סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מפילים כדור מגובה 400400 ס״מ. אחרי כל פגיעה ברצפה הוא עולה לחצי מהגובה הקודם. האם הכדור יעבור מרחק אינסופי?

יש אינסוף קפיצות. האם סכום הגבהים 200+100+50+…200+100+50+\ldots גדל בלי סוף?

להציג את התשובה והפתרון

לא. כל קפיצה סוגרת חצי מהמרחק שנשאר עד 400400. הסכום מתקרב ל-400400, ואף פעם לא עובר אותו.

הסכומים החלקיים

SnS_n הוא הסכום של nn האיברים הראשונים. בסדרה 6+3+1.5+…6+3+1.5+\ldots נצייר את S1,S2,S3,…S_1, S_2, S_3, \ldots

הסכומים החלקיים של 6+3+1.5+…6+3+1.5+\ldots
120123456789024681012nS
S1=6S_1=6, S2=9S_2=9, S3=10.5S_3=10.5... הנקודות מתקרבות לקו 1212 ולא מגיעות אליו. המספר 1212 הוא סכום הסדרה האינסופית.

הנוסחה

S=a11−q−1<q<1S=\frac{a_1}{1-q} \qquad -1<q<1

למה? כש-∣q∣<1|q|<1, החזקה qnq^n קטנה ומתקרבת ל-00. בנוסחה Sn=a1(1−qn)1−qS_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} נשאר a11−q\frac{a_1}{1-q}.

סדרה כזו נקראת סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת. כש-∣q∣≥1|q| \geq 1 אין סכום.

q=12q=\frac{1}{2}

מתכנסת: האיברים קטנים

q=−12q=-\frac{1}{2}

מתכנסת: הסימנים מתחלפים, והאיברים קטנים

q=1q=1

לא מתכנסת: 5+5+5+…5+5+5+\ldots

q=−1q=-1

לא מתכנסת: 5−5+5−…5-5+5-\ldots

q=2q=2

לא מתכנסת: האיברים גדלים

סכום עם q שלילי

חשבו את הסכום 9−3+1−13+…9-3+1-\frac{1}{3}+\ldots

a1=9q=−13\begin{aligned}a_1 &= 9 \\ \quad q &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

∣q∣<1|q|<1 ✓

S=91−(−13)=943\begin{aligned}S &= \frac{9}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)} \\ &= \frac{9}{\frac{4}{3}}\end{aligned}

מציבים את qq עם הסימן

=274=6.75=\frac{27}{4}=6.75

מהו סכום הסדרה ההנדסית האינסופית שבה a1=20a_1=20 ו-q=0.2q=0.2?

להציג את התשובה והפתרון

S=201−0.2=200.8=25S=\frac{20}{1-0.2}=\frac{20}{0.8}=25.

מוצאים את a₁ או את q מתוך הסכום

נתון הסכום ונתונה המנה

סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא 3636, ו-q=23q=\frac{2}{3}. מצאו את a1a_1.

a11−23=36\frac{a_1}{1-\frac{2}{3}}=36
a1=36⋅13=12\begin{aligned}a_1 &= 36 \cdot \frac{1}{3} \\ &= 12\end{aligned}

נתון הסכום ונתון האיבר הראשון

סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא 4040, ו-a1=10a_1=10. מצאו את qq.

101−q=40 ⇒ 1−q=14\begin{aligned}\frac{10}{1-q} &= 40 \ \Rightarrow \ 1-q \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}
q=34q=\frac{3}{4}

∣q∣<1|q|<1 ✓: התשובה אפשרית

המרחק של הכדור

הכדור מההתחלה נופל מ-400400 ס״מ, ואז עולה ויורד. איזה מרחק יעבור בסך הכול?

400400

הנפילה הראשונה: פעם אחת

2⋅(200+100+50+…)2 \cdot (200+100+50+\ldots)

כל גובה אחר: פעמיים, למעלה ולמטה

400+2⋅2001−12=400+800=1200\begin{aligned}400+2 \cdot \frac{200}{1-\frac{1}{2}} &= 400+800 \\ &= 1200\end{aligned}

התשובה: 12001200 ס״מ

לפני שמציבים ב-a11−q\frac{a_1}{1-q}: בודקים ש-∣q∣<1|q|<1. וכשמוצאים qq מתוך סכום, בודקים שוב בסוף.

שלוש טעויות של הסכום האינסופי.

3+6+12+…: S=31−2=−3\begin{aligned}3+6+12+\ldots: \ S &= \frac{3}{1-2} \\ &= -3\end{aligned}
q=2: אין סכוםq=2: \ \text{אין סכום}

סכום של מספרים חיוביים לא יכול לצאת שלילי. ∣q∣>1|q|>1, ולכן אין סכום.

q=−12: S=a11−12\begin{aligned}q &= -\tfrac{1}{2}: \ S \\ &= \frac{a_1}{1-\frac{1}{2}}\end{aligned}
S=a11+12S=\frac{a_1}{1+\frac{1}{2}}

1−q=1−(−12)=321-q=1-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}. מינוס כפול מינוס.

an=5⋅(12)n: a1=5\begin{aligned}a_n &= 5 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^n: \ a_1 \\ &= 5\end{aligned}
a1=52a_1=\frac{5}{2}

מציבים n=1n=1 באיבר הכללי. אל תניחו שהמקדם הוא a1a_1.

תרגילים

תרגיל 1

חשבו את הסכום 12+4+43+…12+4+\frac{4}{3}+\ldots

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

a1=12q=412=13\begin{aligned}a_1 &= 12 \\ \quad q &= \frac{4}{12} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}
S=121−13=1223=18\begin{aligned}S &= \frac{12}{1-\frac{1}{3}} \\ &= \frac{12}{\frac{2}{3}} \\ &= 18\end{aligned}

חלוקה בשבר היא כפל בהפוך: 12⋅32=1812 \cdot \frac{3}{2}=18. מי שקיבל 88 כפל ב-23\frac{2}{3} במקום לחלק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו את הסכום 15−5+53−…15-5+\frac{5}{3}-\ldots (אפשר לכתוב מספר עשרוני).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11.25

הפתרון:

q=−515=−13\begin{aligned}q &= \frac{-5}{15} \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}
S=151+13=1543=454=11.25\begin{aligned}S &= \frac{15}{1+\frac{1}{3}} \\ &= \frac{15}{\frac{4}{3}} \\ &= \frac{45}{4} \\ &= 11.25\end{aligned}

מי שקיבל 22.522.5 הציב 1−131-\frac{1}{3}: שכח את הסימן של qq.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

לסדרה ההנדסית האינסופית 1+1.1+1.21+…1+1.1+1.21+\ldots יש סכום סופי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

q=1.11=1.1>1\begin{aligned}q &= \frac{1.1}{1} \\ &= 1.1>1\end{aligned}

לא נכון. q=1.1q=1.1, והאיברים גדלים. הנוסחה הייתה נותנת 11−1.1=−10\frac{1}{1-1.1}=-10: מספר שלילי, סימן שאסור היה להציב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא 5050, ו-q=0.6q=0.6. מצאו את a1a_1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

a11−0.6=50\frac{a_1}{1-0.6}=50
a1=50⋅0.4=20\begin{aligned}a_1 &= 50 \cdot 0.4 \\ &= 20\end{aligned}

מכפילים את הסכום ב-1−q1-q, לא ב-qq. מי שקיבל 3030 חישב 50⋅0.650 \cdot 0.6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא 2424, והאיבר הראשון הוא 1818. מצאו את qq.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

181−q=24 ⇒ 1−q=1824=34\begin{aligned}\frac{18}{1-q} &= 24 \ \Rightarrow \ 1-q \\ &= \frac{18}{24} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}
q=14=0.25\begin{aligned}q &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

∣q∣<1|q|<1 ✓

מי שענה 0.750.75 מצא את 1−q1-q, ולא את qq.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

לאיזו מנה qq יש לסדרה ההנדסית האינסופית סכום?

  1. q=1.2q=1.2
  2. q=−0.8q=-0.8
  3. q=1q=1
  4. q=−1.5q=-1.5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב q=−0.8q=-0.8

הפתרון:

∣−0.8∣=0.8<1|-0.8|=0.8<1

רק כאן

התשובה: q=−0.8q=-0.8. מנה שלילית לא מפריעה, כל עוד ∣q∣<1|q|<1. ב-q=1q=1 מחברים אותו מספר בלי סוף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

כתבו את 0.777…0.777\ldots כסכום 0.7+0.07+0.007+…0.7+0.07+0.007+\ldots, ומצאו אותו כשבר פשוט.

  1. 97\frac{9}{7}
  2. 77100\frac{77}{100}
  3. 710\frac{7}{10}
  4. 79\frac{7}{9}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 79\frac{7}{9}

הפתרון:

a1=0.7q=0.1\begin{aligned}a_1 &= 0.7 \\ \quad q &= 0.1\end{aligned}
S=0.71−0.1=0.70.9=79\begin{aligned}S &= \frac{0.7}{1-0.1} \\ &= \frac{0.7}{0.9} \\ &= \frac{7}{9}\end{aligned}

התשובה: 79\frac{7}{9}. 710\frac{7}{10} הוא רק האיבר הראשון, ו-77100\frac{77}{100} רק שני האיברים הראשונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בסדרה הנדסית אינסופית יורדת a2=6a_2=6, וסכום הסדרה הוא 3232. ידוע ש-q>12q>\frac{1}{2}. מצאו את qq ואת a1a_1.

q=q= ____ ; a1=a_1= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: q=q= 0.75 ; a1=a_1= 8

הפתרון:

a1q=6a11−q=32\begin{aligned}a_1 q &= 6 \\ \quad \frac{a_1}{1-q} &= 32\end{aligned}

שתי משוואות

32(1−q)q=6 ⇒ 16q2−16q+3=0\begin{aligned}32(1-q)q &= 6 \ \Rightarrow \ 16q^2-16q+3 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים a1=32(1−q)a_1=32(1-q)

q=14 או q=34\begin{aligned}q &= \frac{1}{4} \ \text{או} \ q \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}
q=34 ⇒ a1=634=8\begin{aligned}q &= \frac{3}{4} \ \Rightarrow \ a_1 \\ &= \frac{6}{\frac{3}{4}} \\ &= 8\end{aligned}

לפי הנתון q>12q>\frac{1}{2}

לשני הפתרונות יש סדרה אמיתית: גם 24+6+1.5+…24+6+1.5+\ldots מתכנסת ל-3232. רק הנתון q>12q>\frac{1}{2} בוחר ביניהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כדור נופל מגובה 66 מטר. אחרי כל פגיעה ברצפה הוא עולה ל-23\frac{2}{3} מהגובה הקודם. איזה מרחק (במטרים) יעבור הכדור בסך הכול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

6⋅23=46 \cdot \frac{2}{3}=4

הגובה של הקפיצה הראשונה

4+83+…=41−23=12\begin{aligned}4+\frac{8}{3}+\ldots &= \frac{4}{1-\frac{2}{3}} \\ &= 12\end{aligned}

סכום כל הגבהים

6+2⋅12=306+2 \cdot 12=30

כל גובה נספר פעמיים: למעלה ולמטה

מי שענה 1818 ספר את הקפיצות רק פעם אחת. מי שענה 3636 ספר גם את הנפילה הראשונה פעמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חישבו את הסכום 8−4+2−…8-4+2-\ldots. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

q=−48=−12\begin{aligned}q &= \frac{-4}{8} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}
S=81−12=16\begin{aligned}S &= \frac{8}{1-\frac{1}{2}} \\ &= 16\end{aligned}
∣q∣<1|q|<1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: S=81−12=16S=\frac{8}{1-\frac{1}{2}}=16 → S=81+12=163S=\frac{8}{1+\frac{1}{2}}=\frac{16}{3}

הפתרון:

1−q=1−(−12)=32\begin{aligned}1-q &= 1-\left(-\tfrac{1}{2}\right) \\ &= \tfrac{3}{2}\end{aligned}
S=832=163\begin{aligned}S &= \frac{8}{\frac{3}{2}} \\ &= \frac{16}{3}\end{aligned}

הציבו qq בלי הסימן. 1616 הוא הסכום של 8+4+2+…8+4+2+\ldots, עם כל האיברים חיוביים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונה הסדרה an=5⋅(12)na_n=5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n, n≥1n \geq 1. חשבו את סכום כל איבריה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

a1=5⋅12=52q=12\begin{aligned}a_1 &= 5 \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{5}{2} \\ \quad q &= \frac{1}{2}\end{aligned}

מציבים n=1n=1

S=521−12=5\begin{aligned}S &= \frac{\frac{5}{2}}{1-\frac{1}{2}} \\ &= 5\end{aligned}

מי שענה 1010 לקח a1=5a_1=5. במעריך כתוב nn ולא n−1n-1, ולכן 55 הוא לא האיבר הראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

בסדרה 8+4+2+…8+4+2+\ldots הסכום האינסופי הוא 1616. מהו nn הקטן ביותר שעבורו Sn>15.9S_n>15.9?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

Sn=16(1−(12)n)>15.9S_n=16\left(1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^n\right)>15.9

סכום חלקי

(12)n<1160 ⇒ 2n>160\left(\tfrac{1}{2}\right)^n<\frac{1}{160} \ \Rightarrow \ 2^n>160

הופכים: כיוון אי-השוויון מתהפך

n>log⁡160log⁡2≈7.32 ⇒ n=8n>\frac{\log 160}{\log 2} \approx 7.32 \ \Rightarrow \ n=8
S7=15.875S8=15.9375\begin{aligned}S_7 &= 15.875 \\ \quad S_8 &= 15.9375\end{aligned}

בדיקה ✓

כשהופכים שבר באי-שוויון, הכיוון מתהפך. מי שלא הפך קיבל n<7.32n<7.32, וזה לא הגיוני: סכום גדל כש-nn גדל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת