הפונקציה הלוגריתמית · לוגריתמים והפונקציה הלוגריתמית · כיתה י״ב

בפרק הקודם הכרנו את $y=2^x$ . עכשיו נחליף תפקידים: $y=\log_2 x$ שואלת איזה מעריך נותן את $x$ .

(\tfrac{1}{2},\,-1)

$2^{-1}=\frac12$

(1,\,0)

$2^0=1$

(2,\,1)

$2^1=2$

(8,\,3)

$2^3=8$

f(x)=\log_2 x

ו-

g(x)=2^x

. הקו המקווקו הוא

y=x

. הנקודה

(2,\,4)

על

g

, והנקודה

(4,\,2)

על

f

: מחליפים את

x

ואת

y

הנקודה $(3,\,8)$ על הגרף של $y=2^x$ . איזו נקודה נמצאת על הגרף של $y=\log_2 x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$(8,\,3)$ : מחליפים את $x$ ואת $y$ . ואכן $\log_2 8=3$ .

התכונות של $y=\log_a x$

x>0

תחום הגדרה: רק מספרים חיוביים

(1,\,0)

כל הגרפים עוברים כאן: $\log_a 1=0$

x=0

אסימפטוטה אנכית: הגרף מתקרב לציר ה- $y$ ולא נוגע בו

y \in \mathbb{R}

הלוגריתם מקבל כל ערך, חיובי ושלילי

הבסיס מחליט: עולה או יורדת

y=\log_3 x

, בסיס גדול מ-

1

. II:

y=\log_{\frac13} x

, בסיס בין

0

ל-

1

. שניהם עוברים ב-

(1,\,0)

, ושניהם צמודים לציר ה-

y

a>1

הפונקציה עולה: $x$ גדל, ו- $\log_a x$ גדל

0<a<1

הפונקציה יורדת: $x$ גדל, ו- $\log_a x$ קטן

האם $y=\ln x$ עולה או יורדת? ומה עם $y=\log_{0.5} x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\ln x$ עולה: הבסיס $e\approx 2.718$ גדול מ- $1$ . $\log_{0.5} x$ יורדת: $0.5<1$ .

פעילות אינטראקטיבית

איזה גרף מתאר את $y=\log_{\frac12} x$ ?

בדקו שלושה דברים: התחום, הנקודה שבה מה שבפנים שווה $1$ , והכיוון. פסלו גרף שלא מתאים, ולחצו על הגרף שנשאר.

להציג את התשובה והפתרון

לא. הגרף הזה עולה. בבסיס $\frac12$ , שקטן מ- $1$ , הלוגריתם יורד.

לא. זו הפונקציה המעריכית $y=\left(\frac12\right)^x$ : היא מוגדרת לכל $x$ ועוברת ב- $(0,\,1)$ . לוגריתם מוגדר רק ל- $x>0$ .

נכון. תחום $x>0$ , אסימפטוטה $x=0$ , עובר ב- $(1,\,0)$ , ויורד.

כמעט. הגרף יורד, אבל האסימפטוטה היא $x=-1$ . זה $y=\log_{\frac12}(x+1)$ .

שלוש בדיקות מספיקות לכל גרף של לוגריתם: איפה האסימפטוטה, איפה מה שבפנים שווה $1$ , ואם הבסיס גדול או קטן מ- $1$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

טרנספורמציות

כמו בפונקציה המעריכית: מה שבתוך הלוגריתם מזיז ימינה ושמאלה. מה שמחוץ לו מזיז למעלה ולמטה.

y=\log_2(x-3)

ימינה $3$ . התחום $x>3$ , האסימפטוטה $x=3$

y=\log_2 x+2

למעלה $2$ . האסימפטוטה לא זזה

y=-\log_2 x

שיקוף בציר ה- $x$ : עולה הופכת ליורדת

y=\log_2(-x)

שיקוף בציר ה- $y$ : התחום $x<0$

פעילות אינטראקטיבית

y=\log_3(x+2)-1

תחום

מה תחום ההגדרה?

x>-2

x>2

להציג את התשובה והפתרון

$x+2>0$ נותן $x>-2$ . הפלוס בפנים מזיז שמאלה.

x>1

להציג את התשובה והפתרון

המספר $-1$ נמצא מחוץ ללוגריתם. הוא לא משנה את התחום.

מה שבפנים חיובי.

x+2>0 \Rightarrow x>-2

אסימפטוטה

מה האסימפטוטה?

x=-2

y=-1

להציג את התשובה והפתרון

ללוגריתם אין אסימפטוטה אופקית. הוא ממשיך לעלות בלי סוף.

x=0

להציג את התשובה והפתרון

האסימפטוטה זזה עם התחום: היא בגבול שלו.

אסימפטוטה אנכית, בגבול התחום.

ציר ה-x

איפה הגרף חותך את ציר ה- $x$ ?

x=1

x=-1

להציג את התשובה והפתרון

$\log_3(x+2)=1$ פירושו $x+2=3^1$ .

x=-2

להציג את התשובה והפתרון

שם האסימפטוטה. הגרף לא מגיע אליה.

$y=0$ נותן $\log_3(x+2)=1$ .

\begin{aligned}\log_3(x+2) &= 1 \Rightarrow x+2 \\ &= 3 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

ציר ה-y

איפה הגרף חותך את ציר ה- $y$ ?

y=\log_3 2-1\approx -0.37

y=-1

להציג את התשובה והפתרון

ב- $x=0$ מה שבפנים הוא $2$ , לא $1$ . $\log_3 2 \neq 0$ .

מציבים $x=0$ .

תחום, אסימפטוטה, שני חיתוכים: מספיק כדי לשרטט.

פותרים יחד: תחום, אסימפטוטה וחיתוכים

לעשות את הפעילות ב-elev

פעילות אינטראקטיבית

איזה גרף מתאר את $y=\log_2(x-1)+2$ ?

קודם האסימפטוטה: איפה מה שבפנים מתאפס? אחר כך נקודה: מה $y$ כש- $x-1=1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. האסימפטוטה כאן $x=-1$ : זה $y=\log_2(x+1)+2$ . המינוס בפנים מזיז ימינה.

כמעט. גם הגרף הזה עובר ב- $(2,\,2)$ , אבל האסימפטוטה שלו $x=0$ . זה $y=\log_2 x+1$ .

נכון. אסימפטוטה $x=1$ , ו- $y(2)=\log_2 1+2=2$ .

לא. האסימפטוטה נכונה, אבל ב- $x=2$ הגרף ב- $y=-2$ . זה $y=\log_2(x-1)-2$ .

גרף II מראה למה נקודה אחת לא מספיקה: צריך גם את האסימפטוטה.

לעשות את הפעילות ב-elev

מה התחום של $y=\left|\log_2 x\right|$ ? ואיפה הערך הקטן ביותר שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התחום $x>0$ , כמו של $\log_2 x$ . הערך המוחלט מעלה את החלק שמתחת לציר, ולכן הערך הקטן ביותר הוא $0$ , ב- $x=1$ .

שתי טעויות בקריאת נוסחה.

\begin{aligned}y &= \log_2(x+3) \ : \ x \\ &= 3\end{aligned}

\begin{aligned}y &= \log_2(x+3) \ : \ x \\ &= -3\end{aligned}

האסימפטוטה היא איפה שמה שבפנים מתאפס: $x+3=0$ .

y=\log(x-2)+5 \ : \ x>-5

y=\log(x-2)+5 \ : \ x>2

התחום נקבע רק ממה שבתוך הלוגריתם.

שרטוט מהיר: תחום, ואז אסימפטוטה. אחר כך נקודה שבה מה שבפנים שווה $1$ , ולבסוף כיוון.

תרגילים

תרגיל 1

מהו תחום ההגדרה של $f(x)=\log_2(x-5)$ ?

$x \neq 5$
$x>0$
$x>5$
$x>-5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x>5$

הפתרון:

x-5>0

מה שבפנים חיובי

x>5

מעבירים אגף

$x \neq 5$ לא מספיק: גם $x=3$ נותן $\log_2(-2)$ . צריך חיובי, לא רק שונה מאפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באיזו נקודה הגרף של $y=\log_3(x-2)$ חותך את ציר ה- $x$ ? כתבו את שיעור ה- $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\log_3(x-2)=0

על ציר ה- $x$ : $y=0$

\begin{aligned}x-2 &= 3^0 \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

ההגדרה

הלוגריתם מתאפס כשמה שבפנים שווה $1$ , לא $0$ . מי שענה $2$ מצא את האסימפטוטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהי האסימפטוטה האנכית של $y=\ln(2x+6)$ ? כתבו את שיעור ה- $x$ שלה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

2x+6=0

מה שבפנים מתאפס

x=-3

התחום $x>-3$

מי שענה $-6$ שכח לחלק ב- $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הפונקציה $y=\log_{0.8} x$ עולה בכל תחום ההגדרה שלה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

0<0.8<1

הבסיס קטן מ- $1$

\begin{aligned}\log_{0.8} 1 &= 0 \\ \ \log_{0.8} 2<0\end{aligned}

ערך גדל, תוצאה קטנה

לא נכון. היא יורדת. את הכיוון קובע הבסיס בלבד, וכאן הוא קטן מ- $1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

התאימו לכל פונקציה את האסימפטוטה האנכית שלה.

$y=\log_2(x-4)$
$y=\log_2(x+1)$
$y=\log_5 x+3$
$y=\log(2x-6)$

$x=-1$
$x=0$
$x=3$
$x=4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y=\log_2(x-4)$ — $x=4$ · $y=\log_2(x+1)$ — $x=-1$ · $y=\log_5 x+3$ — $x=0$ · $y=\log(2x-6)$ — $x=3$

הפתרון:

\begin{aligned}x-4 &= 0 \\ \ x+1 &= 0 \\ \ x &= 0 \\ \ 2x-6 &= 0\end{aligned}

מה שבפנים מתאפס

ב- $\log_5 x+3$ ה- $3$ מחוץ ללוגריתם: הוא מזיז למעלה, והאסימפטוטה נשארת $x=0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה $f(x)=\log_2(x+4)-3$ . השלימו.

החיתוך עם ציר ה- $x$ : $x=$ ____ ; החיתוך עם ציר ה- $y$ : $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: החיתוך עם ציר ה- $x$ : $x=$ 4 ; החיתוך עם ציר ה- $y$ : $y=$ -1

הפתרון:

\begin{aligned}\log_2(x+4) &= 3 \Rightarrow x+4 \\ &= 8\end{aligned}

$y=0$

x=4

ציר ה- $x$

\begin{aligned}f(0) &= \log_2 4-3 \\ &= 2-3 \\ &= -1\end{aligned}

$x=0$

בחיתוך עם ציר ה- $x$ מעבירים את $-3$ לצד השני לפני ההגדרה. מי שכתב $x+4=-3$ שכח אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הגרף שבשרטוט מתאר אחת מהפונקציות. איזו?

$y=\log_2(x-2)$
$y=\log_{\frac12}(x+2)$
$y=\log_2(x+2)$
$y=\log_2 x+2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $y=\log_2(x+2)$

הפתרון:

x=-2

האסימפטוטה בשרטוט

\log_2(2+2)=2

הנקודה $(2,\,2)$ ✓

\log_2(-1+2)=0

הנקודה $(-1,\,0)$ ✓

האסימפטוטה $x=-2$ פוסלת את $\log_2(x-2)$ ואת $\log_2 x+2$ . הגרף עולה, ולכן הבסיס גדול מ- $1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מיינו: איזו פונקציה עולה ואיזו יורדת?

עולה
יורדת

$y=-\log_2 x$
$y=\ln x$
$y=\log_{\frac15} x$
$y=\log_{0.9} x$
$y=\log_2(x-3)$
$y=\log_5 x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y=\log_5 x$ — עולה · $y=\log_{\frac15} x$ — יורדת · $y=\ln x$ — עולה · $y=-\log_2 x$ — יורדת · $y=\log_{0.9} x$ — יורדת · $y=\log_2(x-3)$ — עולה

הפתרון:

a>1 \qquad 0<a<1

בסיס גדול מ- $1$ : עולה. בסיס בין $0$ ל- $1$ : יורדת.

$-\log_2 x$ יורדת אף שהבסיס $2$ : המינוס מבחוץ משקף בציר ה- $x$ . והזזה ימינה לא משנה כיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הנקודה $(a,\,4)$ נמצאת על הגרף של $y=\log_3 x$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 81

הפתרון:

\log_3 a=4

מציבים את הנקודה

\begin{aligned}a &= 3^4 \\ &= 81\end{aligned}

ההגדרה

מי שענה $12$ כפל $3 \cdot 4$ . מי שענה $\log_3 4$ הציב את $4$ במקום $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

את הגרף של $y=\log_2 x$ הזיזו $3$ יחידות ימינה ו- $1$ יחידה למטה. באיזו נקודה הגרף החדש חותך את ציר ה- $x$ ? כתבו את שיעור ה- $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

y=\log_2(x-3)-1

ימינה: בפנים; למטה: בחוץ

\begin{aligned}\log_2(x-3) &= 1 \Rightarrow x-3 \\ &= 2\end{aligned}

$y=0$

x=5

ציר ה- $x$

ימינה $3$ נכתב $x-3$ , מינוס. מי שכתב $\log_2(x+3)-1$ קיבל $x=-1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מצאו את התחום של $y=\log_3(4-x)$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

4-x>0

-x>-4

x>4

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x>4$ → $x<4$

הפתרון:

-x>-4

מעבירים אגף

x<4

כופלים ב- $-1$ : הסימן מתהפך

כפל במספר שלילי הופך את סימן אי-השוויון. בדיקה: $x=0$ נותן $\log_3 4$ , מוגדר, ו- $0<4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

הגרפים של $y=\log_2 x$ ושל $y=\log_{\frac12} x$ סימטריים זה לזה ביחס לציר ה- $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\log_{\frac12} x &= \frac{\log x}{\log \frac12} \\ &= \frac{\log x}{-\log 2}\end{aligned}

החלפת בסיס

=-\log_2 x

מינוס מבחוץ: שיקוף בציר ה- $x$

נכון. לכל $x$ הערכים נגדיים, למשל $\log_2 4=2$ ו- $\log_{\frac12} 4=-2$ . שיקוף בציר ה- $y$ היה משנה את התחום ל- $x<0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

התכונות של y=log⁡axy=\log_a xy=loga​x

הבסיס מחליט: עולה או יורדת

טרנספורמציות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

התכונות של $y=\log_a x$