שאלות מודרכות · חשבון דיפרנציאלי של הפונקציה ln x · כיתה י״ב

ארבע שאלות בסגנון הבגרות, וכל אחת נפתרת יחד, שלב אחרי שלב: חקירה של פונקציה עם $\ln x$ , פונקציה עם תחום של שני חלקים, גרף של נגזרת, ופרמטר עם משיק. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

בכל שאלה עם $\ln$ , השורה הראשונה במחברת היא התחום. כל תשובה אחר כך נבדקת מולו.

1 — חקירה: $f(x)=x-2\ln x$

פעילות אינטראקטיבית

נתונה הפונקציה $f(x)=x-2\ln x$ . א. מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטה האנכית. ב. מצאו את נקודת הקיצון וקבעו את סוגה. ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה. ד. הסבירו מדוע $f(x)>0$ לכל $x$ בתחום.

f(x)=x-2\ln x

לחצו «להתחיל». סעיף ד משתמש בתשובה של סעיף ב.

א. התחום

\begin{aligned}x>0 \\ \quad x &= 0\end{aligned}

בגלל $\ln x$ . ליד $0$ : $-2\ln x\to+\infty$ .

ב. הנגזרת

\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= 1-\frac2x \\ &= \frac{x-2}{x}\end{aligned}

מכנה משותף.

ב. קיצון

\begin{aligned}x &= 2 \\ \quad f(2) &= 2-2\ln 2\approx 0.61\end{aligned}

המונה מתאפס.

ב. סוג

\begin{aligned}f^{\prime}(1) &= -1<0 \\ \quad f^{\prime}(4) &= \tfrac12>0\end{aligned}

מינימום $(2,\,0.61)$ .

ג. תחומים

0<x<2 \searrow ,\quad x>2 \nearrow

יורדת עד המינימום, ואחריו עולה.

ד. הסבר

f(x)\ge f(2)\approx 0.61>0

המינימום הוא הערך הקטן ביותר, והוא חיובי.

"הסבירו מדוע" לא דורש חישוב חדש: התשובה כבר בסעיף ב.

לעשות את הפעילות ב-elev

ואם היה כתוב $f(x)=x-3\ln x$ ? האם עדיין $f(x)>0$ לכל $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. המינימום ב- $x=3$ , ו- $f(3)=3-3\ln 3\approx -0.30<0$ . אז יש לגרף שתי נקודות חיתוך עם ציר ה- $x$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — תחום של שני חלקים: $f(x)=\ln(x^2-4x+3)$

פעילות אינטראקטיבית

$f(x)=\ln(x^2-4x+3)$

נתונה הפונקציה $f(x)=\ln(x^2-4x+3)$ . א. מצאו את התחום ואת האסימפטוטות האנכיות. ב. האם יש לפונקציה נקודות קיצון? ג. מצאו את נקודת החיתוך עם ציר ה- $y$ .

מה התחום?

$x<1$ או $x>3$

להציג את התשובה והפתרון

$(x-1)(x-3)>0$ : מחוץ לשורשים.

$1<x<3$

להציג את התשובה והפתרון

שם מה שבפנים שלילי. בדיקה: $x=2$ נותן $4-8+3=-1$ .

$x>3$

להציג את התשובה והפתרון

גם $x=0$ בתחום: $0-0+3=3>0$ .

\begin{aligned}x<1 \ \text{או} \ x>3 \\ \qquad x &= 1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

אסימפטוטה בכל קצה שבו מה שבפנים מתאפס.

$f^{\prime}(x)=\frac{2x-4}{x^2-4x+3}$ מתאפסת ב- $x=2$ . מה המסקנה?

אין קיצון: $x=2$ מחוץ לתחום

להציג את התשובה והפתרון

$x=2$ נמצא בין $1$ ל- $3$ , שם הפונקציה לא מוגדרת.

מינימום ב- $x=2$

להציג את התשובה והפתרון

נסו להציב: $f(2)=\ln(-1)$ . אין שם נקודה.

x=2 \notin D

ב. אין נקודות קיצון.

מה החיתוך עם ציר ה- $y$ ?

$(0,\,\ln 3)$

להציג את התשובה והפתרון

$x=0$ בתחום, ו- $f(0)=\ln 3\approx 1.10$ .

אין חיתוך

להציג את התשובה והפתרון

$0<1$ : האפס בתוך התחום.

f(0)=\ln 3\approx 1.10

להציג את התשובה והפתרון

א. $x<1$ או $x>3$ , אסימפטוטות $x=1$ ו- $x=3$ . ב. אין קיצון. ג. $(0,\,\ln 3)$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

איפה הגרף חותך את ציר ה- $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$x^2-4x+3=1$ , כלומר $x^2-4x+2=0$ , ולכן $x=2\pm\sqrt2$ . שני הפתרונות, $\approx 0.59$ ו- $\approx 3.41$ , בתוך התחום.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — איזה גרף מתאר את הנגזרת?

פעילות אינטראקטיבית

הנגזרת של $f(x)=(\ln x)^2$

נתונה הפונקציה $f(x)=(\ln x)^2$ . קבעו איזה מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת $f^{\prime}(x)$ . נמקו.

מה התחום של $f^{\prime}$ ?

$x>0$

להציג את התשובה והפתרון

כמו של $f$ . לכן גרף שיש בו חלק ב- $x<0$ נפסל.

כל $x$

להציג את התשובה והפתרון

$\ln x$ מוגדר רק ל- $x>0$ , וגם הנגזרת.

\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \frac{2\ln x}{x} \\ \quad x>0\end{aligned}

איפה $f^{\prime}(x)=0$ ?

$x=1$

להציג את התשובה והפתרון

$\ln 1=0$ . הגרף של $f^{\prime}$ חוצה את הציר ב- $x=1$ .

$x=e$

להציג את התשובה והפתרון

ב- $x=e$ : $f^{\prime}(e)=\frac2e\neq 0$ .

f^{\prime}(1)=0

מה הסימן של $f^{\prime}$ ב- $0<x<1$ ?

שלילי: הגרף מתחת לציר

להציג את התשובה והפתרון

$\ln x<0$ ו- $x>0$ .

חיובי: הגרף מעל הציר

להציג את התשובה והפתרון

נסו $x=0.5$ : $\ln 0.5\approx -0.69$ .

0<x<1: f^{\prime}<0 ,\quad x>1: f^{\prime}>0

להציג את התשובה והפתרון

הגרף הנכון: מוגדר רק ל- $x>0$ , מתחת לציר עד $x=1$ , חוצה אותו ב- $x=1$ , ומעל הציר אחר כך. כך גם $f$ : יורדת, מינימום $(1,\,0)$ , ועולה.

לעשות את הפעילות ב-elev

למה התשובה "נמקו" חשובה?

להציג את התשובה והפתרון

בבגרות הניקוד בא מהנימוק: תחום, אפס, סימן. שלוש בדיקות שפוסלות כל גרף אחר.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — פרמטר ומשיק

פעילות אינטראקטיבית

נתונה הפונקציה $f(x)=a\ln x-x^2$ . המשיק לגרף בנקודה שבה $x=1$ מקביל לישר $y=2x$ . א. מצאו את $a$ . ב. מצאו את משוואת המשיק. ג. מצאו את נקודת הקיצון של $f$ .

f(x)=a\ln x-x^2

לחצו «להתחיל». "מקביל" = שיפועים שווים.

א. נגזרת

f^{\prime}(x)=\frac ax-2x

א. הפרמטר

\begin{aligned}f^{\prime}(1) &= a-2 \\ &= 2 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

שיפוע הישר $y=2x$ הוא $2$ .

ב. הנקודה

\begin{aligned}f(1) &= 4\ln 1-1 \\ &= -1\end{aligned}

ב. המשיק

\begin{aligned}y+1 &= 2(x-1) \Rightarrow y \\ &= 2x-3\end{aligned}

ג. קיצון

\begin{aligned}\frac4x-2x &= 0 \Rightarrow x^2 \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= \sqrt2\end{aligned}

$x=-\sqrt2$ מחוץ לתחום.

ג. סוג

f(\sqrt2)=2\ln 2-2\approx -0.61

$f^{\prime}(1)=2>0$ , $f^{\prime}(2)=-2<0$ : מקסימום.

$4\ln\sqrt2=4\cdot\frac12\ln 2=2\ln 2$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

האם המשיק $y=2x-3$ הוא גם הישר $y=2x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. הם מקבילים: אותו שיפוע, $2$ , אבל נקודת חיתוך אחרת עם ציר ה- $y$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. ושאלה 5 חוזרת לחקירה של שאלה 1.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $f(x)=x-4\ln x$ . מצאו את נקודת הקיצון שלה. השלימו, ועגלו לשתי ספרות.

$x=$ ____ , $y\approx$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=$ 4 , $y\approx$ -1.55

הפתרון:

\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= 1-\frac4x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

f(4)=4-4\ln 4\approx -1.55

f^{\prime}(1)<0 ,\ f^{\prime}(5)>0

מינימום

מינימום $(4,\,-1.55)$ . הערך שלילי, ולכן הפעם יש לגרף חיתוך עם ציר ה- $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $f(x)=\ln(x^2-8x+12)$ . מצאו את התחום ואת נקודת החיתוך עם ציר ה- $y$ . השלימו, ועגלו לשתי ספרות.

התחום: $x<$ ____ או $x>$ ____ ; ציר ה- $y$ : $y\approx$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: התחום: $x<$ 2 או $x>$ 6 ; ציר ה- $y$ : $y\approx$ 2.48

הפתרון:

(x-2)(x-6)>0

x<2 \ \text{או} \ x>6

מחוץ לשורשים

f(0)=\ln 12\approx 2.48

$0$ בתחום

ו- $f^{\prime}(x)=\frac{2x-8}{x^2-8x+12}$ מתאפסת ב- $x=4$ , שמחוץ לתחום: אין קיצון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $f(x)=x\ln x$ . קבעו איזה מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת $f^{\prime}(x)$ .

גרף I
גרף IV
גרף III
גרף II

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גרף III

הפתרון:

\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \ln x+1 \\ \quad x>0\end{aligned}

תחום

\begin{aligned}\ln x+1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= e^{-1}\approx 0.37\end{aligned}

אפס

x<0.37: f^{\prime}<0 ,\ x>0.37: f^{\prime}>0

סימן

גרף III. גרף I חוצה ב- $x=e$ : זה $\ln x-1$ . גרף II תמיד חיובי. גרף IV מוגדר גם ל- $x<0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה $f(x)=a\ln x-x^2$ . המשיק לגרף בנקודה שבה $x=1$ מקביל לישר $y=4x+5$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

f^{\prime}(x)=\frac ax-2x

\begin{aligned}f^{\prime}(1) &= a-2 \\ &= 4 \Rightarrow a \\ &= 6\end{aligned}

$a=6$ . השיפוע של $y=4x+5$ הוא $4$ . ה- $5$ לא משנה כלום: הוא לא שיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה $f(x)=x-3\ln x$ . מצאו את ערך המינימום של הפונקציה. עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.3

הפתרון:

\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= 1-\frac3x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

f(3)=3-3\ln 3\approx -0.30

$\approx -0.30$ . לכן כאן אי אפשר לטעון ש- $f(x)>0$ לכל $x$ : המינימום שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — חקירה: f(x)=x−2ln⁡xf(x)=x-2\ln xf(x)=x−2lnx

2 — תחום של שני חלקים: f(x)=ln⁡(x2−4x+3)f(x)=\ln(x^2-4x+3)f(x)=ln(x2−4x+3)

3 — איזה גרף מתאר את הנגזרת?

4 — פרמטר ומשיק

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

1 — חקירה: $f(x)=x-2\ln x$

2 — תחום של שני חלקים: $f(x)=\ln(x^2-4x+3)$