סדרה 2 — בינוני · סדרות · כיתה י״ב

עשר שאלות של שני שלבים: קודם מוצאים את מה שחסר ( $a_1$ , $d$ , $q$ או $n$ ), ואחר כך עונים על השאלה.

כשנתונים שני איברים: בחשבונית מחסרים ( $a_m-a_k=(m-k)d$ ), בהנדסית מחלקים ( $\frac{a_m}{a_k}=q^{m-k}$ ).

תרגילים

תרגיל 1

בסדרה חשבונית $a_5=19$ ו- $a_{12}=47$ . חשבו את סכום $20$ האיברים הראשונים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 820

הפתרון:

\begin{aligned}7d &= 47-19 \\ &= 28 \ \Rightarrow \ d \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}a_1 &= 19-4 \cdot 4 \\ &= 3\end{aligned}

\begin{aligned}S_{20} &= \frac{20(2 \cdot 3+19 \cdot 4)}{2} \\ &= 820\end{aligned}

בין $a_5$ ל- $a_{12}$ יש $7$ קפיצות. מי שחילק ב- $8$ ספר איברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בסדרה הנדסית שכל איבריה חיוביים $a_3=20$ ו- $a_5=80$ . חשבו את $S_7$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 635

הפתרון:

\begin{aligned}q^2 &= \frac{80}{20} \\ &= 4 \ \Rightarrow \ q \\ &= 2\end{aligned}

איברים חיוביים

\begin{aligned}a_1 &= \frac{20}{4} \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}S_7 &= 5(2^7-1) \\ &= 635\end{aligned}

מי שלקח $a_1=20$ שכח ש- $a_3$ הוא האיבר השלישי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הסדרה החשבונית $50, 46, 42, \ldots$ . מהו הסכום הגדול ביותר שאפשר לקבל כשמחברים את האיברים הראשונים שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 338

הפתרון:

a_n=54-4n>0 \ \Rightarrow \ n<13.5

מחברים כל עוד האיברים חיוביים

\begin{aligned}a_{13} &= 2 \\ \quad a_{14} &= -2\end{aligned}

\begin{aligned}S_{13} &= \frac{13(50+2)}{2} \\ &= 338\end{aligned}

כל איבר שלילי מקטין את הסכום. לכן עוצרים באיבר החיובי האחרון, $a_{13}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

סכום סדרה הנדסית אינסופית שכל איבריה חיוביים הוא $12$ . סכום שני האיברים הראשונים הוא $9$ . מצאו את $a_1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}a_1 &= 12(1-q) \\ \quad a_1(1+q) &= 9\end{aligned}

\begin{aligned}12(1-q)(1+q) &= 9 \ \Rightarrow \ q^2 \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

\begin{aligned}q &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ a_1 \\ &= 6\end{aligned}

איברים חיוביים: $q>0$

$q=-\frac{1}{2}$ נותן $a_1=18$ ו- $a_2=-9$ : איבר שלילי, ולכן נפסל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

סדרה מוגדרת על ידי $a_1=2$ , $a_{n+1}=a_n+3$ . כתבו את האיבר הכללי שלה בצורה $a_n=pn-r$ .

$p=$ ____ ; $r=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $p=$ 3 ; $r=$ 1

הפתרון:

a_n=2+(n-1) \cdot 3

סדרה חשבונית

=3n-1

\begin{aligned}a_1 &= 3-1 \\ &= 2 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

מי שכתב $a_n=3n+2$ לקח את $a_1$ כמספר החופשי. אבל $a_1$ הוא האיבר כש- $n=1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מחפשים את $n$ הקטן ביותר שעבורו $2^{n-1}>300$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

2^{n-1}>300

n-1>\frac{\log 300}{\log 2} \approx 8.23

n=9

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $n=9$ → $n-1=9 \ \Rightarrow \ n=10$

הפתרון:

n-1>8.23 \ \Rightarrow \ n-1=9

השלם הראשון

\begin{aligned}2^8 &= 256<300 \\ \quad 2^9 &= 512>300\end{aligned}

בדיקה: $n-1=9$

הלוגריתם נתן את $n-1$ , לא את $n$ . בדיקה מהירה: עם $n=9$ מקבלים $2^8=256$ , שעוד קטן מ- $300$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

המספרים $x-1, x+1, x+7$ הם איברים עוקבים של סדרה הנדסית. מהו $x$ ?

$2$
$-2$
$4$
$3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $2$

הפתרון:

(x+1)^2=(x-1)(x+7)

\begin{aligned}x^2+2x+1 &= x^2+6x-7 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

1, 3, 9

בדיקה: $q=3$ ✓

התשובה: $2$ . ה- $x^2$ מצטמצם, ונשארת משוואה ממעלה ראשונה. $3$ הוא המנה של הסדרה, לא $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

חשבו את סכום כל המספרים האי-זוגיים שבין $100$ ל- $200$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7500

הפתרון:

101, 103, \ldots, 199

$d=2$

\begin{aligned}101+(n-1) \cdot 2 &= 199 \ \Rightarrow \ n \\ &= 50\end{aligned}

\begin{aligned}S_{50} &= \frac{50(101+199)}{2} \\ &= 7500\end{aligned}

האי-זוגי הראשון הוא $101$ והאחרון $199$ . מי שספר $\frac{199-101}{2}=49$ איברים שכח את האיבר הראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בסדרה הנדסית שבה $a_1>0$ ו- $q=-2$ , הסכום $S_4$ שלילי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}S_4 &= \frac{a_1\left((-2)^4-1\right)}{-2-1} \\ &= \frac{15a_1}{-3} \\ &= -5a_1<0\end{aligned}

1-2+4-8=-5

דוגמה עם $a_1=1$

נכון. כש- $q$ שלילי האיברים מתחלפים בסימן, וכאן האיבר הרביעי $-8a_1$ «מנצח».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מהו $n$ הקטן ביותר שעבורו $1+2+4+\ldots$ ( $n$ איברים) גדול מ- $1000$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

S_n=2^n-1>1000 \ \Rightarrow \ 2^n>1001

\begin{aligned}2^9 &= 512 \\ \quad 2^{10} &= 1024\end{aligned}

n=10

זו שאלה על סכום. מי שפתר $2^{n-1}>1000$ חיפש איבר, וקיבל $n=11$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev