תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות מכל הפרק, מהקלה לקשה. בכל שאלה מחליטים לבד: איזה וקטור, ואיזו נוסחה.

תרגילים

תרגיל 1

בתיבה שבסרטוט AA בראשית, AB=3AB=3, AD=6AD=6, AA′=4AA'=4. מהם שיעורי CC?

  1. (6, 3, 0)(6,\,3,\,0)
  2. (3, 6, 4)(3,\,6,\,4)
  3. (3, 6, 0)(3,\,6,\,0)
  4. (0, 6, 0)(0,\,6,\,0)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג (3, 6, 0)(3,\,6,\,0)

הפתרון:

C=(3, 6, 0)C=(3,\,6,\,0)

קודקוד של הבסיס

CC בבסיס, ולכן z=0z=0. (3, 6, 4)(3,\,6,\,4) הוא C′C'.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מצאו את המרחק בין A(2, −3, 5)A(2,\,-3,\,5) ל-B(−1, 1, 5)B(-1,\,1,\,5).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

AB→=(−3, 4, 0)\overrightarrow{AB}=(-3,\,4,\,0)
∣AB→∣=9+16+0=5\begin{aligned}|\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{9+16+0} \\ &= 5\end{aligned}

רכיב אפס לא משנה את האורך. המרחק הוא האורך של AB→\overrightarrow{AB}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

u‾=(1, −2, 2)\underline{u}=(1,\,-2,\,2), v‾=(2, 1, 0)\underline{v}=(2,\,1,\,0). מצאו את 3u‾−2v‾3\underline{u}-2\underline{v}.

הרכיב הראשון: ____ ; השני: ____ ; השלישי: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הרכיב הראשון: -1 ; השני: -8 ; השלישי: 6

הפתרון:

3u‾=(3, −6, 6)2v‾=(4, 2, 0)\begin{aligned}3\underline{u} &= (3,\,-6,\,6) \\ \quad 2\underline{v} &= (4,\,2,\,0)\end{aligned}
3u‾−2v‾=(−1, −8, 6)3\underline{u}-2\underline{v}=(-1,\,-8,\,6)

קודם הכפל בסקלר, אחר כך החיסור. −6−2=−8-6-2=-8.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הווקטורים (4, −1, 2)(4,\,-1,\,2) ו-(1, 2, −1)(1,\,2,\,-1) מאונכים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

4−2−2=04-2-2=0

מכפלה סקלרית אפס: מאונכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מצאו את הזווית בין u‾=(2, 2, 1)\underline{u}=(2,\,2,\,1) ל-v‾=(0, 3, 4)\underline{v}=(0,\,3,\,4). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 48.19

הפתרון:

u‾⋅v‾=0+6+4=10∣u‾∣=3∣v‾∣=5\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 0+6+4 \\ &= 10 \\ \quad |\underline{u}| &= 3 \\ \quad |\underline{v}| &= 5\end{aligned}
cos⁡α=1015=23 ⇒ α≈48.19∘\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{10}{15} \\ &= \frac{2}{3} \ \Rightarrow \ \alpha\approx 48.19^\circ\end{aligned}

מחלקים במכפלת שני האורכים: 3⋅5=153\cdot 5=15.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הווקטור (−3, k, 3)(-3,\,k,\,3) מקביל ל-(1, −2, −1)(1,\,-2,\,-1). מצאו את kk.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

x: t=−3z: 3=−3⋅(−1) ✓\begin{aligned}x:\ t &= -3 \qquad z:\ 3 \\ &= -3\cdot(-1)\ \checkmark\end{aligned}
k=−3⋅(−2)=6\begin{aligned}k &= -3\cdot(-2) \\ &= 6\end{aligned}

t=−3t=-3: כיוונים הפוכים. מינוס כפול מינוס: k=6k=6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון משולש A(0, 2, 1)A(0,\,2,\,1), B(3, 2, 5)B(3,\,2,\,5), C(0, 7, 1)C(0,\,7,\,1). חשבו את השטח שלו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12.5

הפתרון:

AB→=(3, 0, 4)AC→=(0, 5, 0)\begin{aligned}\overrightarrow{AB} &= (3,\,0,\,4) \\ \quad \overrightarrow{AC} &= (0,\,5,\,0)\end{aligned}
AB→⋅AC→=0\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0

זווית ישרה ב-AA

S=12⋅5⋅5=12.5\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 5 \\ &= 12.5\end{aligned}

כשהמכפלה אפס, המשולש ישר-זווית, והשטח הוא חצי מכפלת הניצבים. כדאי לבדוק את זה קודם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

u‾=(1, 0, 2)\underline{u}=(1,\,0,\,2), v‾=(0, 2, 1)\underline{v}=(0,\,2,\,1). הביעו את w‾=(3, −4, 4)\underline{w}=(3,\,-4,\,4) בצורה αu‾+βv‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}.

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: α=\alpha= 3 ; β=\beta= -2

הפתרון:

x: α=3y: 2β=−4 ⇒ β=−2\begin{aligned}x:\ \alpha &= 3 \qquad y:\ 2\beta \\ &= -4 \ \Rightarrow \ \beta \\ &= -2\end{aligned}
z: 2⋅3+(−2)=4 ✓z:\ 2\cdot 3+(-2)=4\ \checkmark

הבדיקה ברכיב השלישי היא חלק מהפתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בפירמידה SABCDSABCD שבסרטוט הבסיס ריבוע: A(0, 0, 0)A(0,\,0,\,0), B(4, 0, 0)B(4,\,0,\,0), C(4, 4, 0)C(4,\,4,\,0), D(0, 4, 0)D(0,\,4,\,0), S(2, 2, 6)S(2,\,2,\,6). מצאו את גודל הזווית ASCASC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50.48

הפתרון:

SA→=(−2, −2, −6)SC→=(2, 2, −6)\begin{aligned}\overrightarrow{SA} &= (-2,\,-2,\,-6) \\ \quad \overrightarrow{SC} &= (2,\,2,\,-6)\end{aligned}
SA→⋅SC→=−4−4+36=28\begin{aligned}\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SC} &= -4-4+36 \\ &= 28\end{aligned}
cos⁡∢ASC=2844 ⇒ ≈50.48∘\cos\sphericalangle ASC=\frac{28}{44} \ \Rightarrow \ \approx 50.48^\circ

∣SA→∣=∣SC→∣=44|\overrightarrow{SA}|=|\overrightarrow{SC}|=\sqrt{44}

הקודקוד הוא SS: שני הווקטורים יוצאים ממנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

באותה פירמידה, חשבו את הנפח.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

SABCD=16h=6\begin{aligned}S_{ABCD} &= 16 \\ \quad h &= 6\end{aligned}
V=13⋅16⋅6=32\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 16\cdot 6 \\ &= 32\end{aligned}

הגובה הוא שיעור ה-zz של SS, ולא ∣SA→∣=44|\overrightarrow{SA}|=\sqrt{44}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת