סדרה 3 — ברמת בגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שלוש שאלות בנוסח שאלה 1 של הבגרות. כל שאלה היא סיפור אחד, וכל סעיף שלו הוא תרגיל נפרד. הסיפור מופיע מעל הסעיף.

כמו בבחינה: כל סעיף משתמש בסעיף שלפניו. וקראו כל סעיף עד הסוף: «באותו יום» הוא איבר, «בסך הכול» הוא סכום.

תרגילים

תרגיל 1

א. כמה כוסות קפה נמכרו ביום ה-2020?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 154

הפתרון:

a1=40d=6\begin{aligned}a_1 &= 40 \\ \quad d &= 6\end{aligned}

מוסיפים אותו מספר: סדרה חשבונית

a20=40+19⋅6=154\begin{aligned}a_{20} &= 40+19 \cdot 6 \\ &= 154\end{aligned}

השאלה על יום אחד, ולכן איבר. מי שקיבל 160160 הכפיל ב-2020.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ב. כמה כוסות קפה נמכרו בסך הכול ב-2020 הימים הראשונים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1940

הפתרון:

S20=20(a1+a20)2=20(40+154)2\begin{aligned}S_{20} &= \frac{20(a_1+a_{20})}{2} \\ &= \frac{20(40+154)}{2}\end{aligned}

משתמשים ב-a20a_{20} מסעיף א

=1940=1940

הסכום משתמש בתשובה של סעיף א. מי שחישב 20⋅15420 \cdot 154 הניח שבכל יום נמכרו 154154 כוסות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ג. באיזה יום נמכרו לראשונה יותר מ-100100 כוסות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

40+(n−1)⋅6>100 ⇒ n−1>1040+(n-1) \cdot 6>100 \ \Rightarrow \ n-1>10
n−1=11 ⇒ n=12\begin{aligned}n-1 &= 11 \ \Rightarrow \ n \\ &= 12\end{aligned}
a11=100a12=106\begin{aligned}a_{11} &= 100 \\ \quad a_{12} &= 106\end{aligned}

בדיקה: ב-a11a_{11} בדיוק 100100, לא יותר

מי שענה 1111 פתר שוויון: ביום ה-1111 נמכרו בדיוק 100100 כוסות, לא יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ד. אחרי כמה ימים עבר לראשונה מספר הכוסות שנמכרו בסך הכול את 10001000?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

Sn=n[80+6(n−1)]2=3n2+37n\begin{aligned}S_n &= \frac{n\left[80+6(n-1)\right]}{2} \\ &= 3n^2+37n\end{aligned}
3n2+37n>1000 ⇒ n>−37+133696≈13.13n^2+37n>1000 \ \Rightarrow \ n>\frac{-37+\sqrt{13369}}{6} \approx 13.1

השורש החיובי של 3n2+37n−1000=03n^2+37n-1000=0

n=14n=14
S13=988S14=1106\begin{aligned}S_{13} &= 988 \\ \quad S_{14} &= 1106\end{aligned}

בדיקה ✓

הפתרון 13.113.1 אינו שלם. n=13n=13 עוד לא מספיק (988988), ולכן מעגלים למעלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

א. כמה ליטר סינן המסנן בשעה הרביעית? (אפשר לכתוב מספר עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 204.8

הפתרון:

a1=400q=0.8\begin{aligned}a_1 &= 400 \\ \quad q &= 0.8\end{aligned}

כופלים באותו מספר: סדרה הנדסית

a4=400⋅0.83=400⋅0.512=204.8\begin{aligned}a_4 &= 400 \cdot 0.8^3 \\ &= 400 \cdot 0.512 \\ &= 204.8\end{aligned}

בשעה הרביעית יש שלוש הכפלות. מי שחישב 400⋅0.84=163.84400 \cdot 0.8^4=163.84 קיבל את השעה החמישית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ב. המסנן עובד בלי הפסקה. מה נכון לגבי הכמות שיסנן בסך הכול?

  1. היא לא תעבור 20002000 ליטר
  2. היא לא תעבור 400400 ליטר
  3. היא תגיע ל-20002000 ליטר אחרי 55 שעות
  4. היא גדלה בלי גבול, כי המסנן לא מפסיק
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א היא לא תעבור 20002000 ליטר

הפתרון:

∣q∣=0.8<1|q|=0.8<1

סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

S=4001−0.8=2000\begin{aligned}S &= \frac{400}{1-0.8} \\ &= 2000\end{aligned}

הגבול של הסכומים

התשובה: היא לא תעבור 20002000 ליטר. אינסוף שעות לא נותנות אינסוף ליטרים: הכמות בכל שעה קטנה. 2000400=5\frac{2000}{400}=5 אינו מספר שעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ג. אחרי כמה שעות יסנן המסנן לראשונה יותר מ-18001800 ליטר בסך הכול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

Sn=400(1−0.8n)1−0.8=2000(1−0.8n)\begin{aligned}S_n &= \frac{400(1-0.8^n)}{1-0.8} \\ &= 2000(1-0.8^n)\end{aligned}
2000(1−0.8n)>1800 ⇒ 0.8n<0.12000(1-0.8^n)>1800 \ \Rightarrow \ 0.8^n<0.1
n>log⁡0.1log⁡0.8≈10.32 ⇒ n=11n>\frac{\log 0.1}{\log 0.8} \approx 10.32 \ \Rightarrow \ n=11

log⁡0.8<0\log 0.8<0: כשמחלקים בו, הכיוון מתהפך

מחלקים ב-log⁡0.8\log 0.8, שהוא שלילי, ולכן כיוון אי-השוויון מתהפך. מי שלא הפך קיבל n<10.32n<10.32.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

א. כמה כסף אספה כל כיתה בסך הכול ב-88 השבועות הראשונים?

כיתה א: ____ ₪ ; כיתה ב: ____ ₪

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: כיתה א: 1360 ₪ ; כיתה ב: 1275 ₪

הפתרון:

S8(a)=8(2⋅100+7⋅20)2=1360\begin{aligned}S^{(a)}_8 &= \frac{8(2 \cdot 100+7 \cdot 20)}{2} \\ &= 1360\end{aligned}

כיתה א: חשבונית, d=20d=20

S8(b)=5(28−1)2−1=1275\begin{aligned}S^{(b)}_8 &= \frac{5(2^8-1)}{2-1} \\ &= 1275\end{aligned}

כיתה ב: הנדסית, q=2q=2

שתי סדרות, שני סוגים: לכל כיתה הנוסחה שלה. עד עכשיו כיתה א מובילה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ב. באיזה שבוע אספה כיתה ב לראשונה יותר מכיתה א באותו שבוע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

an=100+20(n−1)bn=5⋅2n−1\begin{aligned}a_n &= 100+20(n-1) \\ \quad b_n &= 5 \cdot 2^{n-1}\end{aligned}

איברים, לא סכומים

n=6: 200>160n=6: \ 200>160
n=7: 220<320n=7: \ 220<320

משווים איברים: מה שכל כיתה אספה באותו שבוע. כאן מציבים שבועות עוקבים, כי המשוואה מערבת חזקה וביטוי ליניארי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ג. אחרי כמה שבועות יהיה לכיתה ב בסך הכול יותר כסף מאשר לכיתה א?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

n=8: 1360>1275n=8: \ 1360>1275

מסעיף א: כיתה א עוד מובילה

S9(a)=9(200+160)2=1620S9(b)=5(29−1)=2555\begin{aligned}S^{(a)}_9 &= \frac{9(200+160)}{2} \\ &= 1620 \\ \quad S^{(b)}_9 &= 5(2^9-1) \\ &= 2555\end{aligned}
n=9n=9

בשבוע 77 כיתה ב כבר אוספת יותר באותו שבוע, אבל הסכום הכולל שלה עוקף רק בשבוע 99: היא צריכה לסגור את הפער של השבועות הראשונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת