פותרים יחד · וקטורים במערכת צירים במרחב · כיתה י״ב

ארבע שאלות בסגנון שאלה 2 של הבגרות: גוף במערכת צירים, ואחריו כמה סעיפים שנשענים זה על זה. פותרים כל שאלה יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל חישוב: רושמים את שיעורי הקודקודים שהשאלה צריכה. אחר כך כל סעיף הוא וקטור ונוסחה.

1 — תיבה: מהשיעורים לזווית

פעילות אינטראקטיבית

בתיבה $ABCDA'B'C'D'$ הקודקוד $A$ בראשית הצירים, $B$ על ציר $x$ , $D$ על ציר $y$ ו- $A'$ על ציר $z$ . $AB=4$ , $AD=8$ , $AA'=4$ . $M$ אמצע המקצוע $A'D'$ . א. מצאו את שיעורי $M$ , $B$ ו- $C$ . ב. מצאו את ההצגה האלגברית של $\overrightarrow{MB}$ ושל $\overrightarrow{MC}$ . ג. מצאו את גודל הזווית $BMC$ .

\begin{aligned}AB &= 4 \\ \quad AD &= 8 \\ \quad AA' &= 4\end{aligned}

לחצו «להתחיל». קודם השיעורים, אחר כך הווקטורים, ובסוף הנוסחה.

א. שיעורים

A'(0,\,0,\,4),\quad D'(0,\,8,\,4) \ \Rightarrow \ M(0,\,4,\,4)

$M$ באמצע: מחברים ומחלקים ב- $2$ .

א. שיעורים

B(4,\,0,\,0),\quad C(4,\,8,\,0)

שני קודקודים של הבסיס: $z=0$ .

ב. וקטורים

\begin{aligned}\overrightarrow{MB} &= B-M \\ &= (4,\,-4,\,-4) \\ \quad \overrightarrow{MC} &= (4,\,4,\,-4)\end{aligned}

סוף פחות התחלה. שניהם יוצאים מ- $M$ .

ג. מכפלה

\begin{aligned}\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MC} &= 16-16+16 \\ &= 16\end{aligned}

ג. אורכים

\begin{aligned}|\overrightarrow{MB}| &= |\overrightarrow{MC}| \\ &= \sqrt{48}\end{aligned}

המשולש $BMC$ שווה שוקיים.

ג. זווית

\begin{aligned}\cos\sphericalangle BMC &= \frac{16}{48} \\ &= \frac{1}{3} \ \Rightarrow \ \sphericalangle BMC\approx 70.53^\circ\end{aligned}

שלושה סעיפים, שלושה כלים: אמצע של קטע, סוף פחות התחלה, ונוסחת הזווית.

לעשות את הפעילות ב-elev

מהו שטח המשולש $BMC$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{1}{2}\cdot\sqrt{48}\cdot\sqrt{48}\cdot\sin 70.53^\circ=24\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}=16\sqrt{2}\approx 22.63$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — פירמידה: הוכחה, זווית ונפח

פעילות אינטראקטיבית

הפירמידה $SABC$

נתונה פירמידה $SABC$ : $A(0,\,0,\,0)$ , $B(6,\,0,\,0)$ , $C(0,\,6,\,0)$ , $S(2,\,2,\,6)$ . א. הוכיחו כי $AS$ מאונך ל- $BC$ . ב. מצאו את גודל הזווית $ASB$ . ג. חשבו את נפח הפירמידה.

איך מוכיחים ש- $AS$ מאונך ל- $BC$ ?

מראים ש- $\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{BC}=0$

להציג את התשובה והפתרון

מכפלה סקלרית אפס פירושה מאונכים.

מראים ש- $|\overrightarrow{AS}|=|\overrightarrow{BC}|$

להציג את התשובה והפתרון

אורכים שווים לא אומרים כלום על הזווית.

מראים ש- $AS$ ו- $BC$ נפגשים

להציג את התשובה והפתרון

הם בכלל לא נפגשים. במרחב בודקים כיוונים.

\begin{aligned}\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{BC} &= (2,\,2,\,6)\cdot(-6,\,6,\,0) \\ &= -12+12+0 \\ &= 0\end{aligned}

ולכן $AS\perp BC$ .

אילו וקטורים לוקחים לזווית $ASB$ ?

$\overrightarrow{SA}$ ו- $\overrightarrow{SB}$

להציג את התשובה והפתרון

הקודקוד של הזווית הוא $S$ : שני הווקטורים יוצאים ממנו.

$\overrightarrow{AS}$ ו- $\overrightarrow{SB}$

להציג את התשובה והפתרון

$\overrightarrow{AS}$ נכנס ל- $S$ : מקבלים $180^\circ$ פחות הזווית.

$\overrightarrow{AB}$ ו- $\overrightarrow{SB}$

להציג את התשובה והפתרון

זו הזווית ב- $B$ , לא ב- $S$ .

\begin{aligned}\cos\sphericalangle ASB &= \frac{(-2,\,-2,\,-6)\cdot(4,\,-2,\,-6)}{\sqrt{44}\cdot\sqrt{56}} \\ &= \frac{32}{\sqrt{2464}} \ \Rightarrow \ \approx 49.86^\circ\end{aligned}

מהו הגובה של הפירמידה?

$6$ , שיעור ה- $z$ של $S$

להציג את התשובה והפתרון

הבסיס $ABC$ במישור $xy$ .

$|\overrightarrow{AS}|=\sqrt{44}$

להציג את התשובה והפתרון

$AS$ מקצוע צדדי, לא מאונך לבסיס.

\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot\frac{6\cdot 6}{2}\cdot 6 \\ &= 36\end{aligned}

שטח הבסיס: משולש ישר-זווית ב- $A$ .

להציג את התשובה והפתרון

א. $\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ . ב. $49.86^\circ$ . ג. $36$ . בכל סעיף: וקטורים מהקודקוד הנכון, ומה שהשאלה צריכה.

לעשות את הפעילות ב-elev

ומה גודל הזווית $SAB$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\overrightarrow{AS}=(2,\,2,\,6)$ , $\overrightarrow{AB}=(6,\,0,\,0)$ : $\cos=\frac{12}{\sqrt{44}\cdot 6}$ , ולכן $\sphericalangle SAB\approx 72.45^\circ$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — מ- $\underline{u}$ , $\underline{v}$ , $\underline{w}$ לשיעורים

פעילות אינטראקטיבית

בתיבה $ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $ABCD$ ריבוע. $E$ אמצע המקצוע $CC'$ . נסמן $\underline{u}=\overrightarrow{AB}$ , $\underline{v}=\overrightarrow{AD}$ , $\underline{w}=\overrightarrow{AA'}$ . א. הביעו את $\overrightarrow{AE}$ באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ , $\underline{w}$ . נתון: $A(0,\,0,\,0)$ , $B(4,\,0,\,0)$ , $D(0,\,4,\,0)$ , $A'(0,\,0,\,6)$ . ב. מצאו את ההצגה האלגברית של $\overrightarrow{AE}$ . ג. מצאו את גודל הזווית $EAC$ .

\begin{aligned}\underline{u} &= \overrightarrow{AB} \\ \quad \underline{v} &= \overrightarrow{AD} \\ \quad \underline{w} &= \overrightarrow{AA'}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». סעיף א הוא גאומטרי, בלי מספרים. מסעיף ב יש שיעורים.

א. שרשרת

\begin{aligned}\overrightarrow{AE} &= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE} \\ &= \underline{u}+\underline{v}+\frac{1}{2}\underline{w}\end{aligned}

$\overrightarrow{BC}=\underline{v}$ , ו- $\overrightarrow{CE}$ הוא חצי מ- $\overrightarrow{CC'}=\underline{w}$ .

ב. רכיבים

\begin{aligned}\underline{u} &= (4,\,0,\,0) \\ \quad \underline{v} &= (0,\,4,\,0) \\ \quad \underline{w} &= (0,\,0,\,6)\end{aligned}

ב. הצבה

\begin{aligned}\overrightarrow{AE} &= (4,\,0,\,0)+(0,\,4,\,0)+(0,\,0,\,3) \\ &= (4,\,4,\,3)\end{aligned}

בדיקה: $E$ בין $C(4,\,4,\,0)$ ל- $C'(4,\,4,\,6)$ ✓

ג. וקטורים

\begin{aligned}\overrightarrow{AC} &= (4,\,4,\,0) \\ \quad \overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AC} &= 32\end{aligned}

ג. זווית

\cos\sphericalangle EAC=\frac{32}{\sqrt{41}\cdot\sqrt{32}} \ \Rightarrow \ \sphericalangle EAC\approx 27.94^\circ

אותו וקטור בשתי הדרכים: $\underline{u}+\underline{v}+\frac{1}{2}\underline{w}$ , ו- $(4,\,4,\,3)$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

בדקו בדרך אחרת: מהו $\tan\sphericalangle EAC$ במשולש ישר-הזווית $EAC$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$CE=3$ ו- $AC=\sqrt{32}$ , ולכן $\tan\sphericalangle EAC=\frac{3}{\sqrt{32}}$ ו- $\sphericalangle EAC\approx 27.94^\circ$ ✓. $CE$ מאונך לבסיס.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — פרמטר: זווית ישרה

פעילות אינטראקטיבית

מלבן במרחב

נתונות הנקודות $A(2,\,1,\,0)$ , $B(4,\,3,\,1)$ , $C(k,\,-1,\,4)$ . א. מצאו את $k$ , אם $\sphericalangle BAC=90^\circ$ . ב. חשבו את שטח המשולש $ABC$ . ג. מצאו את שיעורי $D$ , כך ש- $ABDC$ מלבן.

איזה תנאי נותן משוואה עבור $k$ ?

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$

להציג את התשובה והפתרון

זווית ישרה ב- $A$ : שני הווקטורים מ- $A$ מאונכים.

$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|$

להציג את התשובה והפתרון

זה תנאי למשולש שווה שוקיים, לא לזווית ישרה.

$\overrightarrow{AC}=t\overrightarrow{AB}$

להציג את התשובה והפתרון

זה תנאי למקביל: אז אין משולש בכלל.

\begin{aligned}(2,\,2,\,1)\cdot(k-2,\,-2,\,4) &= 2k-4-4+4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= 2\end{aligned}

איך מחשבים את שטח המשולש?

$\frac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|$

להציג את התשובה והפתרון

הניצבים $AB$ ו- $AC$ ; $\sin 90^\circ=1$ .

$|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|$

להציג את התשובה והפתרון

זה שטח המלבן, לא המשולש.

\begin{aligned}|\overrightarrow{AB}| &= 3 \\ \quad |\overrightarrow{AC}| &= \sqrt{20} \ \Rightarrow \ S \\ &= \frac{1}{2}\cdot 3\cdot\sqrt{20}\approx 6.71\end{aligned}

איך מוצאים את $D$ במלבן $ABDC$ ?

$D=B+\overrightarrow{AC}$

להציג את התשובה והפתרון

לפי הסדר $A\to B\to D\to C$ : $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}$ .

$D=A+\overrightarrow{BC}$

להציג את התשובה והפתרון

כך נבנה מקבילית $ABCD$ , בסדר אחר.

$D=C+\overrightarrow{AC}$

להציג את התשובה והפתרון

כך ממשיכים בקו ישר מ- $A$ דרך $C$ .

\begin{aligned}D &= (4,\,3,\,1)+(0,\,-2,\,4) \\ &= (4,\,1,\,5)\end{aligned}

בדיקה: $\overrightarrow{CD}=(2,\,2,\,1)=\overrightarrow{AB}$ ✓

להציג את התשובה והפתרון

א. $k=2$ . ב. $3\sqrt{5}\approx 6.71$ . ג. $D(4,\,1,\,5)$ . בסעיף ג שומרים על סדר האותיות של המלבן.

לעשות את הפעילות ב-elev

מהו שטח המלבן $ABDC$ ?

להציג את התשובה והפתרון

פעמיים שטח המשולש: $3\cdot\sqrt{20}=6\sqrt{5}\approx 13.42$ .

השאלות התאומות: שאלות 4 ו-5 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

בתיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסרטוט $A$ בראשית, $AB=4$ , $AD=4$ , $AA'=2$ . $M$ אמצע המקצוע $A'D'$ . השלימו (את הזווית עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

$\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MC}=$ ____ ; $\sphericalangle BMC\approx$ ____ מעלות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MC}=$ 16 ; $\sphericalangle BMC\approx$ 48.19 מעלות

הפתרון:

\begin{aligned}M(0,\,2,\,2) \\ \quad \overrightarrow{MB} &= (4,\,-2,\,-2) \\ \quad \overrightarrow{MC} &= (4,\,2,\,-2)\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MC} &= 16-4+4 \\ &= 16\end{aligned}

\begin{aligned}\cos\sphericalangle BMC &= \frac{16}{24} \\ &= \frac{2}{3} \ \Rightarrow \ \approx 48.19^\circ\end{aligned}

כמו בשאלה 1: קודם $M$ , אחר כך וקטורים מ- $M$ . מי שלקח $\overrightarrow{BM}$ קיבל את הזווית המשלימה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה פירמידה $SABC$ : $A(0,\,0,\,0)$ , $B(8,\,0,\,0)$ , $C(0,\,8,\,0)$ , $S(3,\,3,\,5)$ . מצאו את גודל הזווית $ASB$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 67.84

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{SA} &= (-3,\,-3,\,-5) \\ \quad \overrightarrow{SB} &= (5,\,-3,\,-5)\end{aligned}

מ- $S$

\begin{aligned}\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SB} &= -15+9+25 \\ &= 19\end{aligned}

\cos\sphericalangle ASB=\frac{19}{\sqrt{43}\cdot\sqrt{59}} \ \Rightarrow \ \approx 67.84^\circ

הקודקוד של הזווית הוא $S$ , ולכן שני הווקטורים יוצאים מ- $S$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בתיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסרטוט $A$ בראשית, $AB=AD=6$ , $AA'=4$ . $E$ אמצע $CC'$ . נסמן $\underline{u}=\overrightarrow{AB}$ , $\underline{v}=\overrightarrow{AD}$ , $\underline{w}=\overrightarrow{AA'}$ . השלימו (אפשר לכתוב מספר עשרוני).

$\overrightarrow{AE}=$ ____ $\underline{u}+$ ____ $\underline{v}+$ ____ $\underline{w}$ ; הרכיב השלישי של $\overrightarrow{AE}$ : ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\overrightarrow{AE}=$ 1 $\underline{u}+$ 1 $\underline{v}+$ 0.5 $\underline{w}$ ; הרכיב השלישי של $\overrightarrow{AE}$ : 2

הפתרון:

\overrightarrow{AE}=\underline{u}+\underline{v}+\frac{1}{2}\underline{w}

כמו בשאלה 3

=(6,\,6,\,2)

חצי $\underline{w}$ , כי $E$ באמצע $CC'$ . הרכיב השלישי הוא חצי מהגובה: $2$ , לא $4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונות הנקודות $A(1,\,0,\,2)$ , $B(3,\,2,\,3)$ , $C(k,\,-1,\,4)$ . מצאו את $k$ , אם $\sphericalangle BAC=90^\circ$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{AB} &= (2,\,2,\,1) \\ \quad \overrightarrow{AC} &= (k-1,\,-1,\,2)\end{aligned}

\begin{aligned}2(k-1)-2+2 &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= 1\end{aligned}

הזווית ב- $A$ : שני הווקטורים מ- $A$ . מי שהשתמש ב- $\overrightarrow{BC}$ חיפש זווית ישרה ב- $B$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

עם $k=1$ מהשאלה הקודמת: $C(1,\,-1,\,4)$ . מצאו את שיעורי $D$ , כך ש- $ABDC$ מלבן.

$x=$ ____ ; $y=$ ____ ; $z=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=$ 3 ; $y=$ 1 ; $z=$ 5

הפתרון:

\overrightarrow{AC}=(0,\,-1,\,2)

\begin{aligned}D &= B+\overrightarrow{AC} \\ &= (3,\,1,\,5)\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{CD} &= (2,\,2,\,1) \\ &= \overrightarrow{AB}\ \checkmark\end{aligned}

בסדר $A\to B\to D\to C$ , הצלע $BD$ מקבילה ושווה ל- $AC$ . מי שחישב $A+\overrightarrow{BC}$ בנה מרובע בסדר אחר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — תיבה: מהשיעורים לזווית

2 — פירמידה: הוכחה, זווית ונפח

3 — מ-u‾\underline{u}u​, v‾\underline{v}v​, w‾\underline{w}w​ לשיעורים

4 — פרמטר: זווית ישרה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

3 — מ- $\underline{u}$ , $\underline{v}$ , $\underline{w}$ לשיעורים