פעולות בין וקטורים בהצגה אלגברית · וקטורים במערכת צירים במרחב · כיתה י״ב

בגישה הגאומטרית חיברנו וקטורים בשרשרת: הסוף של אחד הוא ההתחלה של הבא. בהצגה אלגברית עושים כל פעולה רכיב אחרי רכיב.

\underline{u}+\underline{v}=(u_1+v_1,\,u_2+v_2,\,u_3+v_3)

חיבור

\underline{u}-\underline{v}=(u_1-v_1,\,u_2-v_2,\,u_3-v_3)

חיסור

t\underline{u}=(tu_1,\,tu_2,\,tu_3)

כפל בסקלר $t$

כמה זה $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC'}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$(4,\,0,\,0)+(0,\,5,\,3)=(4,\,5,\,3)=\overrightarrow{AC'}$ . השרשרת של הגישה הגאומטרית נותנת את אותו וקטור כמו החיבור רכיב אחרי רכיב.

ארבע פעולות

נתון $\underline{u}=(2,\,-1,\,3)$ ו- $\underline{v}=(1,\,4,\,-2)$ .

\underline{u}+\underline{v}=(3,\,3,\,1)

\begin{aligned}\underline{u}-\underline{v} &= (2-1,\,-1-4,\,3-(-2)) \\ &= (1,\,-5,\,5)\end{aligned}

3\underline{u}=(6,\,-3,\,9)

כופלים כל רכיב

\begin{aligned}2\underline{u}-3\underline{v} &= (4,\,-2,\,6)-(3,\,12,\,-6) \\ &= (1,\,-14,\,12)\end{aligned}

קודם הכפל, אחר כך החיסור

צירוף ליניארי

ביטוי כמו $\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}$ נקרא צירוף ליניארי של $\underline{u}$ ו- $\underline{v}$ .

כדי להביע וקטור $\underline{w}$ באמצעות $\underline{u}$ ו- $\underline{v}$ , משווים רכיב לרכיב. יש שלוש משוואות ושני נעלמים: פותרים שתיים, ובודקים בשלישית.

מוצאים את המקדמים

$\underline{u}=(1,\,2,\,0)$ , $\underline{v}=(0,\,1,\,-2)$ , $\underline{w}=(3,\,4,\,4)$ . הביעו את $\underline{w}$ באמצעות $\underline{u}$ ו- $\underline{v}$ .

(3,\,4,\,4)=\alpha(1,\,2,\,0)+\beta(0,\,1,\,-2)

\begin{aligned}x:\ \alpha &= 3 \qquad z:\ -2\beta \\ &= 4 \ \Rightarrow \ \beta \\ &= -2\end{aligned}

שתי משוואות קלות

y:\ 2\cdot 3+(-2)=4\ \checkmark

בדיקה במשוואה השלישית

\underline{w}=3\underline{u}-2\underline{v}

האם $(1,\,0,\,1)$ הוא צירוף ליניארי של $\underline{u}=(1,\,2,\,0)$ ו- $\underline{v}=(0,\,1,\,-2)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. מהרכיב הראשון $\alpha=1$ , מהשלישי $\beta=-\frac{1}{2}$ . אבל אז הרכיב השני הוא $2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ , ולא $0$ . הבדיקה נכשלה.

וקטורים מקבילים

$\underline{v}$ מקביל ל- $\underline{u}$ אם $\underline{v}=t\underline{u}$ למספר $t\ne 0$ . כלומר: כל הרכיבים מוכפלים באותו מספר.

מקביל, עם פרמטר

מצאו את $k$ , אם הווקטור $(3,\,k,\,6)$ מקביל ל- $(1,\,2,\,2)$ .

(3,\,k,\,6)=t(1,\,2,\,2)

\begin{aligned}x:\ t &= 3 \qquad z:\ 6 \\ &= 3\cdot 2\ \checkmark\end{aligned}

מוצאים את $t$ ובודקים

\begin{aligned}y:\ k &= 3\cdot 2 \\ &= 6\end{aligned}

האם הנקודות $A(1,\,0,\,2)$ , $B(3,\,1,\,5)$ , $C(7,\,3,\,11)$ נמצאות על ישר אחד?

להציג את התשובה והפתרון

כן. $\overrightarrow{AB}=(2,\,1,\,3)$ ו- $\overrightarrow{AC}=(6,\,3,\,9)=3\overrightarrow{AB}$ . שני וקטורים מקבילים עם נקודה משותפת: ישר אחד.

הקודקוד הרביעי של מקבילית

מוצאים את $D$

$ABCD$ היא מקבילית. $A(1,\,2,\,0)$ , $B(4,\,3,\,1)$ , $C(5,\,6,\,4)$ . מצאו את $D$ .

\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}

צלעות נגדיות במקבילית: אותו וקטור

\begin{aligned}\overrightarrow{BC} &= C-B \\ &= (1,\,3,\,3)\end{aligned}

\begin{aligned}D &= A+\overrightarrow{BC} \\ &= (2,\,5,\,3)\end{aligned}

הולכים לפי סדר האותיות: $A \to B \to C \to D$ . לכן $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (ולא $\overrightarrow{CD}$ ), ו- $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ .

שלוש טעויות שחוזרות.

3(2,\,-1,\,3)=(6,\,-1,\,3)

(6,\,-3,\,9)

הסקלר כופל את כל הרכיבים, לא רק את הראשון.

(2,\,4,\,6)\parallel(1,\,2,\,4)

(2,\,4,\,8)\parallel(1,\,2,\,4)

כל היחסים צריכים להיות שווים: $\frac{2}{1}=\frac{4}{2}\ne\frac{6}{4}$ .

D=A+\overrightarrow{CB}

D=A+\overrightarrow{BC}

הכיוון חשוב: מ- $A$ ל- $D$ הולכים כמו מ- $B$ ל- $C$ .

תרגילים

תרגיל 1

נתון $\underline{u}=(4,\,-2,\,1)$ ו- $\underline{v}=(-1,\,5,\,3)$ . השלימו את רכיבי $\underline{u}+\underline{v}$ .

הרכיב הראשון: ____ ; השני: ____ ; השלישי: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הרכיב הראשון: 3 ; השני: 3 ; השלישי: 4

הפתרון:

\begin{aligned}\underline{u}+\underline{v} &= (4-1,\,-2+5,\,1+3) \\ &= (3,\,3,\,4)\end{aligned}

מחברים רכיב ראשון לראשון, שני לשני, שלישי לשלישי. לא מחברים רכיבים מאותו וקטור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

עם אותם וקטורים, השלימו את רכיבי $2\underline{u}-\underline{v}$ .

הרכיב הראשון: ____ ; השני: ____ ; השלישי: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הרכיב הראשון: 9 ; השני: -9 ; השלישי: -1

הפתרון:

2\underline{u}=(8,\,-4,\,2)

קודם הכפל

\begin{aligned}2\underline{u}-\underline{v} &= (8-(-1),\,-4-5,\,2-3) \\ &= (9,\,-9,\,-1)\end{aligned}

ברכיב הראשון $8-(-1)=9$ . מי שכתב $7$ שכח שמחסרים מספר שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$\underline{w}=(2,\,0,\,-1)$ . מהו $-3\underline{w}$ ?

$(-6,\,0,\,-1)$
$(-6,\,0,\,3)$
$(6,\,0,\,-3)$
$(-6,\,-3,\,3)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $(-6,\,0,\,3)$

הפתרון:

\begin{aligned}-3\underline{w} &= (-3\cdot 2,\,-3\cdot 0,\,-3\cdot(-1)) \\ &= (-6,\,0,\,3)\end{aligned}

כופלים כל רכיב, גם את האפס ( $-3\cdot 0=0$ ) וגם את השלילי ( $-3\cdot(-1)=3$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

$\underline{u}=(3,\,1,\,-2)$ , $\underline{v}=(-1,\,1,\,3)$ . מצאו את $|\underline{u}+\underline{v}|$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\underline{u}+\underline{v}=(2,\,2,\,1)

קודם הסכום

\begin{aligned}|\underline{u}+\underline{v}| &= \sqrt{4+4+1} \\ &= 3\end{aligned}

ואז האורך

קודם מחברים, ורק אחר כך מחשבים אורך. $|\underline{u}|+|\underline{v}|$ הוא מספר אחר ( $\sqrt{14}+\sqrt{11}$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הווקטור $(2,\,-4,\,k)$ מקביל לווקטור $(-1,\,2,\,3)$ . מצאו את $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -6

הפתרון:

(2,\,-4,\,k)=t(-1,\,2,\,3)

\begin{aligned}x:\ t &= -2 \qquad y:\ -4 \\ &= -2\cdot 2\ \checkmark\end{aligned}

\begin{aligned}k &= -2\cdot 3 \\ &= -6\end{aligned}

$t$ שלילי: הווקטורים מקבילים ובכיוונים הפוכים. מי שענה $6$ לקח $t=2$ ולא בדק את הרכיב הראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הווקטור $(2,\,3,\,-1)$ מקביל לווקטור $(4,\,6,\,2)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{4}{2} &= 2 \\ \quad \frac{6}{3} &= 2 \\ \quad \frac{2}{-1} &= -2\end{aligned}

היחסים

שני רכיבים מתאימים, אבל השלישי לא: היחס $-2$ שונה מ- $2$ . צריך שלושה יחסים שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

$\underline{u}=(1,\,1,\,0)$ , $\underline{v}=(1,\,0,\,2)$ . הביעו את $\underline{w}=(1,\,3,\,-4)$ באמצעות $\underline{u}$ ו- $\underline{v}$ : $\underline{w}=\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}$ .

$\alpha=$ ____ ; $\beta=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\alpha=$ 3 ; $\beta=$ -2

הפתרון:

\begin{aligned}y:\ \alpha &= 3 \qquad z:\ 2\beta \\ &= -4 \ \Rightarrow \ \beta \\ &= -2\end{aligned}

הרכיבים שבהם יש נעלם אחד

x:\ 3+(-2)=1\ \checkmark

בדיקה

מתחילים מהרכיבים הקלים, שבהם מופיע נעלם אחד בלבד, ובודקים ברכיב שנשאר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

$ABCD$ היא מקבילית. $A(2,\,-1,\,3)$ , $B(5,\,0,\,1)$ , $C(4,\,3,\,-2)$ . מהם שיעורי $D$ ?

$(7,\,4,\,-4)$
$(3,\,-4,\,6)$
$(3,\,2,\,4)$
$(1,\,2,\,0)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $(1,\,2,\,0)$

הפתרון:

\overrightarrow{BC}=(-1,\,3,\,-3)

\begin{aligned}D &= A+\overrightarrow{BC} \\ &= (1,\,2,\,0)\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{DC} &= (3,\,1,\,-2) \\ &= \overrightarrow{AB}\ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

מי שבחר $(7,\,4,\,-4)=B+C-A$ בנה מקבילית אחרת, $ABDC$ . בסדר $ABCD$ הקודקוד $D$ מול $B$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מיינו: אילו וקטורים מקבילים ל- $(1,\,-2,\,3)$ ?

מקביל
לא מקביל

$(-2,\,4,\,-6)$
$(1,\,2,\,3)$
$(2,\,-4,\,3)$
$(3,\,-6,\,9)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(-2,\,4,\,-6)$ — מקביל · $(3,\,-6,\,9)$ — מקביל · $(2,\,-4,\,3)$ — לא מקביל · $(1,\,2,\,3)$ — לא מקביל

הפתרון:

(-2,\,4,\,-6)=-2(1,\,-2,\,3)

(3,\,-6,\,9)=3(1,\,-2,\,3)

מקביל: מכפלה של הווקטור במספר אחד. ב- $(2,\,-4,\,3)$ שני רכיבים כפולים ב- $2$ והשלישי לא; ב- $(1,\,2,\,3)$ הסימן של הרכיב השני השתנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הנקודות $A(1,\,2,\,3)$ , $B(2,\,4,\,7)$ ו- $C(4,\,8,\,k)$ נמצאות על ישר אחד. מצאו את $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{AB} &= (1,\,2,\,4) \\ \quad \overrightarrow{AC} &= (3,\,6,\,k-3)\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{AC} &= 3\overrightarrow{AB} \ \Rightarrow \ k-3 \\ &= 12\end{aligned}

k=15

משווים וקטורים, לא נקודות. מי שענה $12$ השווה את $k$ לרכיב של $\overrightarrow{AC}$ ושכח להוסיף את $3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

שורה אחת שגויה — מצאו אותה. ( $\underline{u}=(1,\,2,\,-1)$ , $\underline{v}=(2,\,-1,\,0)$ )

2\underline{u}=(2,\,4,\,-2)

3\underline{v}=(6,\,-3,\,0)

2\underline{u}-3\underline{v}=(2-6,\,4-3,\,-2-0)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $2\underline{u}-3\underline{v}=(2-6,\,4-3,\,-2-0)$ → $2\underline{u}-3\underline{v}=(2-6,\,4-(-3),\,-2-0)=(-4,\,7,\,-2)$

הפתרון:

4-(-3)=7

הרכיב השני של $3\underline{v}$ הוא $-3$ . מחסרים אותו עם הסימן: $4-(-3)=7$ , לא $4-3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

צירוף ליניארי

וקטורים מקבילים

הקודקוד הרביעי של מקבילית

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev