פותרים יחד · לוגריתמים והפונקציה הלוגריתמית · כיתה י״ב

ארבע שאלות בסגנון הבגרות, וכל אחת נפתרת יחד, שלב אחרי שלב: משוואה עם תחום, שני תהליכים מעריכיים, פונקציה לוגריתמית, ואי-שוויון בבסיס קטן מ- $1$ . שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

בכל שאלה עם לוגריתם, השורה הראשונה במחברת היא התחום. בלעדיה אי אפשר לדעת איזה פתרון לפסול.

1 — משוואה עם סכום של לוגריתמים

פעילות אינטראקטיבית

נתונה המשוואה $\log_2(x+2)+\log_2(x-1)=2$ . א. מצאו את תחום ההגדרה של המשוואה. ב. פתרו את המשוואה.

\log_2(x+2)+\log_2(x-1)=2

לחצו «להתחיל». סעיף א הוא לא קישוט: הוא יפסול פתרון בסעיף ב.

א. תנאים

x+2>0 ,\ x-1>0

כל לוגריתם דורש תנאי.

א. התחום

x>1

התנאי החזק קובע.

ב. חוק המכפלה

\log_2 \big((x+2)(x-1)\big)=2

חוק המכפלה.

ב. הגדרה

\begin{aligned}(x+2)(x-1) &= 4 \Rightarrow x^2+x-6 \\ &= 0\end{aligned}

ההגדרה: $2^2=4$ .

ב. פירוק

\begin{aligned}(x+3)(x-2) &= 0 \Rightarrow x \\ &= -3 \\ \ x &= 2\end{aligned}

משוואה ריבועית.

ב. בדיקה

x=2

$x=-3$ מחוץ לתחום. בדיקה: $\log_2 4+\log_2 1=2+0=2$ ✓

בלי סעיף א, $x=-3$ היה נכנס לתשובה, ושם $\log_2(-1)$ לא מוגדר.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם $x=-3$ פותר את המשוואה $\log_2\big((x+2)(x-1)\big)=2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כן: שם $(x+2)(x-1)=(-1)(-4)=4$ . אבל המשוואה המקורית שונה: היא דורשת $x+2>0$ ו- $x-1>0$ בנפרד. חוק המכפלה הרחיב את התחום, ולכן בודקים מול המקורית.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — שני תהליכים: מתי הם שווים

פעילות אינטראקטיבית

שני תהליכים מעריכיים

כמות החומר בתהליך הראשון היא $f(t)=500 \cdot 3^t$ , ובתהליך השני $g(t)=2000 \cdot 2^t$ ( $t$ בשעות). א. כעבור כמה שעות הכמויות שוות? עגלו לשתי ספרות. ב. מאיזה רגע הכמות בתהליך הראשון גדולה יותר?

מה הצעד הראשון ב- $500 \cdot 3^t=2000 \cdot 2^t$ ?

מחלקים את שני האגפים ב- $500 \cdot 2^t$

להציג את התשובה והפתרון

כך כל החזקות בצד אחד וכל המספרים בצד השני.

כופלים: $1500^t=4000^t$

להציג את התשובה והפתרון

$500 \cdot 3^t$ אינו $1500^t$ . המעריך שייך רק ל- $3$ .

לוקחים $\log$ מיד ומורידים את $t$

להציג את התשובה והפתרון

אפשר, אבל אז $\log(500 \cdot 3^t)=\log 500+t\log 3$ , וזה ארוך יותר.

\begin{aligned}\frac{3^t}{2^t} &= \frac{2000}{500} \Rightarrow 1.5^t \\ &= 4\end{aligned}

$\frac{3^t}{2^t}=\left(\frac32\right)^t$ .

איך פותרים $1.5^t=4$ ?

$t=\frac{\log 4}{\log 1.5}$

להציג את התשובה והפתרון

לוגריתם לשני האגפים, והמעריך יורד.

$t=\frac{4}{1.5}$

להציג את התשובה והפתרון

חזקה אינה כפל.

$t=\log\frac{4}{1.5}$

להציג את התשובה והפתרון

מחלקים את שני הלוגריתמים, לא את המספרים שבפנים.

t=\frac{\log 4}{\log 1.5}\approx 3.42

א. כעבור כ- $3.42$ שעות.

מתי $f(t)>g(t)$ ?

$1.5^t>4$ , ולכן $t>3.42$

להציג את התשובה והפתרון

הבסיס $1.5$ גדול מ- $1$ : הסימן נשאר.

$t<3.42$

להציג את התשובה והפתרון

ב- $t=0$ : $f(0)=500<g(0)=2000$ . בהתחלה דווקא $g$ גדולה.

1.5^t>4 \Rightarrow t>3.42

ב. מ- $3.42$ שעות ואילך.

להציג את התשובה והפתרון

א. $t\approx 3.42$ . ב. $t>3.42$ . בהתחלה $g$ גדולה פי $4$ , אבל $f$ גדלה מהר יותר ועוקפת.

לעשות את הפעילות ב-elev

מה היה משתנה בסעיף ב, אם התהליך הראשון היה $f(t)=500 \cdot 1.5^t$ והשני $g(t)=2000 \cdot 3^t$ ?

להציג את התשובה והפתרון

אז $\left(\frac{1.5}{3}\right)^t=4$ , כלומר $0.5^t=4$ ו- $t=-2$ . אין רגע חיובי שבו הכמויות שוות: $g$ גדולה יותר מההתחלה וגדלה מהר יותר.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פונקציה לוגריתמית

פעילות אינטראקטיבית

נתונה הפונקציה $f(x)=\log_3(x-1)+2$ . א. מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטה של $f$ . ב. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים, אם יש כאלה. ג. פתרו את אי-השוויון $f(x)>3$ .

f(x)=\log_3(x-1)+2

לחצו «להתחיל». התחום מסעיף א יחליט אם יש חיתוך עם ציר ה- $y$ .

א. התחום

x-1>0 \Rightarrow x>1

הביטוי שבתוך הלוגריתם חיובי.

א. אסימפטוטה

x=1

אסימפטוטה אנכית, בגבול התחום.

ב. ציר x

\begin{aligned}\log_3(x-1) &= -2 \Rightarrow x-1 \\ &= \tfrac{1}{9} \Rightarrow x \\ &= \tfrac{10}{9}\end{aligned}

ציר ה- $x$ : $f(x)=0$ .

ב. ציר y

x=0 \notin \{x>1\}

אין חיתוך עם ציר ה- $y$ : $0$ מחוץ לתחום.

ג. אי-שוויון

\log_3(x-1)>1 \Rightarrow x-1>3

מעבירים את $2$ , ו- $1=\log_3 3$ . הבסיס $3>1$ .

ג. התשובה

x>4

כבר בתוך התחום.

השאלה «אם יש כאלה» היא רמז: כאן באמת אין חיתוך עם ציר ה- $y$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

מי שהציב $x=0$ ב- $f$ במחשבון, מה קיבל?

להציג את התשובה והפתרון

שגיאה: $\log_3(-1)$ לא מוגדר. זו לא תקלה במחשבון. זו התשובה: הגרף לא מגיע לציר ה- $y$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — אי-שוויון בבסיס קטן מ-1

פעילות אינטראקטיבית

שני לוגריתמים בבסיס שליש

פתרו את אי-השוויון $\log_{\frac13}(x+5)\ge \log_{\frac13}(2x+1)$ .

מה התחום?

$x>-\frac12$

להציג את התשובה והפתרון

$x+5>0$ ו- $2x+1>0$ . החזק מביניהם: $x>-\frac12$ .

$x>-5$

להציג את התשובה והפתרון

זה רק התנאי של הלוגריתם הראשון. ב- $x=-1$ מקבלים $\log_{\frac13}(-1)$ .

x+5>0 ,\ 2x+1>0 \Rightarrow x>-\tfrac{1}{2}

שני הלוגריתמים מוגדרים רק שם.

מה כותבים בלי הלוגריתמים?

$x+5\le 2x+1$

להציג את התשובה והפתרון

הבסיס $\frac13$ קטן מ- $1$ : הסימן מתהפך.

$x+5\ge 2x+1$

להציג את התשובה והפתרון

זה נכון רק בבסיס גדול מ- $1$ .

x+5\le 2x+1 \Rightarrow x\ge 4

הסימן התהפך.

מה הפתרון?

$x\ge 4$

להציג את התשובה והפתרון

$4>-\frac12$ : כל הפתרון בתוך התחום.

$-\frac12<x\le 4$

להציג את התשובה והפתרון

זה הצד ההפוך. בדקו את $x=0$ : $\log_{\frac13} 5<\log_{\frac13} 1=0$ , ולכן $x=0$ לא מקיים.

x\ge 4

חותכים עם התחום.

להציג את התשובה והפתרון

$x\ge 4$ . בדיקה ב- $x=4$ : שני הצדדים $\log_{\frac13} 9=-2$ , שוויון ✓. ב- $x=7$ : $\log_{\frac13} 12\ge \log_{\frac13} 15$ ✓, כי בבסיס קטן מ- $1$ מספר קטן יותר נותן לוגריתם גדול יותר.

לעשות את הפעילות ב-elev

ומה הפתרון של $\log_3(x+5)\ge \log_3(2x+1)$ , באותו תחום?

להציג את התשובה והפתרון

בבסיס $3$ הסימן נשאר: $x+5\ge 2x+1$ , כלומר $x\le 4$ . עם התחום: $-\frac12<x\le 4$ . אותו תחום, צד הפוך.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. ושאלה 5 משלבת הצבה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה המשוואה $\log_3(x+4)+\log_3(x-4)=2$ . השלימו.

תחום ההגדרה: $x>$ ____ ; הפתרון: $x=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: תחום ההגדרה: $x>$ 4 ; הפתרון: $x=$ 5

הפתרון:

x+4>0 ,\ x-4>0 \Rightarrow x>4

תחום

\begin{aligned}(x+4)(x-4) &= 9 \Rightarrow x^2 \\ &= 25\end{aligned}

חוק המכפלה והגדרה

\begin{aligned}x &= \pm 5 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

$x=-5$ מחוץ לתחום

$x=-5$ פותר את $x^2=25$ , אבל נותן $\log_3(-1)$ . מי שכתב $x^2-16=6$ חישב $3 \cdot 2$ במקום $3^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמות אחת גדלה לפי $f(t)=1000 \cdot 1.2^t$ , וכמות שנייה לפי $g(t)=3000 \cdot 1.05^t$ ( $t$ בשנים). כעבור כמה שנים הכמויות שוות? עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.23

הפתרון:

\left(\frac{1.2}{1.05}\right)^t=3

מחלקים ב- $1000 \cdot 1.05^t$

t=\frac{\log 3}{\log \frac{1.2}{1.05}}

לוגריתם

\approx 8.23

מחשבון

מי שחילק $\frac{\log 3}{\log 1.2-1.05}$ שכח סוגריים: צריך $\log 1.2-\log 1.05$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $f(x)=\log_2(x+3)-1$ . השלימו. (עגלו לשתי ספרות.)

האסימפטוטה: $x=$ ____ ; חיתוך עם ציר ה- $x$ : $x=$ ____ ; חיתוך עם ציר ה- $y$ : $y=$ ____ ; הפתרון של $f(x)<2$ : $-3<x<$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: האסימפטוטה: $x=$ -3 ; חיתוך עם ציר ה- $x$ : $x=$ -1 ; חיתוך עם ציר ה- $y$ : $y=$ 0.58 ; הפתרון של $f(x)<2$ : $-3<x<$ 5

הפתרון:

\begin{aligned}x+3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -3\end{aligned}

אסימפטוטה

\begin{aligned}\log_2(x+3) &= 1 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

$f=0$

f(0)=\log_2 3-1\approx 0.58

$x=0$ בתוך התחום

\log_2(x+3)<3 \Rightarrow x+3<8 \Rightarrow x<5

$f<2$

כאן $x=0$ בתוך התחום $x>-3$ , ולכן יש חיתוך עם ציר ה- $y$ . בשאלה 3 של הדף לא היה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פתרו את אי-השוויון $\log_{0.5}(x+2)<\log_{0.5}(3x-4)$ . השלימו. (אפשר לכתוב שבר.)

____ $<x<$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.3333333333333333 $<x<$ 3

הפתרון:

x+2>0 ,\ 3x-4>0 \Rightarrow x>\tfrac{4}{3}

תחום

x+2>3x-4 \Rightarrow x<3

בסיס $0.5$ : הסימן מתהפך

\tfrac{4}{3}<x<3

חותכים

מי שכתב $x>3$ לא הפך את הסימן. והגבול התחתון בא מ- $3x-4>0$ , לא מ- $x+2>0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פתרו את המשוואה $(\log_2 x)^2-\log_2 x^3+2=0$ . כתבו את מכפלת הפתרונות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\log_2 x^3=3\log_2 x

חוק החזקה

\begin{aligned}t &= \log_2 x: \ t^2-3t+2 \\ &= 0 \Rightarrow t \\ &= 1 \\ \ t &= 2\end{aligned}

הצבה

\begin{aligned}x &= 2 \\ \ x &= 4 \Rightarrow 2 \cdot 4 \\ &= 8\end{aligned}

חוזרים ל- $x$

$\log_2 x^3$ הוא $3\log_2 x$ , לא $(\log_2 x)^3$ . בלי חוק החזקה אי אפשר להציב $t$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — משוואה עם סכום של לוגריתמים

2 — שני תהליכים: מתי הם שווים

3 — פונקציה לוגריתמית

4 — אי-שוויון בבסיס קטן מ-1

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev