סדרה 1 — קל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות קצרות, אחת לכל כלי של הפרק: איבר כללי, כלל נסיגה, סדרה חשבונית, סדרה הנדסית וסכום אינסופי. בכל שאלה מספיקה נוסחה אחת.

לפני כל שאלה שאלו: מוסיפים (חשבונית, dd) או כופלים (הנדסית, qq)? ושואלים על איבר או על סכום?

תרגילים

תרגיל 1

בסדרה חשבונית a1=−3a_1=-3 ו-d=4d=4. מצאו את a15a_{15}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 53

הפתרון:

a15=−3+14⋅4a_{15}=-3+14 \cdot 4
=53=53

יש 1414 קפיצות. מי שקיבל 5757 הכפיל ב-1515.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בסדרה הנדסית a1=81a_1=81 ו-q=13q=\frac{1}{3}. מצאו את a5a_5.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

a5=81⋅(13)4=8181=1\begin{aligned}a_5 &= 81 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^4 \\ &= \frac{81}{81} \\ &= 1\end{aligned}

ארבע הכפלות ב-13\frac{1}{3}: 81,27,9,3,181, 27, 9, 3, 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

איזו מהסדרות היא סדרה חשבונית?

  1. 2,4,8,16,…2, 4, 8, 16, \ldots
  2. 1,−1,1,−1,…1, -1, 1, -1, \ldots
  3. 1,4,9,16,…1, 4, 9, 16, \ldots
  4. 7,4,1,−2,…7, 4, 1, -2, \ldots
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 7,4,1,−2,…7, 4, 1, -2, \ldots

הפתרון:

4−7=1−4=−2−1=−3\begin{aligned}4-7 &= 1-4 \\ &= -2-1 \\ &= -3\end{aligned}

הפרש קבוע

התשובה: 7,4,1,−27, 4, 1, -2, עם d=−3d=-3. הפרש שלילי מותר. 2,4,82, 4, 8 הנדסית, ו-1,4,91, 4, 9 אף אחת מהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חשבו את סכום 1212 האיברים הראשונים של הסדרה החשבונית 1,4,7,…1, 4, 7, \ldots

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 210

הפתרון:

a12=1+11⋅3=34\begin{aligned}a_{12} &= 1+11 \cdot 3 \\ &= 34\end{aligned}
S12=12(1+34)2=210\begin{aligned}S_{12} &= \frac{12(1+34)}{2} \\ &= 210\end{aligned}

מי שחישב 12(1+36)2\frac{12(1+36)}{2} לקח a12=1+12⋅3a_{12}=1+12 \cdot 3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חשבו את סכום 66 האיברים הראשונים של הסדרה ההנדסית 2,6,18,…2, 6, 18, \ldots

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 728

הפתרון:

a1=2q=3\begin{aligned}a_1 &= 2 \\ \quad q &= 3\end{aligned}
S6=2(36−1)3−1=2⋅7282=728\begin{aligned}S_6 &= \frac{2(3^6-1)}{3-1} \\ &= \frac{2 \cdot 728}{2} \\ &= 728\end{aligned}

בנוסחת הסכום כתוב qnq^n: 363^6, לא 353^5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הסדרה an=3⋅2na_n=3 \cdot 2^n היא סדרה הנדסית שמנתה 22.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

an+1an=3⋅2n+13⋅2n=2\begin{aligned}\frac{a_{n+1}}{a_n} &= \frac{3 \cdot 2^{n+1}}{3 \cdot 2^n} \\ &= 2\end{aligned}

נכון. שימו לב: האיבר הראשון הוא a1=6a_1=6, לא 33.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חשבו את הסכום 30+10+103+…30+10+\frac{10}{3}+\ldots

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

q=1030=13\begin{aligned}q &= \frac{10}{30} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}
S=301−13=45\begin{aligned}S &= \frac{30}{1-\frac{1}{3}} \\ &= 45\end{aligned}

קודם בודקים ∣q∣<1|q|<1, ורק אז מציבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

סדרה מוגדרת על ידי a1=4a_1=4, an+1=an−3a_{n+1}=a_n-3. השלימו.

a2=a_2= ____ ; a3=a_3= ____ ; a10=a_{10}= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: a2=a_2= 1 ; a3=a_3= -2 ; a10=a_{10}= -23

הפתרון:

a2=4−3=1a3=1−3=−2\begin{aligned}a_2 &= 4-3 \\ &= 1 \\ \quad a_3 &= 1-3 \\ &= -2\end{aligned}
an=4+(n−1)(−3) ⇒ a10=4−27=−23\begin{aligned}a_n &= 4+(n-1)(-3) \ \Rightarrow \ a_{10} \\ &= 4-27 \\ &= -23\end{aligned}

זו סדרה חשבונית עם d=−3d=-3

כלל נסיגה שמוסיף אותו מספר מגדיר סדרה חשבונית. לכן את a10a_{10} אפשר לחשב בלי לעבור על כל האיברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

התאימו כל נוסחה למה שהיא מחשבת.

  • a1+(n−1)da_1+(n-1)d
  • a1qn−1a_1 q^{n-1}
  • a1(qn−1)q−1\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}
  • a11−q\frac{a_1}{1-q}
  • איבר בסדרה הנדסית
  • איבר בסדרה חשבונית
  • סכום nn איברים בסדרה הנדסית
  • סכום סדרה הנדסית אינסופית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: a1+(n−1)da_1+(n-1)d — איבר בסדרה חשבונית · a1qn−1a_1 q^{n-1} — איבר בסדרה הנדסית · a1(qn−1)q−1\frac{a_1(q^n-1)}{q-1} — סכום nn איברים בסדרה הנדסית · a11−q\frac{a_1}{1-q} — סכום סדרה הנדסית אינסופית

הפתרון:

∣q∣<1|q|<1

התנאי של הנוסחה האחרונה

הנוסחה a11−q\frac{a_1}{1-q} נכונה רק כש-∣q∣<1|q|<1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה הסדרה an=n2−1a_n=n^2-1. באיזה מקום נמצא האיבר 9999?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

n2−1=99 ⇒ n2=100\begin{aligned}n^2-1 &= 99 \ \Rightarrow \ n^2 \\ &= 100\end{aligned}
n=10n=10

n=−10n=-10 נפסל: מקום הוא מספר חיובי

המשוואה נותנת ±10\pm 10. רק 1010 הוא מקום בסדרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת