סדרה חשבונית · סדרות · כיתה י״ב

בסדרה חשבונית מוסיפים בכל צעד אותו מספר. המספר הזה נקרא הפרש הסדרה, ומסמנים אותו $d$ .

$a_1=5$ ו- $d=4$ . כמה קפיצות יש מ- $a_1$ עד $a_6$ , ומהו $a_6$ ?

להציג את התשובה והפתרון

חמש קפיצות: $a_6=5+5 \cdot 4=25$ . מהמקום הראשון למקום ה- $n$ יש תמיד $n-1$ קפיצות.

האיבר הכללי

a_n=a_1+(n-1)d

$n-1$ הוא מספר הקפיצות. אם $d$ שלילי, הסדרה יורדת.

האיבר ה-20

בסדרה חשבונית $a_1=7$ ו- $d=3$ . מצאו את $a_{20}$ .

a_{20}=a_1+19d

$19$ קפיצות

=7+19 \cdot 3=64

בסדרה חשבונית $a_1=50$ ו- $d=-4$ . מהו $a_{13}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$a_{13}=50+12 \cdot (-4)=2$ . כש- $d$ שלילי, כל קפיצה מורידה.

האם המספר נמצא בסדרה?

אפשר לכתוב את האיבר הכללי בצורה $a_n=dn+(a_1-d)$ . למשל $a_1=7$ , $d=4$ נותן $a_n=4n+3$ .

למה $3$ לא בסדרה, אף על פי ש- $4 \cdot 0+3=3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כי יצא $n=0$ , והמקומות מתחילים ב- $1$ . האיבר הראשון הוא $a_1=7$ .

סכום של סדרה חשבונית

מחברים את האיבר הראשון לאחרון, את השני לאחד-לפני-האחרון... כל זוג נותן אותו סכום: $a_1+a_n$ .

S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}

כשיודעים את האיבר האחרון

S_n=\frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}

כשיודעים את ההפרש $d$

הסכום $3+7+11+\ldots+79$

חשבו את הסכום.

\begin{aligned}a_1 &= 3 \\ \quad d &= 4\end{aligned}

מזהים את הסדרה

\begin{aligned}3+(n-1) \cdot 4 &= 79 \ \Rightarrow \ n \\ &= 20\end{aligned}

קודם מוצאים כמה איברים יש

\begin{aligned}S_{20} &= \frac{20(3+79)}{2} \\ &= 820\end{aligned}

ורק אז הסכום

בסדרה חשבונית $a_1=2$ ו- $d=3$ . מהו $S_{10}$ , סכום עשרת האיברים הראשונים?

להציג את התשובה והפתרון

$S_{10}=\frac{10(2 \cdot 2+9 \cdot 3)}{2}=\frac{10 \cdot 31}{2}=155$ .

נתון האיבר האחרון? קודם מוצאים את $n$ מתוך $a_n=a_1+(n-1)d$ . בלי $n$ אין סכום.

שלוש טעויות שחוזרות.

a_{20}=a_1+20d

a_{20}=a_1+19d

מ- $a_1$ עד $a_{20}$ יש $19$ קפיצות, לא $20$ .

\begin{aligned}3 \\ 7 \\ \ldots \\ 79: \ n &= \frac{79-3}{4} \\ &= 19\end{aligned}

\begin{aligned}n &= \frac{79-3}{4}+1 \\ &= 20\end{aligned}

החילוק נותן את מספר הקפיצות. מספר האיברים גדול ממנו ב- $1$ .

S_n=\frac{(n-1)(a_1+a_n)}{2}

S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}

בסכום סופרים איברים ( $n$ ), לא קפיצות.

תרגילים

תרגיל 1

בסדרה חשבונית $a_1=12$ ו- $d=5$ . מצאו את $a_{30}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 157

הפתרון:

a_{30}=a_1+29d

=12+29 \cdot 5=157

מי שקיבל $162$ הכפיל ב- $30$ במקום ב- $29$ : יש $n-1$ קפיצות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בסדרה חשבונית $a_4=17$ ו- $a_9=42$ . מצאו את האיבר הראשון $a_1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}a_9-a_4 &= 5d \\ &= 25 \ \Rightarrow \ d \\ &= 5\end{aligned}

בין $a_4$ ל- $a_9$ יש חמש קפיצות

\begin{aligned}a_4 &= a_1+3d \ \Rightarrow \ 17 \\ &= a_1+15\end{aligned}

a_1=2

שתי משוואות, שני נעלמים. מי שחילק ב- $9-4+1=6$ ספר איברים במקום קפיצות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

כמה איברים יש בסדרה החשבונית $8, 11, 14, \ldots, 113$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

\begin{aligned}a_1 &= 8 \\ \quad d &= 3\end{aligned}

8+(n-1) \cdot 3=113

\begin{aligned}n-1 &= 35 \ \Rightarrow \ n \\ &= 36\end{aligned}

התשובה $35$ היא מספר הקפיצות. מוסיפים $1$ כדי לספור גם את האיבר הראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בסדרה חשבונית $a_1=4$ ו- $d=2$ . חשבו את $S_{25}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 700

הפתרון:

S_{25}=\frac{25(2 \cdot 4+24 \cdot 2)}{2}

=\frac{25 \cdot 56}{2}=700

בנוסחה $2a_1+(n-1)d$ מכפילים את $a_1$ ב- $2$ . מי ששכח קיבל $\frac{25 \cdot 52}{2}=650$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בסדרה $a_n=6n-5$ : מהו המקום של האיבר הראשון שגדול מ- $100$ ?

$19$
$17$
$18$
$103$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $18$

הפתרון:

6n-5>100 \ \Rightarrow \ n>17.5

אי-שוויון

\begin{aligned}n &= 18 \\ \quad a_{18} &= 103\end{aligned}

המספר השלם הראשון שגדול מ- $17.5$

התשובה: $18$ . $17$ נותן $a_{17}=97$ , שעוד לא עבר את $100$ . $103$ הוא האיבר, לא המקום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הסדרה $a_n=2-3n$ היא סדרה חשבונית שהפרשה $d=-3$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}a_{n+1}-a_n &= \left(2-3(n+1)\right)-(2-3n) \\ &= -3\end{aligned}

ההפרש קבוע

נכון. כל איבר כללי מהצורה $a_n=dn+c$ הוא סדרה חשבונית, והמקדם של $n$ הוא $d$ . כאן הסדרה יורדת: $-1, -4, -7, \ldots$

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בסדרה חשבונית $a_1=-20$ ו- $d=3$ . מצאו את האיבר החיובי הראשון.

המקום שלו: $n=$ ____ ; האיבר: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המקום שלו: $n=$ 8 ; האיבר: 1

הפתרון:

-20+(n-1) \cdot 3>0 \ \Rightarrow \ n-1>6.67

\begin{aligned}n-1 &= 7 \ \Rightarrow \ n \\ &= 8\end{aligned}

מספר הקפיצות חייב להיות שלם

\begin{aligned}a_8 &= -20+21 \\ &= 1 \\ \quad a_7 &= -2\end{aligned}

בדיקה: $a_7$ עוד שלילי

מי שעצר ב- $n=7$ קיבל $a_7=-2$ , שעוד שלילי. וגם $0$ אינו חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בסדרה חשבונית $a_1=3$ ו- $d=4$ . כמה איברים ראשונים צריך לחבר כדי שהסכום יהיה $210$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\begin{aligned}S_n &= \frac{n\left[6+4(n-1)\right]}{2} \\ &= n(2n+1)\end{aligned}

2n^2+n-210=0

משוואה ריבועית ב- $n$

\begin{aligned}n &= \frac{-1 \pm 41}{4} \ \Rightarrow \ n \\ &= 10\end{aligned}

הפתרון השלילי $-10.5$ נפסל

כש- $n$ הוא הנעלם בסכום, מקבלים משוואה ריבועית. פוסלים פתרון שלילי או לא שלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

חישבו את הסכום $5+9+13+\ldots+85$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

d=4

\begin{aligned}n &= \frac{85-5}{4} \\ &= 20\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{20(5+85)}{2} \\ &= 900\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $n=\frac{85-5}{4}=20$ → $n=\frac{85-5}{4}+1=21$

הפתרון:

\begin{aligned}5+(n-1) \cdot 4 &= 85 \ \Rightarrow \ n \\ &= 21\end{aligned}

\begin{aligned}S_{21} &= \frac{21 \cdot 90}{2} \\ &= 945\end{aligned}

הסכום הנכון

החילוק $\frac{85-5}{4}=20$ סופר קפיצות. יש $21$ איברים, והסכום $945$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חשבו את סכום כל המספרים הדו-ספרתיים שמתחלקים ב- $7$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 728

הפתרון:

14, 21, \ldots, 98

הראשון $14$ , האחרון $98$ , $d=7$

\begin{aligned}14+(n-1) \cdot 7 &= 98 \ \Rightarrow \ n \\ &= 13\end{aligned}

\begin{aligned}S_{13} &= \frac{13(14+98)}{2} \\ &= 728\end{aligned}

הדו-ספרתי הראשון שמתחלק ב- $7$ הוא $14$ , לא $7$ . והאחרון הוא $98$ , כי $105$ כבר תלת-ספרתי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

התאימו לכל נתון את הנוסחה שמתאימה לו.

נתונים $a_1$ , $d$ , ומבקשים איבר
נתונים $a_1$ , האיבר האחרון $a_n$ ו- $n$
נתונים $a_1$ , $d$ ו- $n$ , ומבקשים סכום
נתונים שני איברים $a_k$ ו- $a_m$

$a_m-a_k=(m-k)d$
$a_n=a_1+(n-1)d$
$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$
$S_n=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נתונים $a_1$ , $d$ , ומבקשים איבר — $a_n=a_1+(n-1)d$ · נתונים $a_1$ , האיבר האחרון $a_n$ ו- $n$ — $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ · נתונים $a_1$ , $d$ ו- $n$ , ומבקשים סכום — $S_n=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$ · נתונים שני איברים $a_k$ ו- $a_m$ — $a_m-a_k=(m-k)d$

הפתרון:

a_m-a_k=(m-k)d

בין $a_k$ ל- $a_m$ יש $m-k$ קפיצות

הנוסחה האחרונה היא הקיצור של שאלה $2$ : מחסרים שני איברים, ו- $a_1$ נעלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

בסדרה חשבונית $a_3+a_7=30$ . מצאו את $a_5$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

\begin{aligned}a_3 &= a_5-2d \\ \quad a_7 &= a_5+2d\end{aligned}

$a_5$ באמצע, שתי קפיצות מכל צד

\begin{aligned}a_3+a_7 &= 2a_5 \\ &= 30 \ \Rightarrow \ a_5 \\ &= 15\end{aligned}

לא צריך את $a_1$ ולא את $d$ . איבר אמצעי הוא הממוצע של שני איברים שרחוקים ממנו באותו מרחק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

האיבר הכללי

האם המספר נמצא בסדרה?

סכום של סדרה חשבונית

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev