הביעו באמצעות u, v, w

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

השאלה הקבועה של הבגרות: «הביעו באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v} ו-w‾\underline{w} את הווקטור…». כלומר: כתבו אותו כצירוף של שלושתם.

11

מוצאים מסלול מההתחלה אל הסוף, על מקצועות שמכירים

22

כותבים כל צעד ב-u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w}, עם שבר לחלק של מקצוע

33

מחברים ומכנסים איברים דומים

בפירמידה

בפירמידה ABCSABCS: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline{w}. השלושה יוצאים מ-AA.

הביעו את AF→\overrightarrow{AF}

FF על BCBC, ו-BF→=34BC→\overrightarrow{BF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}.

BC→=AC→−AB→=v‾−u‾\begin{aligned}\overrightarrow{BC} &= \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \\ &= \underline{v}-\underline{u}\end{aligned}

סוף פחות התחלה

AF→=AB→+BF→\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}

מסלול: AA, BB, FF

=u‾+34(v‾−u‾)=\underline{u}+\frac{3}{4}(\underline{v}-\underline{u})
=14u‾+34v‾=\frac{1}{4}\underline{u}+\frac{3}{4}\underline{v}

מכנסים: 1−34=141-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}

הביעו את AE→\overrightarrow{AE}. (EE היא אמצע SCSC.)

להציג את התשובה והפתרון

AE→=v‾+12CS→=v‾+12(w‾−v‾)=12v‾+12w‾\overrightarrow{AE}=\underline{v}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CS}=\underline{v}+\frac{1}{2}(\underline{w}-\underline{v})=\frac{1}{2}\underline{v}+\frac{1}{2}\underline{w}.

אל אמצע של קטע: AE→=12(AC→+AS→)\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AS}) כש-EE אמצע CSCS. הממוצע של שני הווקטורים.

הביעו את EF→\overrightarrow{EF}

משתמשים בשני הווקטורים שכבר מצאנו.

EF→=AF→−AE→\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}

סוף פחות התחלה

=14u‾+34v‾−(12v‾+12w‾)=\frac{1}{4}\underline{u}+\frac{3}{4}\underline{v}-(\frac{1}{2}\underline{v}+\frac{1}{2}\underline{w})
=14u‾+14v‾−12w‾=\frac{1}{4}\underline{u}+\frac{1}{4}\underline{v}-\frac{1}{2}\underline{w}

שימו לב לסימן של w‾\underline{w}

בתיבה

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D': AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline{w}. MM אמצע C′D′C'D', ו-NN על BB′BB' כך ש-BN:NB′=1:2BN:NB'=1:2.

הביעו את AM→\overrightarrow{AM}.

להציג את התשובה והפתרון

AM→=AD→+DD′→+12D′C′→=12u‾+v‾+w‾\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD'}+\frac{1}{2}\overrightarrow{D'C'}=\frac{1}{2}\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}. שימו לב: D′C′→=u‾\overrightarrow{D'C'}=\underline{u}, כי מ-D′D' אל C′C' הולכים עם u‾\underline{u}.

במנסרה

במנסרה ABCA′B′C′ABCA'B'C': AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline{w}, ו-KK אמצע B′C′B'C'.

הביעו את AK→\overrightarrow{AK}

עולים קודם, ואחר כך הולכים בבסיס העליון.

AK→=AA′→+A′K→\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'K}
A′K→=12(A′B′→+A′C′→)=12(u‾+v‾)\begin{aligned}\overrightarrow{A'K} &= \frac{1}{2}(\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{A'C'}) \\ &= \frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})\end{aligned}

אמצע: הממוצע

AK→=12u‾+12v‾+w‾\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}+\underline{w}

שתי טעויות שחוזרות בבגרות.

BF→=34v‾\overrightarrow{BF}=\frac{3}{4}\underline{v}
BF→=34(v‾−u‾)\overrightarrow{BF}=\frac{3}{4}(\underline{v}-\underline{u})

FF על BCBC, לא על ACAC. החלק הוא של BC→\overrightarrow{BC}.

CB→=v‾−u‾\overrightarrow{CB}=\underline{v}-\underline{u}
CB→=u‾−v‾\overrightarrow{CB}=\underline{u}-\underline{v}

סוף פחות התחלה: AB→−AC→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}, כלומר u‾−v‾\underline{u}-\underline{v}.

בדיקה מהירה: מסלול אחר חייב לתת אותו צירוף. אם יצא משהו אחר, יש טעות באחד הצעדים.

תרגילים

תרגיל 1

ABCSEF

בפירמידה ABCSABCS: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline{w}. הביעו את BS→\overrightarrow{BS}. כתבו בצורה αu‾+βv‾+γw‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w} (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/21/2).

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: α=\alpha= -1 ; β=\beta= 0 ; γ=\gamma= 1

הפתרון:

BS→=AS→−AB→\overrightarrow{BS}=\overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AB}

סוף פחות התחלה

=−u‾+w‾=-\underline{u}+\underline{w}

הווקטור מתחיל ב-BB: לכן −u‾-\underline{u}, לא +u‾+\underline{u}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ABCSEF

באותה פירמידה, EE אמצע SCSC. הביעו את BE→\overrightarrow{BE}. כתבו בצורה αu‾+βv‾+γw‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w} (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/21/2).

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: α=\alpha= -1 ; β=\beta= 0.5 ; γ=\gamma= 0.5

הפתרון:

BE→=AE→−AB→\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}
AE→=12v‾+12w‾\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\underline{v}+\frac{1}{2}\underline{w}

אמצע: ממוצע

=−u‾+12v‾+12w‾=-\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}+\frac{1}{2}\underline{w}

קודם הוקטור מ-AA אל EE, ואחר כך מחסרים את ההתחלה. מי שקיבל α=1\alpha=1 שכח את הסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABCSEF

באותה פירמידה, FF על BCBC ו-BF→=34BC→\overrightarrow{BF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}. הביעו את SF→\overrightarrow{SF}. כתבו בצורה αu‾+βv‾+γw‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w} (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/21/2).

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: α=\alpha= 0.25 ; β=\beta= 0.75 ; γ=\gamma= -1

הפתרון:

SF→=AF→−AS→\overrightarrow{SF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AS}
=14u‾+34v‾−w‾=\frac{1}{4}\underline{u}+\frac{3}{4}\underline{v}-\underline{w}

SS למעלה ו-FF בבסיס: יורדים, ולכן γ=−1\gamma=-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ABCDA'B'C'D'MN

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D': AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline{w}, ו-MM אמצע C′D′C'D'. מהו BM→\overrightarrow{BM}?

  1. 12u‾+v‾+w‾\frac{1}{2}\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}
  2. −12u‾+v‾-\frac{1}{2}\underline{u}+\underline{v}
  3. −u‾+v‾+w‾-\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}
  4. −12u‾+v‾+w‾-\frac{1}{2}\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד −12u‾+v‾+w‾-\frac{1}{2}\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}

הפתרון:

BM→=AM→−AB→\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}
=12u‾+v‾+w‾−u‾=\frac{1}{2}\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}-\underline{u}
=−12u‾+v‾+w‾=-\frac{1}{2}\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}

התשובה השנייה היא AM→\overrightarrow{AM}, ההתחלה ב-AA ולא ב-BB.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABCDA'B'C'D'MN

באותה תיבה, NN על BB′BB' ו-BN:NB′=1:2BN:NB'=1:2. הביעו את DN→\overrightarrow{DN}. כתבו בצורה αu‾+βv‾+γw‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w} (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/21/2).

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: α=\alpha= 1 ; β=\beta= -1 ; γ=\gamma= 0.333333

הפתרון:

BN→=13w‾\overrightarrow{BN}=\frac{1}{3}\underline{w}

1:21:2 הוא שליש מהמקצוע

DN→=DA→+AB→+BN→\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}
=u‾−v‾+13w‾=\underline{u}-\underline{v}+\frac{1}{3}\underline{w}

BN:NB′=1:2BN:NB'=1:2 נותן 13\frac{1}{3}, לא 12\frac{1}{2}: יש שלושה חלקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCA'B'C'K

במנסרה ABCA′B′C′ABCA'B'C': AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline{w}, ו-KK אמצע B′C′B'C'. הביעו את CK→\overrightarrow{CK}. כתבו בצורה αu‾+βv‾+γw‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w} (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/21/2).

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: α=\alpha= 0.5 ; β=\beta= -0.5 ; γ=\gamma= 1

הפתרון:

CK→=AK→−AC→\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AC}
=12u‾+12v‾+w‾−v‾=\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}+\underline{w}-\underline{v}
=12u‾−12v‾+w‾=\frac{1}{2}\underline{u}-\frac{1}{2}\underline{v}+\underline{w}

12−1=−12\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}: המקדם של v‾\underline{v} שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCSEF

בפירמידה ABCSABCS (EE אמצע SCSC, BF→=34BC→\overrightarrow{BF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}): AE→=12v‾+12w‾\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\underline{v}+\frac{1}{2}\underline{w}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

AE→=12(AC→+AS→)\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AS})

אמצע של CSCS

אל אמצע הקטע CSCS הולכים בממוצע של AC→\overrightarrow{AC} ו-AS→\overrightarrow{AS}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCSEF

בפירמידה ABCSABCS (AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline{w}). שורה אחת שגויה: מצאו אותה.

CB→=v‾−u‾\overrightarrow{CB}=\underline{v}-\underline{u}
SC→=v‾−w‾\overrightarrow{SC}=\underline{v}-\underline{w}
BS→=w‾−u‾\overrightarrow{BS}=\underline{w}-\underline{u}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: CB→=v‾−u‾\overrightarrow{CB}=\underline{v}-\underline{u} → CB→=u‾−v‾\overrightarrow{CB}=\underline{u}-\underline{v}

הפתרון:

CB→=AB→−AC→=u‾−v‾\begin{aligned}\overrightarrow{CB} &= \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \\ &= \underline{u}-\underline{v}\end{aligned}

סוף פחות התחלה

הסוף הוא BB, ולכן u‾\underline{u} בא עם פלוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABCDA'B'C'D'P

בתיבה (אותם u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w}): PP היא מרכז הפאה A′B′C′D′A'B'C'D', נקודת המפגש של האלכסונים. הביעו את AP→\overrightarrow{AP}. כתבו בצורה αu‾+βv‾+γw‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w} (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/21/2).

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: α=\alpha= 0.5 ; β=\beta= 0.5 ; γ=\gamma= 1

הפתרון:

A′P→=12A′C′→=12(u‾+v‾)\begin{aligned}\overrightarrow{A'P} &= \frac{1}{2}\overrightarrow{A'C'} \\ &= \frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

AP→=w‾+12u‾+12v‾\overrightarrow{AP}=\underline{w}+\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}

המרכז הוא אמצע האלכסון A′C′A'C': חצי מ-u‾+v‾\underline{u}+\underline{v}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABCSG

בפירמידה ABCSABCS (AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline{w}): GG על SBSB ו-SG→=13SB→\overrightarrow{SG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SB}. מהו AG→\overrightarrow{AG}?

  1. 13u‾+w‾\frac{1}{3}\underline{u}+\underline{w}
  2. 13u‾+23w‾\frac{1}{3}\underline{u}+\frac{2}{3}\underline{w}
  3. 13u‾−13w‾\frac{1}{3}\underline{u}-\frac{1}{3}\underline{w}
  4. 23u‾+13w‾\frac{2}{3}\underline{u}+\frac{1}{3}\underline{w}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 13u‾+23w‾\frac{1}{3}\underline{u}+\frac{2}{3}\underline{w}

הפתרון:

AG→=AS→+13SB→\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AS}+\frac{1}{3}\overrightarrow{SB}
=w‾+13(u‾−w‾)=\underline{w}+\frac{1}{3}(\underline{u}-\underline{w})
=13u‾+23w‾=\frac{1}{3}\underline{u}+\frac{2}{3}\underline{w}

GG קרובה ל-SS, ולכן המקדם של w‾\underline{w} גדול: 23\frac{2}{3}. התשובה השנייה מתאימה ל-GG קרובה ל-BB.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

ABCSEH

בפירמידה ABCSABCS, EE אמצע SCSC. הנקודה HH על BCBC, ו-BH→=tBC→\overrightarrow{BH}=t\overrightarrow{BC}. מצאו את tt שעבורו EH→\overrightarrow{EH} מקביל ל-SB→\overrightarrow{SB}. (אפשר לכתוב שבר.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

AH→=u‾+t(v‾−u‾)=(1−t)u‾+tv‾\begin{aligned}\overrightarrow{AH} &= \underline{u}+t(\underline{v}-\underline{u}) \\ &= (1-t)\underline{u}+t\underline{v}\end{aligned}
EH→=AH→−AE→=(1−t)u‾+(t−12)v‾−12w‾\begin{aligned}\overrightarrow{EH} &= \overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AE} \\ &= (1-t)\underline{u}+\left(t-\frac{1}{2}\right)\underline{v}-\frac{1}{2}\underline{w}\end{aligned}
SB→=u‾−w‾\overrightarrow{SB}=\underline{u}-\underline{w}

אין בו v‾\underline{v}

t−12=0⇒t=12\begin{aligned}t-\frac{1}{2} &= 0 \Rightarrow t \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

מקביל: גם ב-EH→\overrightarrow{EH} המקדם של v‾\underline{v} חייב להיות 00

EH→=12u‾−12w‾=12SB→\begin{aligned}\overrightarrow{EH} &= \frac{1}{2}\underline{u}-\frac{1}{2}\underline{w} \\ &= \frac{1}{2}\overrightarrow{SB}\end{aligned}

בדיקה ✓

HH יוצאת אמצע BCBC: EHEH הוא קטע אמצעים במשולש SBCSBC. מקבילות = כפולה, ולכן מקדם שחסר באחד חייב להיות 00 גם בשני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

ABCDA'B'C'D'MN

בתיבה (אותם u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w}), MM אמצע C′D′C'D' ו-NN על BB′BB' עם BN:NB′=1:2BN:NB'=1:2. הביעו את NM→\overrightarrow{NM}. כתבו בצורה αu‾+βv‾+γw‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w} (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/21/2).

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: α=\alpha= -0.5 ; β=\beta= 1 ; γ=\gamma= 0.666667

הפתרון:

NM→=AM→−AN→\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}

סוף פחות התחלה

=(12u‾+v‾+w‾)−(u‾+13w‾)=(\frac{1}{2}\underline{u}+\underline{v}+\underline{w})-(\underline{u}+\frac{1}{3}\underline{w})
=−12u‾+v‾+23w‾=-\frac{1}{2}\underline{u}+\underline{v}+\frac{2}{3}\underline{w}

1−13=231-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}: מ-NN עולים עוד שני שלישים של המקצוע עד הבסיס העליון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת