סדרה 3 — ברמת בגרות · וקטורים במערכת צירים במרחב · כיתה י״ב

שתי שאלות בנוסח שאלה 2 של הבגרות. כל שאלה היא גוף אחד, וכל סעיף שלו הוא תרגיל נפרד. הנתונים והסרטוט מופיעים מעל הסעיף.

כמו בבחינה: סעיף א גאומטרי ( $\underline{u}$ , $\underline{v}$ , $\underline{w}$ ), ומהסעיף שבו נותנים שיעורים עוברים להצגה אלגברית. כל סעיף משתמש בסעיפים שלפניו.

תרגילים

תרגיל 1

א. הביעו את $\overrightarrow{FE}$ באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ו- $\underline{w}$ .

$-\underline{u}-\frac{1}{2}\underline{v}+\underline{w}$
$-\frac{1}{3}\underline{u}-\frac{1}{6}\underline{v}+\underline{w}$
$\frac{2}{3}\underline{u}+\frac{2}{3}\underline{v}+\underline{w}$
$-\frac{1}{3}\underline{u}+\frac{1}{6}\underline{v}+\underline{w}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $-\frac{1}{3}\underline{u}+\frac{1}{6}\underline{v}+\underline{w}$

הפתרון:

\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'E}

שרשרת מ- $F$ ל- $E$

=-\frac{1}{2}\underline{v}-\underline{u}+\underline{w}+\frac{2}{3}(\underline{u}+\underline{v})

$\overrightarrow{A'C'}=\underline{u}+\underline{v}$

=-\frac{1}{3}\underline{u}+\frac{1}{6}\underline{v}+\underline{w}

$-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{1}{6}$

מי שבחר $\frac{2}{3}\underline{u}+\frac{2}{3}\underline{v}+\underline{w}$ מצא את $\overrightarrow{AE}$ : הוא התחיל ב- $A$ ולא ב- $F$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ב. נתון: $A(0,\,0,\,0)$ , $B(6,\,0,\,0)$ , $D(0,\,6,\,0)$ , $A'(0,\,0,\,4)$ . מצאו את ההצגה האלגברית של $\overrightarrow{FE}$ .

הרכיב הראשון: ____ ; השני: ____ ; השלישי: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הרכיב הראשון: -2 ; השני: 1 ; השלישי: 4

הפתרון:

-\frac{1}{3}(6,\,0,\,0)+\frac{1}{6}(0,\,6,\,0)+(0,\,0,\,4)=(-2,\,1,\,4)

מציבים בסעיף א

\begin{aligned}F(6,\,3,\,0) \\ \ E(4,\,4,\,4) \ \Rightarrow \ E-F &= (-2,\,1,\,4)\ \checkmark\end{aligned}

בדיקה בשיעורים

שתי הדרכים נותנות אותו וקטור. אם הן לא מסכימות, יש טעות באחת מהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ג. מצאו את האורך של $\overrightarrow{FE}$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.58

הפתרון:

\begin{aligned}|\overrightarrow{FE}| &= \sqrt{4+1+16} \\ &= \sqrt{21}\approx 4.58\end{aligned}

מעלים בריבוע גם את הרכיב השלילי: $(-2)^2=4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ד. מצאו את הזווית בין $\overrightarrow{FE}$ לבין המקצוע $AA'$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 29.21

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{FE}\cdot\underline{w} &= (-2)\cdot 0+1\cdot 0+4\cdot 4 \\ &= 16\end{aligned}

\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{16}{\sqrt{21}\cdot 4} \\ &= \frac{4}{\sqrt{21}} \ \Rightarrow \ \alpha\approx 29.21^\circ\end{aligned}

האורך של $\underline{w}$ הוא $4$ , הגובה של התיבה. מי שחילק ב- $1$ קיבל קוסינוס גדול מ- $1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ה. חשבו את שטח המשולש $A'FC'$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 19.21

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{FA'} &= (-6,\,-3,\,4) \\ \quad \overrightarrow{FC'} &= (0,\,3,\,4)\end{aligned}

מ- $F$

\begin{aligned}\overrightarrow{FA'}\cdot\overrightarrow{FC'} &= 7 \\ \quad |\overrightarrow{FA'}| &= \sqrt{61} \\ \quad |\overrightarrow{FC'}| &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}\cos F &= \frac{7}{5\sqrt{61}} \ \Rightarrow \ S \\ &= \frac{1}{2}\cdot\sqrt{61}\cdot 5\cdot\sin F\approx 19.21\end{aligned}

שני הווקטורים יוצאים מאותו קודקוד, $F$ . את הסינוס מוצאים מהקוסינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

א. הביעו את $\overrightarrow{AE}$ ואת $\overrightarrow{AF}$ באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ , $\underline{w}$ .

$\overrightarrow{AE}=\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{w}$ , $\overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}\underline{u}+\frac{2}{3}\underline{v}$
$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{w}$ , $\overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}\underline{u}+\frac{2}{3}\underline{v}$
$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{w}$ , $\overrightarrow{AF}=\frac{2}{3}\underline{u}+\frac{1}{3}\underline{v}$
$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}(\underline{w}-\underline{u})$ , $\overrightarrow{AF}=\underline{u}+\frac{2}{3}\underline{v}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{w}$ , $\overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}\underline{u}+\frac{2}{3}\underline{v}$

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{AE} &= \frac{1}{2}(\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AB}) \\ &= \frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{w}\end{aligned}

$E$ אמצע $SB$

\begin{aligned}\overrightarrow{AF} &= \underline{u}+\frac{2}{3}(\underline{v}-\underline{u}) \\ &= \frac{1}{3}\underline{u}+\frac{2}{3}\underline{v}\end{aligned}

$\overrightarrow{BC}=\underline{v}-\underline{u}$

$F$ קרוב יותר ל- $C$ , ולכן $\underline{v}$ מקבל את המקדם הגדול, $\frac{2}{3}$ . מי שהפך את המקדמים מדד $\frac{2}{3}$ מ- $C$ במקום מ- $B$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ב. נתון: $A(0,\,0,\,0)$ , $B(6,\,0,\,0)$ , $C(0,\,9,\,0)$ , $S(0,\,0,\,6)$ . חשבו את נפח הפירמידה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 54

הפתרון:

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{6\cdot 9}{2} \\ &= 27\end{aligned}

משולש ישר-זווית ב- $A$

\begin{aligned}h &= |AS| \\ &= 6\end{aligned}

$AS$ מאונך לבסיס

\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 27\cdot 6 \\ &= 54\end{aligned}

כאן הגובה הוא $AS$ , כי $S$ נמצא על ציר $z$ , בדיוק מעל $A$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ג. מצאו את ההצגה האלגברית של $\overrightarrow{AF}$ .

הרכיב הראשון: ____ ; השני: ____ ; השלישי: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הרכיב הראשון: 2 ; השני: 6 ; השלישי: 0

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{AF} &= \frac{1}{3}(6,\,0,\,0)+\frac{2}{3}(0,\,9,\,0) \\ &= (2,\,6,\,0)\end{aligned}

מציבים בסעיף א

$F$ על $BC$ , במישור הבסיס: הרכיב השלישי $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ד. טענה: $AE$ מאונך ל- $SB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{AE} &= (3,\,0,\,3) \\ \quad \overrightarrow{SB} &= (6,\,0,\,-6)\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{SB} &= 18+0-18 \\ &= 0\end{aligned}

המכפלה אפס. גאומטרית: $AS=AB=6$ , והתיכון לבסיס במשולש שווה שוקיים הוא גם גובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ה. מצאו את גודל הזווית $EAF$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 77.08

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AF} &= (3,\,0,\,3)\cdot(2,\,6,\,0) \\ &= 6\end{aligned}

\cos\sphericalangle EAF=\frac{6}{\sqrt{18}\cdot\sqrt{40}} \ \Rightarrow \ \approx 77.08^\circ

שני הווקטורים כבר נמצאו בסעיפים הקודמים: משתמשים בהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev