$ ולא $x=\frac2e$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev