סדרה הנדסית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בסדרה הנדסית כופלים בכל צעד באותו מספר. המספר הזה נקרא מנת הסדרה, ומסמנים אותו qq.

כמה גרגרים יש במשבצת ה-1010? ולמה המעריך הוא 99 ולא 1010?

להציג את התשובה והפתרון

a10=1⋅29=512a_{10}=1 \cdot 2^9=512. מהמשבצת הראשונה עד העשירית יש תשע הכפלות, כמו תשע הקפיצות בסדרה חשבונית.

האיבר הכללי

an=a1⋅qn−1a_n=a_1 \cdot q^{n-1}
3162123244485×2×2×2×2…
הסדרה 3,6,12,24,48,…3, 6, 12, 24, 48, \ldots: כל חץ הוא ×2\times 2. מהמקום הראשון למקום החמישי יש ארבעה חיצים: a5=3⋅24=48a_5=3 \cdot 2^4=48.

האיבר השישי

בסדרה הנדסית a1=5a_1=5 ו-q=3q=3. מצאו את a6a_6.

a6=a1⋅q5a_6=a_1 \cdot q^5

חמש הכפלות

=5⋅243=1215=5 \cdot 243=1215

בסדרה הנדסית a1=64a_1=64 ו-q=12q=\frac{1}{2}. מהו a7a_7?

להציג את התשובה והפתרון

a7=64⋅(12)6=6464=1a_7=64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{64}{64}=1. כש-0<q<10<q<1 הסדרה יורדת.

מוצאים את q ואת n

מחלקים איבר באיבר שלפניו: q=an+1anq=\frac{a_{n+1}}{a_n}. ומשני איברים רחוקים: a7a4=q3\frac{a_7}{a_4}=q^3.

נתונים שני איברים

בסדרה הנדסית a2=6a_2=6 ו-a5=162a_5=162. מצאו את qq ואת a1a_1.

a5a2=q3=1626=27\begin{aligned}\frac{a_5}{a_2} &= q^3 \\ &= \frac{162}{6} \\ &= 27\end{aligned}

בין a2a_2 ל-a5a_5 שלוש הכפלות

q=3q=3

שורש שלישי של 2727

a1=a2q=63=2\begin{aligned}a_1 &= \frac{a_2}{q} \\ &= \frac{6}{3} \\ &= 2\end{aligned}

כשהנעלם הוא nn, הוא נמצא במעריך. פותרים בעזרת לוגריתם, כמו בפרק הלוגריתמים.

האיבר הראשון שעובר את 10,000

בסדרה an=3⋅2n−1a_n=3 \cdot 2^{n-1}: מהו המקום של האיבר הראשון שגדול מ-10,00010{,}000?

3⋅2n−1>10000 ⇒ 2n−1>3333.33 \cdot 2^{n-1}>10000 \ \Rightarrow \ 2^{n-1}>3333.3

מבודדים את החזקה

n−1>log⁡3333.3log⁡2≈11.70n-1>\frac{\log 3333.3}{\log 2} \approx 11.70

מוציאים לוגריתם משני האגפים

n−1=12 ⇒ n=13\begin{aligned}n-1 &= 12 \ \Rightarrow \ n \\ &= 13\end{aligned}

השלם הראשון

a12=6144a13=12288\begin{aligned}a_{12} &= 6144 \\ \quad a_{13} &= 12288\end{aligned}

בדיקה בשני הצדדים ✓

סכום של סדרה הנדסית

Sn=a1(qn−1)q−1q≠1S_n=\frac{a_1\left(q^n-1\right)}{q-1} \qquad q \neq 1

כמה גרגרים יש בסך הכול בעשר המשבצות הראשונות?

להציג את התשובה והפתרון

S10=1⋅(210−1)2−1=1023S_{10}=\frac{1 \cdot (2^{10}-1)}{2-1}=1023. שימו לב: זה פחות אחד מהמשבצת ה-1111, 210=10242^{10}=1024.

שלוש טעויות בנוסחאות של סדרה הנדסית.

an=a1⋅qna_n=a_1 \cdot q^n
an=a1⋅qn−1a_n=a_1 \cdot q^{n-1}

יש n−1n-1 הכפלות, כמו n−1n-1 קפיצות.

an=(a1⋅q)n−1a_n=(a_1 \cdot q)^{n-1}
an=a1⋅qn−1a_n=a_1 \cdot q^{n-1}

החזקה חלה רק על qq.

54−186: q=3\begin{aligned}54 \\ -18 \\ 6: \ q &= 3\end{aligned}
q=−13q=-\frac{1}{3}

מחלקים אחרי בלפני: −1854=−13\frac{-18}{54}=-\frac{1}{3}, עם הסימן.

תרגילים

תרגיל 1

בסדרה הנדסית a1=2a_1=2 ו-q=3q=3. מצאו את a6a_6.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 486

הפתרון:

a6=2⋅35a_6=2 \cdot 3^5
=2⋅243=486=2 \cdot 243=486

מי שקיבל 14581458 חישב 2⋅362 \cdot 3^6: יש חמש הכפלות, לא שש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בסדרה הנדסית a3=12a_3=12 ו-a6=96a_6=96. מצאו את a1a_1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

a6a3=q3=8 ⇒ q=2\begin{aligned}\frac{a_6}{a_3} &= q^3 \\ &= 8 \ \Rightarrow \ q \\ &= 2\end{aligned}
a3=a1q2 ⇒ 12=4a1 ⇒ a1=3\begin{aligned}a_3 &= a_1 q^2 \ \Rightarrow \ 12 \\ &= 4a_1 \ \Rightarrow \ a_1 \\ &= 3\end{aligned}

בסדרה הנדסית מחלקים שני איברים כדי למצוא את qq. מי שחיסר 96−1296-12 השתמש בכלי של סדרה חשבונית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חשבו את הסכום 1+3+9+…1+3+9+\ldots של שמונת האיברים הראשונים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3280

הפתרון:

a1=1q=3n=8\begin{aligned}a_1 &= 1 \\ \quad q &= 3 \\ \quad n &= 8\end{aligned}
S8=38−13−1=65602=3280\begin{aligned}S_8 &= \frac{3^8-1}{3-1} \\ &= \frac{6560}{2} \\ &= 3280\end{aligned}

האיבר השמיני הוא 37=21873^7=2187, וסכום שמונת האיברים הוא 32803280. אל תבלבלו בין איבר לסכום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהי מנת הסדרה ההנדסית 54,−18,6,…54, -18, 6, \ldots?

  1. 33
  2. −3-3
  3. 13\frac{1}{3}
  4. −13-\frac{1}{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד −13-\frac{1}{3}

הפתרון:

q=a2a1=−1854=−13\begin{aligned}q &= \frac{a_2}{a_1} \\ &= \frac{-18}{54} \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}
6⋅(−13)=−26 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=-2

האיבר הבא: הסימנים מתחלפים

התשובה: −13-\frac{1}{3}. −3-3 מחלקת a1a_1 ב-a2a_2 — הפוך. 13\frac{1}{3} שוכחת את הסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

המספרים 2,6,18,362, 6, 18, 36 הם ארבעה איברים עוקבים של סדרה הנדסית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

62=3186=33618=2\begin{aligned}\frac{6}{2} &= 3 \\ \quad \frac{18}{6} &= 3 \\ \quad \frac{36}{18} &= 2\end{aligned}

המנות לא שוות

לא נכון. שלוש מנות צריכות להיות שוות. שתי מנות שוות בהתחלה עוד לא מוכיחות שזו סדרה הנדסית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בסדרה ההנדסית 5,10,20,…5, 10, 20, \ldots: באיזה מקום נמצא האיבר 51205120?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

5⋅2n−1=51205 \cdot 2^{n-1}=5120
2n−1=1024=210\begin{aligned}2^{n-1} &= 1024 \\ &= 2^{10}\end{aligned}
n−1=10 ⇒ n=11\begin{aligned}n-1 &= 10 \ \Rightarrow \ n \\ &= 11\end{aligned}

המעריך הוא n−1n-1, ולכן n=11n=11 ולא 1010.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בסדרה הנדסית a1=4a_1=4 ו-q=1.5q=1.5. מהו nn הקטן ביותר שעבורו an>1000a_n>1000?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

4⋅1.5n−1>1000 ⇒ 1.5n−1>2504 \cdot 1.5^{n-1}>1000 \ \Rightarrow \ 1.5^{n-1}>250
n−1>log⁡250log⁡1.5≈13.62n-1>\frac{\log 250}{\log 1.5} \approx 13.62

לוגריתם; 1.5>11.5>1 ולכן הכיוון נשמר

n−1=14 ⇒ n=15\begin{aligned}n-1 &= 14 \ \Rightarrow \ n \\ &= 15\end{aligned}
a14≈778,a15≈1168a_{14} \approx 778 ,\quad a_{15} \approx 1168

בדיקה ✓

מי שעיגל את 13.6213.62 ל-1414 וענה n=14n=14 שכח שהמעריך הוא n−1n-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בסדרה הנדסית a1=6a_1=6 ו-q=12q=\frac{1}{2}. השלימו (אפשר לכתוב מספר עשרוני).

a4=a_4= ____ ; S4=S_4= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: a4=a_4= 0.75 ; S4=S_4= 11.25

הפתרון:

a4=6⋅(12)3=68=0.75\begin{aligned}a_4 &= 6 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^3 \\ &= \frac{6}{8} \\ &= 0.75\end{aligned}
S4=6((12)4−1)12−1=6⋅(−1516)−12=11.25\begin{aligned}S_4 &= \frac{6\left(\left(\frac{1}{2}\right)^4-1\right)}{\frac{1}{2}-1} \\ &= \frac{6 \cdot \left(-\frac{15}{16}\right)}{-\frac{1}{2}} \\ &= 11.25\end{aligned}
6+3+1.5+0.75=11.256+3+1.5+0.75=11.25

בדיקה בחיבור ישיר ✓

כש-q<1q<1 גם המונה וגם המכנה בנוסחת הסכום שליליים, והסכום יוצא חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בסדרה הנדסית a1=3a_1=3 ו-q=2q=2. כמה איברים ראשונים צריך לחבר כדי לקבל 765765?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

3(2n−1)2−1=765\frac{3(2^n-1)}{2-1}=765
2n−1=255 ⇒ 2n=256\begin{aligned}2^n-1 &= 255 \ \Rightarrow \ 2^n \\ &= 256\end{aligned}
n=8n=8

בנוסחת הסכום המעריך הוא nn, לא n−1n-1. מי שכתב 2n−1=2562^{n-1}=256 קיבל 99.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בסדרה הנדסית a1=2a_1=2, q=3q=3 חישבו את a5a_5. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

an=a1⋅qn−1a_n=a_1 \cdot q^{n-1}
a5=2⋅35a_5=2 \cdot 3^5
=2⋅243=486=2 \cdot 243=486
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: a5=2⋅35a_5=2 \cdot 3^5 → a5=2⋅34=162a_5=2 \cdot 3^4=162

הפתרון:

a5=2⋅34=2⋅81=162\begin{aligned}a_5 &= 2 \cdot 3^4 \\ &= 2 \cdot 81 \\ &= 162\end{aligned}

ארבע הכפלות

הנוסחה נכונה, אבל בהצבה כתבו q5q^5 במקום q5−1q^{5-1}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

בסדרה הנדסית שכל איבריה חיוביים a2=10a_2=10 ו-a4=40a_4=40. חשבו את S6S_6.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 315

הפתרון:

q2=4010=4 ⇒ q=2\begin{aligned}q^2 &= \frac{40}{10} \\ &= 4 \ \Rightarrow \ q \\ &= 2\end{aligned}

האיברים חיוביים, ולכן q=2q=2 ולא −2-2

a1=102=5\begin{aligned}a_1 &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}
S6=5(26−1)2−1=315\begin{aligned}S_6 &= \frac{5(2^6-1)}{2-1} \\ &= 315\end{aligned}

בלי הנתון «כל איבריה חיוביים», גם q=−2q=-2 אפשרי: −5,10,−20,40,…-5, 10, -20, 40, \ldots וסכום אחר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת