מהי סדרה — איבר כללי וכלל נסיגה · סדרות · כיתה י״ב

סדרה היא רשימה של מספרים בסדר קבוע. לכל מספר יש מקום: ראשון, שני, שלישי...

a_1=3

a_2=7

a_3=11

a_4=15

. המספר הקטן למטה הוא המקום

n

, והמספר בתוך התיבה הוא האיבר

a_n

. מה יש במקום ה-

20

$a_n$ הוא האיבר במקום ה- $n$ . $a_1$ הוא האיבר הראשון. $n$ הוא תמיד מספר שלם וחיובי: $1, 2, 3, \ldots$

בסדרה $3, 7, 11, 15, \ldots$ : מהו $a_3$ ? ובאיזה מקום נמצא $15$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$a_3=11$ , ו- $15$ נמצא במקום $n=4$ . המקום והאיבר הם שני מספרים שונים: אל תבלבלו ביניהם.

דרך 1 — איבר כללי

איבר כללי הוא נוסחה של $a_n$ לפי $n$ . מציבים את המקום $n$ , ומקבלים מיד את האיבר.

הסדרה $a_n=n^2+2n$

חשבו את $a_1$ , $a_2$ ו- $a_{10}$ .

\begin{aligned}a_1 &= 1^2+2 \cdot 1 \\ &= 3\end{aligned}

מציבים $n=1$

\begin{aligned}a_2 &= 2^2+2 \cdot 2 \\ &= 8\end{aligned}

מציבים $n=2$

\begin{aligned}a_{10} &= 10^2+2 \cdot 10 \\ &= 120\end{aligned}

ישר למקום ה- $10$ , בלי לחשב את כל האיברים שלפניו

בסדרה $a_n=3n-1$ : האם $50$ הוא איבר בסדרה? אם כן, באיזה מקום?

להציג את התשובה והפתרון

כן. פותרים $3n-1=50$ , ומקבלים $n=17$ . יצא מספר שלם וחיובי, ולכן $a_{17}=50$ .

דרך 2 — כלל נסיגה

כלל נסיגה נותן את האיבר הבא לפי האיבר הקודם. כותבים אותו כך: $a_{n+1}$ לפי $a_n$ .

לכלל נסיגה צריך גם איבר ראשון. בלי $a_1$ אין מאיפה להתחיל.

\begin{aligned}a_1 &= 2 \\ \qquad a_{n+1} &= 2a_n-1\end{aligned}

מתחילים ב-

a_1=2

. כל איבר: פעמיים הקודם, פחות $1$ .

a_2=2 \cdot 2-1=3

a_3=2 \cdot 3-1=5

. הקפיצות

+1, +2, +4, +8

לא קבועות.

המשיכו את הסדרה: מהו $a_6$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$a_6=2 \cdot 17-1=33$ . בכלל נסיגה עוברים צעד אחרי צעד: כדי להגיע ל- $a_6$ צריך את $a_5$ .

a_n=3n-1

איבר כללי: קופצים ישר לכל מקום

\begin{aligned}a_{n+1} &= a_n+3 \\ \ a_1 &= 2\end{aligned}

כלל נסיגה: הולכים צעד אחרי צעד

איזו סדרה זו?

לפני שמחפשים נוסחה, בודקים מה קורה בין שני איברים שכנים.

$a_{n+1}$ הוא האיבר שאחרי $a_n$ . $a_{n-1}$ הוא האיבר שלפני $a_n$ . וכדי לבדוק כלל נסיגה, תמיד כדאי לכתוב את שלושת האיברים הראשונים.

שתי טעויות בסימון.

\begin{aligned}a_n &= n^2+1 \ \Rightarrow \ a_{n+1} \\ &= n^2+2\end{aligned}

a_{n+1}=(n+1)^2+1

$a_{n+1}$ פירושו: מציבים $n+1$ במקום $n$ . לא מוסיפים $1$ לאיבר.

\begin{aligned}a_{n+1} &= 2a_n+3 \\ \ a_1 &= 1: \ a_2 \\ &= 2 \cdot 2+3\end{aligned}

\begin{aligned}a_2 &= 2 \cdot 1+3 \\ &= 5\end{aligned}

בכלל נסיגה מציבים את האיבר הקודם $a_1=1$ , לא את המקום.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הסדרה $a_n=2n^2-3n$ . חשבו את $a_5$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 35

הפתרון:

a_5=2 \cdot 5^2-3 \cdot 5

מציבים $n=5$

=50-15=35

מי שקיבל $85$ חישב $(2 \cdot 5)^2-15$ : החזקה חלה רק על $n$ , לא על $2n$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הסדרה $a_n=5n-2$ . באיזה מקום בסדרה נמצא האיבר $83$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 17

הפתרון:

5n-2=83

משווים את האיבר הכללי ל- $83$

\begin{aligned}5n &= 85 \ \Rightarrow \ n \\ &= 17\end{aligned}

יצא מספר שלם וחיובי

השאלה היא על המקום $n$ , לא על האיבר. $83$ הוא האיבר, $17$ הוא המקום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בסדרה $a_n=4n+3$ , המספר $100$ הוא אחד מאיברי הסדרה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}4n+3 &= 100 \ \Rightarrow \ n \\ &= \frac{97}{4} \\ &= 24.25\end{aligned}

פותרים

\begin{aligned}a_{24} &= 99 \\ \quad a_{25} &= 103\end{aligned}

בדיקה: $100$ נופל בין שני איברים

לא נכון: $n$ חייב להיות מספר שלם. אין מקום « $24$ ורבע».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה $a_{n+1}=a_n+2n$ , ו- $a_1=3$ . חשבו את $a_4$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

\begin{aligned}a_2 &= a_1+2 \cdot 1 \\ &= 5\end{aligned}

מציבים $n=1$ : גם $a_1$ וגם המקום $1$

\begin{aligned}a_3 &= a_2+2 \cdot 2 \\ &= 9\end{aligned}

מציבים $n=2$

\begin{aligned}a_4 &= a_3+2 \cdot 3 \\ &= 15\end{aligned}

מציבים $n=3$

בכלל הזה יש גם $a_n$ וגם $n$ . כדי לחשב את $a_{n+1}$ מציבים את המקום של האיבר הקודם: את $a_4$ מקבלים מ- $n=3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

סדרה מוגדרת כך: $a_1=1$ , $a_{n+1}=3a_n-1$ . אלה ארבעת האיברים הראשונים שלה:

$1, 2, 5, 14$
$1, 2, 3, 4$
$2, 5, 14, 41$
$1, 3, 9, 27$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $1, 2, 5, 14$

הפתרון:

\begin{aligned}a_2 &= 3 \cdot 1-1 \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}a_3 &= 3 \cdot 2-1 \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}a_4 &= 3 \cdot 5-1 \\ &= 14\end{aligned}

התשובה: $1, 2, 5, 14$ . $2, 5, 14, 41$ מתחילה מ- $a_2$ ושוכחת את $a_1=1$ . $1, 3, 9, 27$ שוכחת את ה- $-1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הסדרה $a_n=n^2-6n$ . השלימו.

$a_1=$ ____ ; $a_3=$ ____ ; $a_6=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a_1=$ -5 ; $a_3=$ -9 ; $a_6=$ 0

הפתרון:

\begin{aligned}a_1 &= 1-6 \\ &= -5\end{aligned}

\begin{aligned}a_3 &= 9-18 \\ &= -9\end{aligned}

\begin{aligned}a_6 &= 36-36 \\ &= 0\end{aligned}

איבר של סדרה יכול להיות שלילי או אפס. רק המקום $n$ חייב להיות שלם וחיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

התאימו כל סימון לפירוש שלו.

$a_1$
$a_n$
$a_{n+1}$
$a_{n-1}$

האיבר במקום ה- $n$
האיבר הראשון
האיבר שאחרי $a_n$
האיבר שלפני $a_n$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a_1$ — האיבר הראשון · $a_n$ — האיבר במקום ה- $n$ · $a_{n+1}$ — האיבר שאחרי $a_n$ · $a_{n-1}$ — האיבר שלפני $a_n$

הפתרון:

a_1 ,\ a_2 ,\ \ldots ,\ a_{n-1} ,\ a_n ,\ a_{n+1}

האינדקס הוא המקום: הוא גדל ב- $1$ מאיבר לאיבר

המספר הקטן למטה הוא המקום. $a_{n+1}$ הוא מקום אחד אחרי $n$ , לא «האיבר ועוד $1$ ».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הסדרה $a_n=n^2-10n+30$ . המספר $9$ מופיע בסדרה פעמיים. מצאו את שני המקומות שלו.

המקום הקטן: $n=$ ____ ; המקום הגדול: $n=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המקום הקטן: $n=$ 3 ; המקום הגדול: $n=$ 7

הפתרון:

n^2-10n+30=9

משווים ל- $9$

\begin{aligned}n^2-10n+21 &= 0 \ \Rightarrow \ (n-3)(n-7) \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ריבועית

\begin{aligned}n &= 3 \\ \quad n &= 7\end{aligned}

שני הפתרונות שלמים וחיוביים: שניהם מקומות

אם אחד הפתרונות היה שלילי או שבר, היינו פוסלים אותו: הוא לא מקום בסדרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בסדרה $a_1=1$ , $a_{n+1}=2a_n+3$ חישבו שלושה איברים. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\begin{aligned}a_2 &= 2 \cdot 1+3 \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}a_3 &= 2 \cdot 3+3 \\ &= 9\end{aligned}

\begin{aligned}a_4 &= 2 \cdot 9+3 \\ &= 21\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a_3=2 \cdot 3+3=9$ → $a_3=2 \cdot 5+3=13$

הפתרון:

\begin{aligned}a_3 &= 2a_2+3 \\ &= 2 \cdot 5+3 \\ &= 13\end{aligned}

מציבים את האיבר $a_2=5$

\begin{aligned}a_4 &= 2 \cdot 13+3 \\ &= 29\end{aligned}

והשגיאה עוברת הלאה: גם $a_4$ משתנה

בשורה השנייה הציבו את המקום $3$ במקום את האיבר $a_2=5$ . בכלל נסיגה, טעות אחת הורסת את כל האיברים שאחריה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה הסדרה $a_n=7n+2$ . חשבו את ההפרש $a_{n+1}-a_n$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

\begin{aligned}a_{n+1} &= 7(n+1)+2 \\ &= 7n+9\end{aligned}

מציבים $n+1$ במקום $n$

\begin{aligned}a_{n+1}-a_n &= (7n+9)-(7n+2) \\ &= 7\end{aligned}

ההפרש לא תלוי ב- $n$ : הוא $7$ בכל צעד. לכן זו סדרה חשבונית, וכלל הנסיגה שלה הוא $a_{n+1}=a_n+7$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מיינו: איבר כללי או כלל נסיגה?

איבר כללי
כלל נסיגה

$a_{n+1}=2a_n ,\ a_1=2$
$a_{n+1}=a_n+3 ,\ a_1=4$
$a_n=\frac{n}{n+1}$
$a_n=2^n$
$a_n=3n+1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a_n=3n+1$ — איבר כללי · $a_{n+1}=a_n+3 ,\ a_1=4$ — כלל נסיגה · $a_n=2^n$ — איבר כללי · $a_{n+1}=2a_n ,\ a_1=2$ — כלל נסיגה · $a_n=\frac{n}{n+1}$ — איבר כללי

הפתרון:

\begin{aligned}a_n &= 3n+1: \ 4 \\ 7 \\ 10 \\ \ldots\end{aligned}

איבר כללי: מציבים $n$

\begin{aligned}a_1 &= 4 \\ \ a_{n+1} &= a_n+3: \ 4 \\ 7 \\ 10 \\ \ldots\end{aligned}

כלל נסיגה: מהאיבר הקודם

נוסחה עם $n$ בלבד היא איבר כללי. נוסחה ש- $a_{n+1}$ נשען בה על $a_n$ היא כלל נסיגה. שימו לב: $a_n=3n+1$ ו- $a_{n+1}=a_n+3, a_1=4$ הן אותה סדרה, בשתי הדרכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

דרך 1 — איבר כללי

דרך 2 — כלל נסיגה

איזו סדרה זו?

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev