תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות מכל הפרק, בסדר מעורבב. בכל שאלה מחליטים לבד: איזו סדרה, ואיזו נוסחה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הסדרה an=4n−7a_n=4n-7. חשבו את a25a_{25}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 93

הפתרון:

a25=4⋅25−7=93\begin{aligned}a_{25} &= 4 \cdot 25-7 \\ &= 93\end{aligned}

באיבר כללי מציבים את nn ישר. אין כאן קפיצות לספור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בסדרה חשבונית האיבר הראשון הוא 66, האיבר האחרון הוא 9696, וסכום כל האיברים הוא 10711071. כמה איברים יש בסדרה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 21

הפתרון:

n(6+96)2=1071\frac{n(6+96)}{2}=1071

הנוסחה עם האיבר האחרון

51n=1071 ⇒ n=21\begin{aligned}51n &= 1071 \ \Rightarrow \ n \\ &= 21\end{aligned}

לא צריך את dd: הנוסחה n(a1+an)2\frac{n(a_1+a_n)}{2} מספיקה. ובדיקה: d=96−620=4.5d=\frac{96-6}{20}=4.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בסדרה ההנדסית 2,−4,8,…2, -4, 8, \ldots: מהו a7a_7?

  1. −128-128
  2. 128128
  3. 256256
  4. −256-256
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 128128

הפתרון:

q=−2q=-2
a7=2⋅(−2)6=2⋅64=128\begin{aligned}a_7 &= 2 \cdot (-2)^6 \\ &= 2 \cdot 64 \\ &= 128\end{aligned}

חזקה זוגית של מספר שלילי היא חיובית

התשובה: 128128. האיברים במקומות האי-זוגיים חיוביים. −256-256 ו-256256 מחשבים (−2)7(-2)^7 ו-282^8.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא 203\frac{20}{3}, והאיבר הראשון הוא 55. מצאו את מנת הסדרה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

51−q=203 ⇒ 1−q=1520=34\begin{aligned}\frac{5}{1-q} &= \frac{20}{3} \ \Rightarrow \ 1-q \\ &= \frac{15}{20} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}
q=14=0.25\begin{aligned}q &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

מי שענה 0.750.75 מצא את 1−q1-q. בודקים: 50.75=203\frac{5}{0.75}=\frac{20}{3} ✓ עם q=0.25q=0.25.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הסדרה 1,12,13,14,…1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots היא סדרה הנדסית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

a2a1=12a3a2=23\begin{aligned}\frac{a_2}{a_1} &= \frac{1}{2} \\ \quad \frac{a_3}{a_2} &= \frac{2}{3}\end{aligned}

המנות שונות

לא נכון. האיברים קטנים, אבל לא פי אותו מספר. סדרה יורדת היא לא בהכרח הנדסית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

סדרה מוגדרת על ידי a1=1a_1=1, an+1=an+na_{n+1}=a_n+n. חשבו את a5a_5.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

a2=1+1=2a3=2+2=4\begin{aligned}a_2 &= 1+1 \\ &= 2 \\ \quad a_3 &= 2+2 \\ &= 4\end{aligned}
a4=4+3=7a5=7+4=11\begin{aligned}a_4 &= 4+3 \\ &= 7 \\ \quad a_5 &= 7+4 \\ &= 11\end{aligned}

הקפיצה משתנה: +1,+2,+3,+4+1, +2, +3, +4. לכן זו לא סדרה חשבונית, ואין לה dd.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הסדרה x,10,yx, 10, y היא סדרה חשבונית, והסדרה x,6,yx, 6, y היא סדרה הנדסית. ידוע ש-x<yx<y. מצאו את xx ואת yy.

x=x= ____ ; y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x= 2 ; y=y= 18

הפתרון:

x+y=2⋅10=20\begin{aligned}x+y &= 2 \cdot 10 \\ &= 20\end{aligned}

חשבונית

x⋅y=62=36\begin{aligned}x \cdot y &= 6^2 \\ &= 36\end{aligned}

הנדסית

t2−20t+36=0 ⇒ t=2 t=18\begin{aligned}t^2-20t+36 &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 2 \\ \ t &= 18\end{aligned}

שני מספרים שסכומם 2020 ומכפלתם 3636

שתי התכונות יחד נותנות סכום ומכפלה. התנאי x<yx<y בוחר את הסדר: 2,10,182, 10, 18 ו-2,6,182, 6, 18.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

כדור נופל מגובה 1010 מטר. אחרי כל פגיעה ברצפה הוא עולה ל-35\frac{3}{5} מהגובה הקודם. איזה מרחק (במטרים) יעבור הכדור בסך הכול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

6+3.6+…=61−35=15\begin{aligned}6+3.6+\ldots &= \frac{6}{1-\frac{3}{5}} \\ &= 15\end{aligned}

כל הקפיצות: מתחילות ב-66

10+2⋅15=4010+2 \cdot 15=40

נפילה ראשונה, ואז כל קפיצה פעמיים

מי שענה 2525 ספר כל קפיצה פעם אחת. הכדור עולה ויורד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בסדרה הנדסית a1=1000a_1=1000 ו-q=0.9q=0.9. מהו המקום של האיבר הראשון שקטן מ-100100?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 23

הפתרון:

1000⋅0.9n−1<100 ⇒ 0.9n−1<0.11000 \cdot 0.9^{n-1}<100 \ \Rightarrow \ 0.9^{n-1}<0.1
n−1>log⁡0.1log⁡0.9≈21.85n-1>\frac{\log 0.1}{\log 0.9} \approx 21.85

log⁡0.9<0\log 0.9<0: הכיוון מתהפך

n−1=22 ⇒ n=23\begin{aligned}n-1 &= 22 \ \Rightarrow \ n \\ &= 23\end{aligned}

שני מלכודות: הכיוון מתהפך כשמחלקים ב-log⁡0.9\log 0.9, והתשובה היא nn ולא n−1n-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בסדרה חשבונית a1=3a_1=3, והאיבר השביעי גדול פי 33 מהאיבר השני. מצאו את a10a_{10}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 21

הפתרון:

3+6d=3(3+d)3+6d=3(3+d)

a7=3a2a_7=3a_2

3+6d=9+3d ⇒ d=2\begin{aligned}3+6d &= 9+3d \ \Rightarrow \ d \\ &= 2\end{aligned}
a10=3+9⋅2=21\begin{aligned}a_{10} &= 3+9 \cdot 2 \\ &= 21\end{aligned}

«פי 33» הוא משוואה בין שני איברים. זה לא אומר שהסדרה הנדסית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת