שאלות משולבות: גוף במערכת צירים · וקטורים במערכת צירים במרחב · כיתה י״ב

בשאלה 2 של הבגרות יש לרוב גוף: תיבה או פירמידה. בחלק הראשון מביעים וקטורים באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ , $\underline{w}$ . בחלק השני נותנים שיעורים, ועוברים להצגה אלגברית.

זה אותו וקטור בשתי דרכים. כל דרך מחשבת אותו אורך, אותה זווית ואותו שטח.

מהם שיעורי $S$ , ומה הגובה של הפירמידה?

להציג את התשובה והפתרון

$S(3,\,3,\,4)$ : אותם $x$ ו- $y$ כמו $M$ , מרכז הבסיס. הגובה הוא שיעור ה- $z$ של $S$ : $4$ .

מ- $\underline{u}$ , $\underline{v}$ , $\underline{w}$ לשיעורים

בתיבה ש- $A$ שלה בראשית: $\underline{u}=\overrightarrow{AB}=(a,\,0,\,0)$ , $\underline{v}=\overrightarrow{AD}=(0,\,b,\,0)$ , $\underline{w}=\overrightarrow{AA'}=(0,\,0,\,c)$ .

\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w}=(\alpha a,\,\beta b,\,\gamma c)

אותו וקטור, שתי דרכים

בתיבה $ABCDA'B'C'D'$ : $AB=4$ , $AD=6$ , $AA'=3$ , ו- $A$ בראשית. $M$ אמצע המקצוע $B'C'$ . הביעו את $\overrightarrow{AM}$ באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ , $\underline{w}$ , ומצאו את אורכו.

\begin{aligned}\overrightarrow{AM} &= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{B'M} \\ &= \underline{u}+\underline{w}+\frac{1}{2}\underline{v}\end{aligned}

גאומטרית: שרשרת לאורך המקצועות

=(4,\,0,\,0)+(0,\,0,\,3)+(0,\,3,\,0)=(4,\,3,\,3)

אלגברית: מציבים את הרכיבים

M=(4,\,3,\,3)\ \checkmark

בדיקה: $M$ בין $B'(4,\,0,\,3)$ ל- $C'(4,\,6,\,3)$

\begin{aligned}|\overrightarrow{AM}| &= \sqrt{16+9+9} \\ &= \sqrt{34}\approx 5.83\end{aligned}

באותה תיבה, הביעו את $\overrightarrow{DM}$ באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ , $\underline{w}$ , ומצאו את הצגתו האלגברית.

להציג את התשובה והפתרון

$\overrightarrow{DM}=\underline{u}-\frac{1}{2}\underline{v}+\underline{w}=(4,\,-3,\,3)$ . בדיקה: $M-D=(4,\,3,\,3)-(0,\,6,\,0)=(4,\,-3,\,3)$ ✓

הוכחה של מאונכות

אלכסון ומקצוע צדדי

בפירמידה $SABCD$ שלמעלה: $B(6,\,0,\,0)$ , $D(0,\,6,\,0)$ , $C(6,\,6,\,0)$ , $S(3,\,3,\,4)$ . הוכיחו כי $BD$ מאונך ל- $SC$ .

\begin{aligned}\overrightarrow{BD} &= (-6,\,6,\,0) \\ \quad \overrightarrow{SC} &= (3,\,3,\,-4)\end{aligned}

שני הווקטורים

\begin{aligned}\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{SC} &= -18+18+0 \\ &= 0\end{aligned}

\Rightarrow\ BD\perp SC

מכפלה סקלרית אפס

שימו לב: $BD$ ו- $SC$ לא נפגשים, ובכל זאת הם מאונכים. במרחב, מאונכות היא תכונה של הכיוונים.

נפח

V=\frac{1}{3}\cdot S\cdot h

פירמידה

V=S\cdot h

מנסרה (ותיבה)

כשהבסיס במישור $xy$ , הגובה $h$ הוא שיעור ה- $z$ של הקודקוד העליון.

נפח הפירמידה

חשבו את נפח הפירמידה $SABCD$ .

\begin{aligned}S_{ABCD} &= 6\cdot 6 \\ &= 36\end{aligned}

שטח הבסיס

h=4

השיעור $z$ של $S$

\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 36\cdot 4 \\ &= 48\end{aligned}

מהו שטח הפאה $SBC$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\overrightarrow{BC}=(0,\,6,\,0)$ , $\overrightarrow{BS}=(-3,\,3,\,4)$ . $\cos B=\frac{18}{6\sqrt{34}}=\frac{3}{\sqrt{34}}$ , ולכן $\sin B=\frac{5}{\sqrt{34}}$ . השטח: $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot\sqrt{34}\cdot\frac{5}{\sqrt{34}}=15$ .

סדר עבודה: 1. שיעורי הקודקודים. 2. הווקטורים שהשאלה צריכה. 3. הנוסחה: אורך, מכפלה סקלרית, זווית, שטח או נפח.

שלוש טעויות שחוזרות.

\begin{aligned}h &= |\overrightarrow{SA}| \\ &= \sqrt{34}\end{aligned}

h=4

הגובה הוא האנך לבסיס, $SM$ , ולא המקצוע הצדדי $SA$ .

|\underline{u}|=1

\begin{aligned}|\underline{u}| &= |\overrightarrow{AB}| \\ &= 4\end{aligned}

$\underline{u}$ הוא מקצוע של התיבה. האורך שלו הוא אורך המקצוע.

V=36\cdot 4

V=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 4

בפירמידה לא שוכחים את $\frac{1}{3}$ .

תרגילים

תרגיל 1

בתיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסרטוט $A$ בראשית, $AB=6$ , $AD=4$ , $AA'=2$ . נסמן $\underline{u}=\overrightarrow{AB}$ , $\underline{v}=\overrightarrow{AD}$ , $\underline{w}=\overrightarrow{AA'}$ . הביעו את $\overrightarrow{AC'}$ באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ , $\underline{w}$ .

$\underline{u}+\underline{v}-\underline{w}$
$\underline{u}+\underline{w}$
$\underline{v}+\underline{w}$
$\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}$

הפתרון:

\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC'}

שרשרת

=\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{BC}$ שווה ל- $\underline{v}$ : אותו אורך, אותו כיוון. מי שבחר $\underline{u}+\underline{w}$ הגיע ל- $B'$ , לא ל- $C'$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בתיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסרטוט $A$ בראשית, $AB=6$ , $AD=4$ , $AA'=2$ . נסמן $\underline{u}=\overrightarrow{AB}$ , $\underline{v}=\overrightarrow{AD}$ , $\underline{w}=\overrightarrow{AA'}$ . השלימו את ההצגה האלגברית של $\overrightarrow{AC'}$ .

הרכיב הראשון: ____ ; השני: ____ ; השלישי: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הרכיב הראשון: 6 ; השני: 4 ; השלישי: 2

הפתרון:

\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}=(6,\,0,\,0)+(0,\,4,\,0)+(0,\,0,\,2)

=(6,\,4,\,2)

כל וקטור מקצוע תורם לרכיב אחד בלבד. מי שכתב $(6,\,6,\,6)$ חשב ש- $\underline{u}$ , $\underline{v}$ , $\underline{w}$ באותו אורך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בתיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסרטוט $A$ בראשית, $AB=6$ , $AD=4$ , $AA'=2$ . נסמן $\underline{u}=\overrightarrow{AB}$ , $\underline{v}=\overrightarrow{AD}$ , $\underline{w}=\overrightarrow{AA'}$ . $N$ אמצע המקצוע $C'D'$ . השלימו: $\overrightarrow{AN}=\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w}$ (אפשר לכתוב מספר עשרוני).

$\alpha=$ ____ ; $\beta=$ ____ ; $\gamma=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\alpha=$ 0.5 ; $\beta=$ 1 ; $\gamma=$ 1

הפתרון:

\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD'}+\overrightarrow{D'N}

=\underline{v}+\underline{w}+\frac{1}{2}\underline{u}

$\overrightarrow{D'C'}=\underline{u}$ , וחצי ממנו

$N$ באמצע $C'D'$ , ולכן רק חצי $\underline{u}$ . בדיקה בשיעורים: $N(3,\,4,\,2)=\frac{1}{2}(6,\,0,\,0)+(0,\,4,\,0)+(0,\,0,\,2)$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בתיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסרטוט $A$ בראשית, $AB=6$ , $AD=4$ , $AA'=2$ . נסמן $\underline{u}=\overrightarrow{AB}$ , $\underline{v}=\overrightarrow{AD}$ , $\underline{w}=\overrightarrow{AA'}$ . $N$ אמצע $C'D'$ . מצאו את $|\overrightarrow{AN}|$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.39

הפתרון:

\overrightarrow{AN}=(3,\,4,\,2)

\begin{aligned}|\overrightarrow{AN}| &= \sqrt{9+16+4} \\ &= \sqrt{29}\approx 5.39\end{aligned}

כשיש שיעורים, האורך יוצא ישר מהנוסחה. מי שחיבר $3+4+2$ שכח את הריבועים ואת השורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בתיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסרטוט $A$ בראשית, $AB=6$ , $AD=4$ , $AA'=2$ . נסמן $\underline{u}=\overrightarrow{AB}$ , $\underline{v}=\overrightarrow{AD}$ , $\underline{w}=\overrightarrow{AA'}$ . $N$ אמצע $C'D'$ . מצאו את גודל הזווית $NAB$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 56.15

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{AN}\cdot\overrightarrow{AB} &= 3\cdot 6+0+0 \\ &= 18\end{aligned}

\begin{aligned}\cos\sphericalangle NAB &= \frac{18}{\sqrt{29}\cdot 6} \\ &= \frac{3}{\sqrt{29}} \ \Rightarrow \ \approx 56.15^\circ\end{aligned}

שני הווקטורים יוצאים מ- $A$ . האורך של $\overrightarrow{AB}$ הוא $6$ , לא $1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בתיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסרטוט $A$ בראשית, $AB=6$ , $AD=4$ , $AA'=2$ . נסמן $\underline{u}=\overrightarrow{AB}$ , $\underline{v}=\overrightarrow{AD}$ , $\underline{w}=\overrightarrow{AA'}$ . טענה: האלכסונים $BD'$ ו- $A'C$ של התיבה מאונכים זה לזה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{BD'} &= (-6,\,4,\,2) \\ \quad \overrightarrow{A'C} &= (6,\,4,\,-2)\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{BD'}\cdot\overrightarrow{A'C} &= -36+16-4 \\ &= -24\ne 0\end{aligned}

המכפלה הסקלרית לא אפס, ולכן הם לא מאונכים. בתיבה שאינה קובייה, אלכסונים בדרך כלל אינם מאונכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בפירמידה $SABC$ שבסרטוט: $A(0,\,0,\,0)$ , $B(6,\,0,\,0)$ , $C(0,\,4,\,0)$ , $S(0,\,0,\,5)$ . חשבו את נפח הפירמידה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{6\cdot 4}{2} \\ &= 12\end{aligned}

משולש ישר-זווית ב- $A$

h=5

הבסיס במישור $xy$

\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 12\cdot 5 \\ &= 20\end{aligned}

הבסיס משולש: חצי ממכפלת הניצבים. מי שענה $40$ לקח את המלבן $6\cdot 4$ במקום את המשולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הבסיס של פירמידה הוא המשולש $A(0,\,0,\,0)$ , $B(6,\,0,\,0)$ , $C(0,\,4,\,0)$ . הקודקוד שלה $S(2,\,1,\,6)$ . חשבו את הנפח.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

S_{ABC}=12

h=6

המרחק של $S$ ממישור $xy$ : שיעור ה- $z$

\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 12\cdot 6 \\ &= 24\end{aligned}

הגובה הוא שיעור ה- $z$ , גם כש- $S$ לא נמצא מעל קודקוד. מי שחישב $|\overrightarrow{AS}|=\sqrt{41}$ לקח מקצוע צדדי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

קובייה $ABCDA'B'C'D'$ מונחת כך ש- $A$ בראשית ושלושה מקצועות על הצירים, באורך $a$ . נתון: $\overrightarrow{AC'}\cdot\overrightarrow{AB}=25$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{AC'} &= (a,\,a,\,a) \\ \quad \overrightarrow{AB} &= (a,\,0,\,0)\end{aligned}

\begin{aligned}a\cdot a+0+0 &= a^2 \\ &= 25\end{aligned}

a=5

אורך חיובי

רק הרכיב הראשון תורם למכפלה. מי שכתב $3a^2=25$ כפל את $\overrightarrow{AC'}$ בעצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{BA'} &= (-6,\,0,\,2) \\ \quad \overrightarrow{BD} &= (-6,\,4,\,0)\end{aligned}

מקודקוד אחד, $B$

\begin{aligned}\overrightarrow{BA'}\cdot\overrightarrow{BD} &= 36 \\ \quad |\overrightarrow{BA'}| &= \sqrt{40} \\ \quad |\overrightarrow{BD}| &= \sqrt{52}\end{aligned}

\begin{aligned}\cos B &= \frac{36}{\sqrt{2080}} \ \Rightarrow \ \sin B \\ &= \sqrt{1-\frac{1296}{2080}} \\ &= \frac{28}{\sqrt{2080}}\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}\cdot\sqrt{40}\cdot\sqrt{52}\cdot\frac{28}{\sqrt{2080}} \\ &= 14\end{aligned}

$\sqrt{40}\cdot\sqrt{52}=\sqrt{2080}$

שני הווקטורים יוצאים מאותו קודקוד. בנוסחת השטח יש סינוס: מוצאים אותו מהקוסינוס, $\sin B=\sqrt{1-\cos^2 B}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

שורה אחת שגויה — מצאו אותה. (פירמידה: בסיס ריבועי $ABCD$ בצלע $6$ במישור $xy$ , $S(3,\,3,\,4)$ .)

S_{ABCD}=36

\begin{aligned}h &= |\overrightarrow{AS}| \\ &= \sqrt{9+9+16} \\ &= \sqrt{34}\end{aligned}

V=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot\sqrt{34}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $h=|\overrightarrow{AS}|=\sqrt{9+9+16}=\sqrt{34}$ → $h=4$

הפתרון:

h=4

שיעור ה- $z$ של $S$

\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 36\cdot 4 \\ &= 48\end{aligned}

הגובה מאונך לבסיס. $AS$ הוא מקצוע צדדי, ארוך מהגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מ-u‾\underline{u}u​, v‾\underline{v}v​, w‾\underline{w}w​ לשיעורים

הוכחה של מאונכות

נפח

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

מ- $\underline{u}$ , $\underline{v}$ , $\underline{w}$ לשיעורים