סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות. בכל שאלה שני שלבים: קודם וקטור או משוואה, ואחר כך התשובה.

פרמטר אחד בשאלה: כותבים את התנאי (אורך, מאונך, מקביל) כמשוואה ב-kk, ופותרים.

תרגילים

תרגיל 1

נתון A(1, 2, 3)A(1,\,2,\,3), B(k, 4, 9)B(k,\,4,\,9), k>1k>1, ו-∣AB→∣=7|\overrightarrow{AB}|=7. מצאו את kk.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

AB→=(k−1, 2, 6)\overrightarrow{AB}=(k-1,\,2,\,6)
(k−1)2+4+36=49 ⇒ (k−1)2=9\begin{aligned}(k-1)^2+4+36 &= 49 \ \Rightarrow \ (k-1)^2 \\ &= 9\end{aligned}
k−1=3 ⇒ k=4\begin{aligned}k-1 &= 3 \ \Rightarrow \ k \\ &= 4\end{aligned}

k>1k>1, ולכן k−1=−3k-1=-3 נפסל

מעלים בריבוע את כל הרכיב k−1k-1, לא רק את kk.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ABCDABCD היא מקבילית. A(3, 0, −1)A(3,\,0,\,-1), B(5, 2, 1)B(5,\,2,\,1), C(4, 6, 0)C(4,\,6,\,0). מצאו את שיעורי DD.

x=x= ____ ; y=y= ____ ; z=z= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x= 2 ; y=y= 4 ; z=z= -2

הפתרון:

BC→=(−1, 4, −1)\overrightarrow{BC}=(-1,\,4,\,-1)
D=A+BC→=(2, 4, −2)\begin{aligned}D &= A+\overrightarrow{BC} \\ &= (2,\,4,\,-2)\end{aligned}

במקבילית ABCDABCD, AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}. בודקים: DC→=(2, 2, 2)=AB→\overrightarrow{DC}=(2,\,2,\,2)=\overrightarrow{AB} ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון משולש A(2, 1, 0)A(2,\,1,\,0), B(4, 3, 1)B(4,\,3,\,1), C(0, 3, 1)C(0,\,3,\,1). מצאו את גודל הזווית BACBAC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 83.62

הפתרון:

AB→=(2, 2, 1)AC→=(−2, 2, 1)\begin{aligned}\overrightarrow{AB} &= (2,\,2,\,1) \\ \quad \overrightarrow{AC} &= (-2,\,2,\,1)\end{aligned}
AB→⋅AC→=−4+4+1=1\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &= -4+4+1 \\ &= 1\end{aligned}
cos⁡A=13⋅3 ⇒ A≈83.62∘\cos A=\frac{1}{3\cdot 3} \ \Rightarrow \ A\approx 83.62^\circ

שני הווקטורים מ-AA. המשולש שווה שוקיים (∣AB→∣=∣AC→∣=3|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=3), אבל צריך את הזווית בין השוקיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

באותו משולש ABCABC, חשבו את השטח. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.47

הפתרון:

S=12⋅3⋅3⋅sin⁡83.62∘≈4.47S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3\cdot\sin 83.62^\circ\approx 4.47

סינוס של הזווית, לא קוסינוס. sin⁡A=1−181\sin A=\sqrt{1-\frac{1}{81}}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מצאו את kk, אם (3, −2, 1)⊥(−2, 4, k)(3,\,-2,\,1)\perp(-2,\,4,\,k).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

3⋅(−2)+(−2)⋅4+1⋅k=03\cdot(-2)+(-2)\cdot 4+1\cdot k=0
−6−8+k=0 ⇒ k=14\begin{aligned}-6-8+k &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= 14\end{aligned}

שתי המכפלות הראשונות שליליות: −6−8=−14-6-8=-14. מי שענה 22 כתב −6+8-6+8.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

u‾=(2, 0, 1)\underline{u}=(2,\,0,\,1), v‾=(0, 1, −1)\underline{v}=(0,\,1,\,-1). נתון w‾=(−2, 3, −4)=αu‾+βv‾\underline{w}=(-2,\,3,\,-4)=\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}. מצאו את α\alpha ואת β\beta.

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: α=\alpha= -1 ; β=\beta= 3

הפתרון:

x: 2α=−2 ⇒ α=−1\begin{aligned}x:\ 2\alpha &= -2 \ \Rightarrow \ \alpha \\ &= -1\end{aligned}
y: β=3y:\ \beta=3
z: −1−3=−4 ✓z:\ -1-3=-4\ \checkmark

בדיקה

שתי משוואות קלות, והשלישית בודקת. בלי הבדיקה אי אפשר לדעת שהצירוף קיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הנקודות P(2, −1, 3)P(2,\,-1,\,3), Q(4, 0, 1)Q(4,\,0,\,1), R(8, 2, −3)R(8,\,2,\,-3) נמצאות על ישר אחד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

PQ→=(2, 1, −2)PR→=(6, 3, −6)=3PQ→\begin{aligned}\overrightarrow{PQ} &= (2,\,1,\,-2) \\ \quad \overrightarrow{PR} &= (6,\,3,\,-6) \\ &= 3\overrightarrow{PQ}\end{aligned}

שני וקטורים מקבילים מאותה נקודה PP: שלוש הנקודות על ישר אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הווקטור (k, 3, −1)(k,\,3,\,-1) מקביל לווקטור (4, −6, 2)(4,\,-6,\,2). מצאו את kk.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

(k, 3, −1)=t(4, −6, 2)(k,\,3,\,-1)=t(4,\,-6,\,2)
y: t=−12z: −1=−12⋅2 ✓\begin{aligned}y:\ t &= -\frac{1}{2} \qquad z:\ -1 \\ &= -\frac{1}{2}\cdot 2\ \checkmark\end{aligned}
k=−12⋅4=−2\begin{aligned}k &= -\frac{1}{2}\cdot 4 \\ &= -2\end{aligned}

מוצאים את tt מרכיב ידוע, ובודקים ברכיב השני. tt יכול להיות שבר ושלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שורה אחת שגויה — מצאו אותה. (M(1, 3, −2)M(1,\,3,\,-2) אמצע ABAB, ו-A(4, 1, 0)A(4,\,1,\,0). מחפשים את BB.)

AM→=(−3, 2, −2)\overrightarrow{AM}=(-3,\,2,\,-2)
B=A−AM→B=A-\overrightarrow{AM}
B=(7, −1, 2)B=(7,\,-1,\,2)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: B=A−AM→B=A-\overrightarrow{AM} → B=M+AM→=(−2, 5, −4)B=M+\overrightarrow{AM}=(-2,\,5,\,-4)

הפתרון:

B=M+AM→=(1−3, 3+2, −2−2)=(−2, 5, −4)\begin{aligned}B &= M+\overrightarrow{AM} \\ &= (1-3,\,3+2,\,-2-2) \\ &= (-2,\,5,\,-4)\end{aligned}

ממשיכים מ-MM באותו כיוון

מ-MM ממשיכים עוד AM→\overrightarrow{AM}. A−AM→A-\overrightarrow{AM} הולך אחורה, לצד השני של AA.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מיינו לפי סוג הזווית בין u‾=(1, 2, −1)\underline{u}=(1,\,2,\,-1) לבין כל וקטור.

  • זווית חדה
  • זווית קהה
  • (−1, 0, 1)(-1,\,0,\,1)
  • (2, −2, 1)(2,\,-2,\,1)
  • (2, 1, 3)(2,\,1,\,3)
  • (3, 1, 2)(3,\,1,\,2)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (2, 1, 3)(2,\,1,\,3) — זווית חדה · (3, 1, 2)(3,\,1,\,2) — זווית חדה · (−1, 0, 1)(-1,\,0,\,1) — זווית קהה · (2, −2, 1)(2,\,-2,\,1) — זווית קהה

הפתרון:

(1, 2, −1)⋅(2, 1, 3)=1(1,\,2,\,-1)\cdot(2,\,1,\,3)=1
(1, 2, −1)⋅(3, 1, 2)=3(1,\,2,\,-1)\cdot(3,\,1,\,2)=3
(1, 2, −1)⋅(−1, 0, 1)=−2(1,\,2,\,-1)\cdot(-1,\,0,\,1)=-2
(1, 2, −1)⋅(2, −2, 1)=−3(1,\,2,\,-1)\cdot(2,\,-2,\,1)=-3

מספיק הסימן של המכפלה הסקלרית: חיובי לזווית חדה, שלילי לזווית קהה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת