משוואות מעריכיות בבסיסים שונים · לוגריתמים והפונקציה הלוגריתמית · כיתה י״ב

בפרק החזקות פתרנו $2^x=8$ בעזרת בסיס משותף. אבל ב- $2^x=7$ אי אפשר לכתוב את $7$ כחזקה שלמה של $2$ .

הלוגריתם נותן את התשובה מיד: $x=\log_2 7$ . ובמחשבון: $\frac{\log 7}{\log 2} \approx 2.81$ .

פעילות אינטראקטיבית

3^x=20

לוגריתם

מה עושים לשני האגפים?

\log 3^x=\log 20

\log 3 \cdot x=20

להציג את התשובה והפתרון

לוקחים $\log$ משני האגפים. אגף ימין הופך ל- $\log 20$ .

3x=20

להציג את התשובה והפתרון

$3^x$ היא חזקה, לא כפל.

שני האגפים חיוביים, ולכן מותר לקחת לוגריתם.

חוק החזקה

מה עושים עם $\log 3^x$ ?

x \cdot \log 3=\log 20

\log (3x)=\log 20

להציג את התשובה והפתרון

המעריך יורד לפני הלוגריתם: $x \cdot \log 3$ .

עכשיו $x$ כבר לא במעריך.

מחלקים

איך מבודדים את $x$ ?

x=\frac{\log 20}{\log 3}\approx 2.73

x=\log \frac{20}{3}\approx 0.82

להציג את התשובה והפתרון

מחלקים את המספר $\log 20$ במספר $\log 3$ . לא מחלקים בתוך הלוגריתם.

זה בדיוק $\log_3 20$ .

$x\approx 2.73$ . בדיקה: $3^{2.73}\approx 20$ ✓

פותרים יחד: $3^x=20$

לעשות את הפעילות ב-elev

בין אילו שני מספרים שלמים נמצא הפתרון של $3^x=20$ ? ענו בלי מחשבון.

להציג את התשובה והפתרון

$3^2=9$ ו- $3^3=27$ , ו- $20$ ביניהם. לכן $2<x<3$ . כך בודקים שהתשובה מהמחשבון סבירה.

הנעלם בשני האגפים

ב- $2^{x+1}=5^x$ יש שני בסיסים שונים. לוקחים $\log$ , מורידים את המעריכים, ומקבלים משוואה לינארית ב- $x$ .

פתרו $2^{x+1}=5^x$

עגלו לשתי ספרות.

(x+1)\log 2=x\log 5

לוגריתם וחוק החזקה

x\log 2+\log 2=x\log 5

פותחים סוגריים

\log 2=x(\log 5-\log 2)

מעבירים את $x$ לצד אחד

x=\frac{\log 2}{\log 5-\log 2}\approx 0.76

מחלקים

פתרו $5^x=2 \cdot 3^x$ . עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

מחלקים ב- $3^x$ : $\left(\frac{5}{3}\right)^x=2$ . לכן $x=\frac{\log 2}{\log \frac53}\approx 1.36$ .

עם ln

כשהבסיס הוא $e$ , נוח לקחת $\ln$ : $\ln e^x=x$ . כך $e^x=5$ נותן מיד $x=\ln 5$ .

\begin{aligned}e^x &= 5 \Rightarrow x \\ &= \ln 5\approx 1.61\end{aligned}

לוקחים $\ln$

\begin{aligned}e^{2x-1} &= 3 \Rightarrow 2x-1 \\ &= \ln 3 \Rightarrow x\approx 1.05\end{aligned}

המעריך כולו שווה ל- $\ln 3$

\begin{aligned}4e^x &= 12 \Rightarrow e^x \\ &= 3 \Rightarrow x \\ &= \ln 3\end{aligned}

קודם מבודדים את החזקה

משוואה ריבועית בחזקה

פתרו $4^x-3 \cdot 2^x-10=0$

$4^x=(2^x)^2$ . מציבים $t=2^x$ .

t^2-3t-10=0

הצבה

\begin{aligned}(t-5)(t+2) &= 0 \Rightarrow t \\ &= 5 \\ \ t &= -2\end{aligned}

משוואה ריבועית

2^x=-2

אין פתרון: חזקה חיובית

\begin{aligned}2^x &= 5 \Rightarrow x \\ &= \frac{\log 5}{\log 2}\approx 2.32\end{aligned}

לוגריתם

למה $2^x=-2$ אין פתרון, אבל $\log_2 x=-2$ יש?

להציג את התשובה והפתרון

$2^x$ תמיד חיובי, ולכן לא שווה $-2$ . אבל $\log_2 x$ יכול להיות שלילי: $x=2^{-2}=\frac14$ .

שלוש טעויות שחוזרות.

\begin{aligned}2^x &= 7 \Rightarrow x \\ &= \tfrac{7}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}2^x &= 7 \Rightarrow x \\ &= \log_2 7\approx 2.81\end{aligned}

חזקה אינה כפל. $2^{3.5}\approx 11.3$ , לא $7$ .

\log(3 \cdot 2^x)=x\log 6

\log(3 \cdot 2^x)=\log 3+x\log 2

המעריך $x$ שייך רק ל- $2$ . מפרקים קודם לפי חוק המכפלה.

\begin{aligned}e^x &= -4 \Rightarrow x \\ &= \ln(-4)\end{aligned}

e^x>0

אין פתרון. $\ln(-4)$ לא מוגדר.

בשאלות גדילה ודעיכה מוצאים זמן בדיוק כך: $q^t=k \Rightarrow t=\frac{\log k}{\log q}$ . נפגוש את זה בפרק הבא.

תרגילים

תרגיל 1

פתרו את המשוואה $2^x=12$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.58

הפתרון:

x\log 2=\log 12

לוגריתם לשני האגפים

x=\frac{\log 12}{\log 2}\approx 3.58

מחלקים

בדיקת סבירות: $2^3=8$ ו- $2^4=16$ , אז $3<x<4$ . מי שקיבל $6$ חילק $12$ ב- $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו את המשוואה $5^x=0.2$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

\begin{aligned}0.2 &= \tfrac{1}{5} \\ &= 5^{-1}\end{aligned}

בסיס משותף

x=-1

משווים מעריכים

לא כל משוואה צריכה מחשבון. קודם בודקים אם המספר הוא חזקה של הבסיס. מי שקיבל $0.04$ כפל $0.2 \cdot 0.2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פתרו את המשוואה $1.5^x=10$ . עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.68

הפתרון:

x=\frac{\log 10}{\log 1.5}

לוגריתם וחלוקה

=\frac{1}{0.176}\approx 5.68

$\log 10=1$

בסיס קרוב ל- $1$ גדל לאט, ולכן המעריך גדול. מי שקיבל $0.18$ חילק הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו הפתרון של המשוואה $7^x=3$ ?

$\frac{\log 3}{\log 7}$
$\frac{\log 7}{\log 3}$
$\frac{3}{7}$
$\log \frac{3}{7}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\frac{\log 3}{\log 7}$

הפתרון:

x\log 7=\log 3

לוגריתם וחוק החזקה

x=\frac{\log 3}{\log 7}

מחלקים ב- $\log 7$

$3<7$ , ולכן $0<x<1$ . $\frac{\log 7}{\log 3}$ גדול מ- $1$ : זה הפתרון של $3^x=7$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פתרו את המשוואה $e^x=9$ . עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.2

הפתרון:

x=\ln 9

לוקחים $\ln$

\approx 2.20

מקש ln

מקש $\ln$ , לא $\log$ . מי שקיבל $0.95$ חישב את $\log 9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

פתרו את המשוואה $3 \cdot 2^x=48$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

2^x=16

קודם מחלקים ב- $3$

\begin{aligned}2^x &= 2^4 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

בסיס משותף

$3 \cdot 2^x$ אינו $6^x$ . מי שכתב $6^x=48$ קיבל $x\approx 2.16$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פתרו את המשוואה $3^{x+2}=7^x$ . עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.59

הפתרון:

(x+2)\ln 3=x\ln 7

לוגריתם לשני האגפים

2\ln 3=x(\ln 7-\ln 3)

מבודדים את $x$

x=\frac{2\ln 3}{\ln 7-\ln 3}\approx 2.59

מחלקים

הסוגריים נשארים: $(x+2)\ln 3$ . מי שכתב $x+2\ln 3$ שכח שגם $2$ מוכפל ב- $\ln 3$ . בדקו: $3^{4.59}\approx 7^{2.59}\approx 155$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פתרו את $9^x-4 \cdot 3^x+3=0$ בעזרת ההצבה $t=3^x$ . השלימו.

$t_1=$ ____ , $t_2=$ ____ ( $t_1<t_2$ ) ; $x_1=$ ____ , $x_2=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $t_1=$ 1 , $t_2=$ 3 ( $t_1<t_2$ ) ; $x_1=$ 0 , $x_2=$ 1

הפתרון:

\begin{aligned}9^x &= (3^x)^2 \Rightarrow t^2-4t+3 \\ &= 0\end{aligned}

הצבה

(t-1)(t-3)=0

$t=1$ או $t=3$

\begin{aligned}3^x &= 1 \Rightarrow x \\ &= 0 \qquad 3^x \\ &= 3 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

חוזרים ל- $x$

$t=1$ נותן $x=0$ , לא $x=1$ : $3^0=1$ . מי שענה $1$ ו- $3$ שכח לחזור מ- $t$ ל- $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

למשוואה $2^x=-8$ יש פתרון: $x=-3$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

2^{-3}=\tfrac{1}{8}

מעריך שלילי נותן שבר

2^x>0

לכל $x$

לא נכון. אין פתרון. מעריך שלילי נותן מספר קטן וחיובי, אף פעם לא מספר שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

פתרו את $4 \cdot 5^x=100$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

4 \cdot 5^x=100

20^x=100

x=\log_{20} 100\approx 1.54

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $20^x=100$ → $5^x=25$

הפתרון:

5^x=25

מחלקים ב- $4$

x=2

$5^2=25$

בשורה 2 כפלו $4 \cdot 5$ לפני החזקה. המעריך שייך רק ל- $5$ . בדיקה: $4 \cdot 5^2=100$ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

פתרו את $e^{2x}-5e^x+6=0$ . כתבו את סכום הפתרונות, מעוגל לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.79

הפתרון:

\begin{aligned}t &= e^x: \ t^2-5t+6 \\ &= 0 \Rightarrow t \\ &= 2 \\ \ t &= 3\end{aligned}

הצבה

\begin{aligned}x &= \ln 2 \\ \ x &= \ln 3\end{aligned}

לוקחים $\ln$

\ln 2+\ln 3=\ln 6\approx 1.79

חוק המכפלה

סכום ה- $t$ הוא $5$ , אבל השאלה על ה- $x$ . וסכום של שני לוגריתמים הוא $\ln$ של המכפלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מיינו: איזו משוואה נפתרת בבסיס משותף, ואיזו צריכה לוגריתם?

בסיס משותף
צריך לוגריתם

$2^x=3^{x-1}$
$25^x=125$
$3^x=10$
$4^x=32$
$8^x=\frac{1}{4}$
$e^x=2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $4^x=32$ — בסיס משותף · $3^x=10$ — צריך לוגריתם · $25^x=125$ — בסיס משותף · $2^x=3^{x-1}$ — צריך לוגריתם · $8^x=\frac{1}{4}$ — בסיס משותף · $e^x=2$ — צריך לוגריתם

הפתרון:

\begin{aligned}4^x &= 32 \Rightarrow 2^{2x} \\ &= 2^5\end{aligned}

חזקות של $2$

\begin{aligned}25^x &= 125 \Rightarrow 5^{2x} \\ &= 5^3\end{aligned}

חזקות של $5$

$8^x=\frac14$ נראית קשה, אבל $2^{3x}=2^{-2}$ . בודקים קודם אם יש בסיס משותף, ורק אחר כך לוקחים לוגריתם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

הנעלם בשני האגפים

עם ln

משוואה ריבועית בחזקה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev