וקטור בהצגה אלגברית · וקטורים במערכת צירים במרחב · כיתה י״ב

בפרק וקטורים בגישה גאומטרית, וקטור היה חץ: גודל וכיוון. במערכת צירים כותבים אותו בעזרת שלושה מספרים: כמה הוא מתקדם על כל ציר.

\underline{u}=(u_1,\,u_2,\,u_3)

ההצגה האלגברית של וקטור

המספרים $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ הם הרכיבים של הווקטור. הווקטור מ- $O$ לנקודה $P$ מקבל את השיעורים של $P$ .

\begin{aligned}\overrightarrow{AB} &= B-A \\ &= (b_1-a_1,\,b_2-a_2,\,b_3-a_3)\end{aligned}

וקטור בין שתי נקודות

מה הקשר בין $\overrightarrow{AC'}$ לבין $\overrightarrow{C'A}$ בתיבה?

להציג את התשובה והפתרון

הם וקטורים נגדיים: $(4,\,5,\,3)$ ו- $(-4,\,-5,\,-3)$ . כל רכיב מחליף סימן.

וקטור בין שתי נקודות

נתונות הנקודות $A(1,\,2,\,-1)$ ו- $B(4,\,0,\,3)$ . מצאו את ההצגה האלגברית של $\overrightarrow{AB}$ .

\begin{aligned}\overrightarrow{AB} &= B-A \\ &= (4,\,0,\,3)-(1,\,2,\,-1)\end{aligned}

סוף פחות התחלה

=(4-1,\,0-2,\,3-(-1))=(3,\,-2,\,4)

רכיב אחרי רכיב. מינוס של מינוס הוא פלוס

וקטורים שווים ווקטורים נגדיים

שני וקטורים שווים אם כל הרכיבים שלהם שווים. וקטור נגדי מחליף את הסימן של כל רכיב: $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ .

$\overrightarrow{AB}=(2,\,-1,\,5)$ ו- $A(3,\,0,\,1)$ . מהם שיעורי $B$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$B=A+\overrightarrow{AB}=(3+2,\,0-1,\,1+5)=(5,\,-1,\,6)$ . מוסיפים את הווקטור לנקודת ההתחלה.

האורך של וקטור

|\underline{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}

מדפי הנוסחאות

זה פיתגורס פעמיים, כמו האלכסון של תיבה. האורך של $\overrightarrow{AB}$ הוא המרחק בין $A$ ל- $B$ .

המרחק בין שתי נקודות

מצאו את האורך של $\overrightarrow{AB}$ מהדוגמה הקודמת: $\overrightarrow{AB}=(3,\,-2,\,4)$ .

|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+(-2)^2+4^2}

מעלים כל רכיב בריבוע

=\sqrt{9+4+16}=\sqrt{29}\approx 5.39

$(-2)^2=4$ , חיובי

בתיבה $AB=6$ , $AD=4$ , $AA'=5$ ( $A$ בראשית). מהו האורך של האלכסון $\overrightarrow{AC'}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\overrightarrow{AC'}=(6,\,4,\,5)$ , ולכן $|\overrightarrow{AC'}|=\sqrt{36+16+25}=\sqrt{77}\approx 8.77$ .

אמצע של קטע

M=\left(\frac{a_1+b_1}{2},\,\frac{a_2+b_2}{2},\,\frac{a_3+b_3}{2}\right)

אמצע הקטע $AB$

נקודת האמצע

מצאו את האמצע $M$ של הקטע $PQ$ , כאשר $P(2,\,-3,\,4)$ ו- $Q(6,\,1,\,0)$ .

M=\left(\frac{2+6}{2},\,\frac{-3+1}{2},\,\frac{4+0}{2}\right)

מחברים ומחלקים ב- $2$

=(4,\,-1,\,2)

בדיקה מהירה לאמצע: $\overrightarrow{PM}$ ו- $\overrightarrow{MQ}$ צריכים להיות שווים. כאן שניהם $(2,\,2,\,-2)$ ✓

שלוש טעויות שחוזרות.

\overrightarrow{AB}=A-B

\overrightarrow{AB}=B-A

הסדר: סוף פחות התחלה. $A-B$ נותן את הווקטור הנגדי.

\sqrt{3^2+(-2)^2+4^2}=\sqrt{9-4+16}

\sqrt{9+4+16}

ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי.

M=\left(\frac{b_1-a_1}{2},\,\ldots\right)

M=\left(\frac{a_1+b_1}{2},\,\ldots\right)

באמצע מחברים. ההפרש חלקי $2$ הוא חצי מהווקטור, לא נקודה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונות הנקודות $A(2,\,1,\,-3)$ ו- $B(5,\,-1,\,0)$ . השלימו את ההצגה האלגברית של $\overrightarrow{AB}$ .

הרכיב הראשון: ____ ; השני: ____ ; השלישי: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הרכיב הראשון: 3 ; השני: -2 ; השלישי: 3

הפתרון:

\overrightarrow{AB}=(5,\,-1,\,0)-(2,\,1,\,-3)

=(5-2,\,-1-1,\,0-(-3))=(3,\,-2,\,3)

סוף פחות התחלה. ברכיב השלישי $0-(-3)=3$ : מי שכתב $-3$ שכח שמינוס של מינוס הוא פלוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונות הנקודות $C(-1,\,4,\,2)$ ו- $D(3,\,0,\,5)$ . מהי ההצגה האלגברית של $\overrightarrow{DC}$ ?

$(-4,\,4,\,-3)$
$(-1,\,4,\,2)$
$(4,\,-4,\,3)$
$(2,\,4,\,7)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $(-4,\,4,\,-3)$

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{DC} &= C-D \\ &= (-1,\,4,\,2)-(3,\,0,\,5)\end{aligned}

הווקטור מתחיל ב- $D$

=(-4,\,4,\,-3)

הווקטור $\overrightarrow{DC}$ מתחיל ב- $D$ : $C-D$ . מי שבחר $(4,\,-4,\,3)$ חישב את $\overrightarrow{CD}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$\underline{u}=(2,\,-3,\,6)$ . מצאו את $|\underline{u}|$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

|\underline{u}|=\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}

\begin{aligned}\sqrt{4+9+36} &= \sqrt{49} \\ &= 7\end{aligned}

מעלים כל רכיב בריבוע, גם את השלילי: $(-3)^2=9$ . מי שחיבר $2-3+6$ ולא העלה בריבוע קיבל $5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מצאו את המרחק בין הנקודות $A(1,\,-2,\,3)$ ו- $B(3,\,2,\,7)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\overrightarrow{AB}=(2,\,4,\,4)

קודם הווקטור

\begin{aligned}|\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{4+16+16} \\ &= \sqrt{36} \\ &= 6\end{aligned}

ואחר כך האורך שלו

המרחק בין שתי נקודות הוא האורך של הווקטור ביניהן. לא מחברים את השיעורים של הנקודות עצמן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון $A(-1,\,4,\,2)$ ו- $\overrightarrow{AB}=(3,\,-2,\,5)$ . השלימו את שיעורי $B$ .

$x=$ ____ ; $y=$ ____ ; $z=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=$ 2 ; $y=$ 2 ; $z=$ 7

הפתרון:

B=A+\overrightarrow{AB}

=(-1+3,\,4-2,\,2+5)=(2,\,2,\,7)

כדי להגיע ל- $B$ , יוצאים מ- $A$ ומוסיפים את הווקטור. מי שחיסר קיבל נקודה בצד השני של $A$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מצאו את אמצע הקטע $AB$ , כאשר $A(3,\,-1,\,6)$ ו- $B(-5,\,7,\,2)$ .

$x=$ ____ ; $y=$ ____ ; $z=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=$ -1 ; $y=$ 3 ; $z=$ 4

הפתרון:

M=\left(\frac{3+(-5)}{2},\,\frac{-1+7}{2},\,\frac{6+2}{2}\right)

=(-1,\,3,\,4)

באמצע מחברים ומחלקים ב- $2$ . מי שחיסר קיבל $(4,\,-4,\,2)$ : חצי מהווקטור $\overrightarrow{BA}$ , לא נקודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הנקודה $M(2,\,0,\,-1)$ היא אמצע הקטע $AB$ , ו- $A(5,\,-3,\,1)$ . השלימו את שיעורי $B$ .

$x=$ ____ ; $y=$ ____ ; $z=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=$ -1 ; $y=$ 3 ; $z=$ -3

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{AM} &= M-A \\ &= (-3,\,3,\,-2)\end{aligned}

מ- $A$ עד האמצע

\begin{aligned}B &= M+\overrightarrow{AM} \\ &= (-1,\,3,\,-3)\end{aligned}

ממשיכים עוד פעם אותו וקטור

מ- $M$ ל- $B$ הולכים אותו וקטור כמו מ- $A$ ל- $M$ . אפשר גם: $B=2M-A$ . מי שמצא את האמצע של $A$ ו- $M$ הלך בכיוון ההפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונות הנקודות $A(1,\,0,\,2)$ , $B(3,\,1,\,5)$ , $C(0,\,4,\,-1)$ , $D(2,\,5,\,2)$ . טענה: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\overrightarrow{AB}=(2,\,1,\,3)

\overrightarrow{CD}=(2,\,1,\,3)

אותם רכיבים

וקטורים שווים אם כל הרכיבים שווים, גם אם הם מתחילים בנקודות שונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בתיבה שבסרטוט $A$ בראשית, $AB=4$ , $AD=5$ , $AA'=3$ . מהי ההצגה האלגברית של $\overrightarrow{D'B}$ ?

$(4,\,5,\,3)$
$(-4,\,5,\,3)$
$(4,\,-5,\,-3)$
$(4,\,0,\,0)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $(4,\,-5,\,-3)$

הפתרון:

\begin{aligned}D' &= (0,\,5,\,3) \\ \quad B &= (4,\,0,\,0)\end{aligned}

קודם השיעורים

\begin{aligned}\overrightarrow{D'B} &= B-D' \\ &= (4,\,-5,\,-3)\end{aligned}

הווקטור מתחיל ב- $D'$ ונגמר ב- $B$ : $B-D'$ . מי שבחר $(-4,\,5,\,3)$ חישב את $\overrightarrow{BD'}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון $\underline{u}=(2,\,k,\,6)$ , $k>0$ ו- $|\underline{u}|=7$ . מצאו את $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\sqrt{4+k^2+36}=7

\begin{aligned}k^2 &= 49-40 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ k \\ &= 3\end{aligned}

$k>0$ , ולכן $-3$ נפסל

מעלים את שני האגפים בריבוע: $4+k^2+36=49$ . מי שכתב $4+k+36=49$ שכח לרבע את $k$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

שורה אחת שגויה — מצאו אותה. ( $\underline{u}=(-2,\,1,\,-2)$ )

|\underline{u}|^2=(-2)^2+1^2+(-2)^2

=-4+1-4=-7

|\underline{u}|=\sqrt{-7}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $=-4+1-4=-7$ → $=4+1+4=9$

הפתרון:

\begin{aligned}|\underline{u}|^2 &= 4+1+4 \\ &= 9\end{aligned}

|\underline{u}|=3

$(-2)^2=4$ , לא $-4$ . אורך הוא תמיד חיובי: שורש של מספר שלילי הוא סימן לטעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

וקטורים שווים ווקטורים נגדיים

האורך של וקטור

אמצע של קטע

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev