מערכת צירים במרחב · וקטורים במערכת צירים במרחב · כיתה י״ב

במישור מספיקים שני צירים. במרחב יש שלושה צירים: $x$ , $y$ ו- $z$ . כל ציר מאונך לשני האחרים.

הצירים נפגשים בראשית הצירים $O(0,\,0,\,0)$ . כל נקודה במרחב מקבלת שלושה שיעורים: $P(x,\,y,\,z)$ .

מהם השיעורים של הקודקוד $B'$ בתיבה הזאת?

להציג את התשובה והפתרון

$B'(4,\,0,\,3)$ : $4$ על ציר $x$ , אפס על ציר $y$ , ו- $3$ למעלה.

נקודות על הצירים ובמישורי הצירים

כל שני צירים קובעים מישור צירים. יש שלושה: מישור $xy$ (ה"רצפה"), מישור $xz$ ומישור $yz$ .

(x,\,0,\,0)

נקודה על ציר $x$ : שני שיעורים הם אפס

(x,\,y,\,0)

נקודה במישור $xy$ : $z=0$

(0,\,y,\,z)

נקודה במישור $yz$ : $x=0$

באיזה מישור צירים נמצאת הנקודה $P(0,\,4,\,-2)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

במישור $yz$ , כי $x=0$ . השיעור $z=-2$ אומר שהיא מתחת למישור $xy$ .

תיבה שמונחת על הצירים

תיבה שקודקוד אחד שלה בראשית, ושלושה מקצועות שלה על הצירים: כל שיעור של קודקוד הוא אורך המקצוע או אפס.

הקודקודים של תיבה

בתיבה $ABCDA'B'C'D'$ הקודקוד $A$ בראשית, $B$ על ציר $x$ , $D$ על ציר $y$ ו- $A'$ על ציר $z$ . $AB=6$ , $AD=4$ , $AA'=5$ . מצאו את שיעורי $B'$ , $C'$ ו- $D'$ .

B'(6,\,0,\,5)

הולכים לאורך $AB$ ואז למעלה

C'(6,\,4,\,5)

לאורך שלושת המקצועות: הקודקוד הרחוק מ- $A$

D'(0,\,4,\,5)

לאורך $AD$ ואז למעלה

לכל קודקוד שואלים, ציר אחרי ציר: האם הלכנו לאורך המקצוע שעל הציר הזה? כן: אורך המקצוע. לא: אפס.

באותה תיבה ( $AB=6$ , $AD=4$ , $AA'=5$ ), איזה קודקוד הוא $(6,\,4,\,0)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$C$ : הלכנו לאורך $AB$ ולאורך $AD$ , ולא עלינו ( $z=0$ ). זה קודקוד של הבסיס.

שיעור יכול להיות גם שלילי: $Q(-2,\,3,\,1)$ נמצאת $2$ יחידות מאחורי מישור $yz$ .

שלוש טעויות שחוזרות.

C'(5,\,4,\,3)

C'(4,\,5,\,3)

הסדר קבוע: קודם $x$ , אחר כך $y$ , ובסוף $z$ . לא מחליפים.

(0,\,3,\,0)

(0,\,0,\,3)

נקודה על ציר $z$ , בגובה $3$ : שני השיעורים הראשונים הם אפס.

xy:\ x=0

xy:\ z=0

במישור $xy$ הגובה הוא אפס: $z=0$ .

תרגילים

תרגיל 1

בתיבה שבסרטוט $A$ בראשית, $AB=6$ על ציר $x$ , $AD=4$ על ציר $y$ , $AA'=5$ על ציר $z$ . השלימו את שיעורי הקודקוד $C$ .

$x=$ ____ ; $y=$ ____ ; $z=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=$ 6 ; $y=$ 4 ; $z=$ 0

הפתרון:

C=(6,\,4,\,0)

לאורך $AB$ ולאורך $AD$ , בלי לעלות

$C$ הוא קודקוד של הבסיס, ולכן $z=0$ . מי שכתב $5$ בשיעור השלישי בלבל בין $C$ ל- $C'$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותה תיבה. מהם שיעורי הקודקוד $D'$ ?

$(0,\,0,\,5)$
$(4,\,0,\,5)$
$(0,\,4,\,5)$
$(6,\,4,\,5)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $(0,\,4,\,5)$

הפתרון:

D'=(0,\,4,\,5)

$x=0$ : לא הלכנו לאורך $AB$

הסדר הוא $(x,\,y,\,z)$ . מי שבחר $(4,\,0,\,5)$ החליף את $x$ ו- $y$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בתיבה שבסרטוט $A$ בראשית, $AB=3$ , $AD=7$ , $AA'=2$ , כמו בסרטוט. מהו שיעור ה- $y$ של הקודקוד $C'$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

C'=(3,\,7,\,2)

y=7

השיעור השני

שיעור ה- $y$ הוא השני בשלושה. מי שענה $3$ קרא את שיעור ה- $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הנקודה $(0,\,0,\,-4)$ נמצאת על ציר $z$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ y &= 0\end{aligned}

שני השיעורים הראשונים אפס

השיעור $-4$ שלילי: הנקודה על ציר $z$ , מתחת לראשית. שלילי לא מוציא אותה מהציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

התאימו כל נקודה למקום שלה.

$(5,\,0,\,0)$
$(0,\,0,\,5)$
$(2,\,3,\,0)$
$(0,\,3,\,2)$

במישור $xy$
במישור $yz$
על ציר $x$
על ציר $z$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(5,\,0,\,0)$ — על ציר $x$ · $(0,\,0,\,5)$ — על ציר $z$ · $(2,\,3,\,0)$ — במישור $xy$ · $(0,\,3,\,2)$ — במישור $yz$

הפתרון:

(x,\,0,\,0)\ ,\ (0,\,0,\,z)\ ,\ (x,\,y,\,0)\ ,\ (0,\,y,\,z)

מחפשים את האפסים

נקודה על ציר: שני אפסים. נקודה במישור צירים: אפס אחד, והוא אומר איזה ציר חסר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מיינו: באיזה מישור צירים נמצאת כל נקודה?

מישור $xy$
מישור $xz$

$(-2,\,5,\,0)$
$(1,\,0,\,-1)$
$(3,\,0,\,7)$
$(4,\,1,\,0)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(4,\,1,\,0)$ — מישור $xy$ · $(-2,\,5,\,0)$ — מישור $xy$ · $(3,\,0,\,7)$ — מישור $xz$ · $(1,\,0,\,-1)$ — מישור $xz$

הפתרון:

\begin{aligned}z &= 0 \Rightarrow xy\ ;\quad y \\ &= 0 \Rightarrow xz\end{aligned}

השיעור שהוא אפס הוא הציר שחסר בשם המישור. במישור $xz$ אין $y$ , ולכן $y=0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בתיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסרטוט, $A$ בראשית. איזה קודקוד הוא $(5,\,0,\,4)$ ?

$B'$
$B$
$A'$
$C'$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $B'$

הפתרון:

(5,\,0,\,4)=B'

לאורך $AB$ , בלי $AD$ , ולמעלה

$y=0$ : לא הלכנו לאורך $AD$ . מי שבחר $C'$ שכח שאצל $C'$ גם $y=2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

קובייה שאורך המקצוע שלה $6$ מונחת כך שקודקוד אחד בראשית ושלושה מקצועות על הצירים החיוביים. מהו סכום שלושת השיעורים של הקודקוד הרחוק ביותר מהראשית?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

(6,\,6,\,6)

הקודקוד הרחוק: לאורך שלושת המקצועות

6+6+6=18

בקודקוד הרחוק כל שיעור שווה למקצוע. מי שענה $12$ שכח את הגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הנקודה $M$ היא מרכז הפאה העליונה $A'B'C'D'$ של התיבה שבסרטוט ( $AB=6$ , $AD=4$ , $AA'=5$ ). השלימו את שיעוריה.

$x=$ ____ ; $y=$ ____ ; $z=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=$ 3 ; $y=$ 2 ; $z=$ 5

הפתרון:

\begin{aligned}x &= \frac{6}{2} \\ &= 3 \\ \quad y &= \frac{4}{2} \\ &= 2\end{aligned}

באמצע האורך ובאמצע הרוחב

z=5

על הפאה העליונה: הגובה המלא

מרכז הפאה העליונה: חצי מהאורך ומהרוחב, אבל הגובה המלא. מי שכתב $z=\frac{5}{2}$ מצא את מרכז התיבה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הנקודה $(3,\,0,\,2)$ נמצאת במישור $xy$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

y=0 \Rightarrow \text{מישור } xz

במישור $xy$ צריך $z=0$ , וכאן $z=2$ . האפס נמצא במקום של $y$ , ולכן הנקודה במישור $xz$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

שורה אחת שגויה — מצאו אותה. (תיבה: $A$ בראשית, $AB=2$ , $AD=3$ , $AA'=4$ .)

B=(2,\,0,\,0)

C=(2,\,3,\,0)

C'=(2,\,3,\,4)

D'=(3,\,0,\,4)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D'=(3,\,0,\,4)$ → $D'=(0,\,3,\,4)$

הפתרון:

D'=(0,\,3,\,4)

$AD$ על ציר $y$

המקצוע $AD$ על ציר $y$ , ולכן $3$ הוא שיעור ה- $y$ , במקום השני. השורה האחרונה החליפה את $x$ ו- $y$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

נקודות על הצירים ובמישורי הצירים

תיבה שמונחת על הצירים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev