כפל בסקלר וצירוף ליניארי

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

2u‾2\underline{u} הוא וקטור באותו כיוון כמו u‾\underline{u}, וארוך פי 2. −3u‾-3\underline{u} ארוך פי 33, ובכיוון ההפוך.

k>0k>0

אותו כיוון כמו u‾\underline{u}

k<0k<0

כיוון הפוך

k=0k=0

וקטור האפס

∣ku‾∣=∣k∣⋅∣u‾∣|k\underline{u}|=|k| \cdot |\underline{u}|

האורך מוכפל בערך המוחלט של kk.

∣u‾∣=6|\underline{u}|=6. מהו ∣−12u‾∣|-\frac{1}{2}\underline{u}|?

להציג את התשובה והפתרון

12⋅6=3\frac{1}{2} \cdot 6=3. הסימן −- הופך את הכיוון, לא את האורך.

נקודה על מקצוע

MM היא אמצע ABAB: AM→=12AB→\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.

FF נמצאת על BCBC, ו-BF→=23BC→\overrightarrow{BF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}. אז FF מחלקת את BCBC ביחס 2:12:1, ו-FC→=13BC→\overrightarrow{FC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}.

הנקודה KK על AA′AA', ו-AK:KA′=1:3AK:KA'=1:3. כתבו את AK→\overrightarrow{AK} בעזרת AA′→\overrightarrow{AA'}.

להציג את התשובה והפתרון

AK→=14AA′→\overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AA'}. היחס 1:31:3 מחלק את המקצוע ל-44 חלקים, ו-AKAK הוא חלק אחד מהם.

מקבילים = כפולה

a‾∥b‾  ⟺  a‾=tb‾\underline{a} \parallel \underline{b} \iff \underline{a}=t\underline{b}

שני וקטורים (לא אפס) מקבילים כשאחד הוא כפולה של השני.

האם הם מקבילים?

האם a‾=2u‾−4v‾\underline{a}=2\underline{u}-4\underline{v} מקביל ל-b‾=−u‾+2v‾\underline{b}=-\underline{u}+2\underline{v}?

a‾=tb‾⇒2=−t −4=2t\begin{aligned}\underline{a} &= t\underline{b} \Rightarrow 2 \\ &= -t \\ \ -4 &= 2t\end{aligned}

משווים את המקדמים של u‾\underline{u} ושל v‾\underline{v}

t=−2t=-2

אותו tt בשתי המשוואות

a‾=−2b‾\underline{a}=-2\underline{b}

מקבילים, בכיוון הפוך

צירוף ליניארי

צירוף ליניארי של u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w} הוא סכום של כפולות שלהם. המספרים α\alpha, β\beta, γ\gamma נקראים מקדמים.

a‾=αu‾+βv‾+γw‾\underline{a}=\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w}

כש-u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w} לא נמצאים באותו מישור, יש לכל וקטור במרחב דרך אחת בלבד להיכתב כך.

מכנסים איברים דומים

פשטו: 2(u‾−v‾)+3(v‾+w‾)−w‾2(\underline{u}-\underline{v})+3(\underline{v}+\underline{w})-\underline{w}.

2u‾−2v‾+3v‾+3w‾−w‾2\underline{u}-2\underline{v}+3\underline{v}+3\underline{w}-\underline{w}

פותחים סוגריים

=2u‾+v‾+2w‾=2\underline{u}+\underline{v}+2\underline{w}

כמו 2x+y+2z2x+y+2z באלגברה

αu‾+βv‾+γw‾=2u‾−w‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w}=2\underline{u}-\underline{w}. מהם α\alpha, β\beta, γ\gamma?

להציג את התשובה והפתרון

α=2\alpha=2, β=0\beta=0, γ=−1\gamma=-1. הכתיבה יחידה, ולכן משווים מקדם מול מקדם. v‾\underline{v} חסר, ולכן β=0\beta=0.

השבר של החלק השני.

BF→=23BC→⇒FC→=23BC→\begin{aligned}\overrightarrow{BF} &= \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} \Rightarrow \overrightarrow{FC} \\ &= \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\end{aligned}
FC→=13BC→\overrightarrow{FC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}

מה שנשאר מ-BCBC אחרי 23\frac{2}{3} הוא 13\frac{1}{3}.

CF→=13BC→\overrightarrow{CF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}
CF→=−13BC→\overrightarrow{CF}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}

מ-CC אל FF הולכים נגד BC→\overrightarrow{BC}.

תרגילים

תרגיל 1

∣u‾∣=4|\underline{u}|=4. חשבו את ∣−3u‾∣|-3\underline{u}|.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

∣−3u‾∣=∣−3∣⋅4=12\begin{aligned}|-3\underline{u}| &= |-3| \cdot 4 \\ &= 12\end{aligned}

האורך הוא 1212, לא −12-12: אורך אף פעם לא שלילי. ה-−- רק הופך את הכיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

איזה וקטור מקביל ל-3u‾−6v‾3\underline{u}-6\underline{v}?

  1. 3u‾+6v‾3\underline{u}+6\underline{v}
  2. 6u‾−3v‾6\underline{u}-3\underline{v}
  3. u‾+2v‾\underline{u}+2\underline{v}
  4. −u‾+2v‾-\underline{u}+2\underline{v}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד −u‾+2v‾-\underline{u}+2\underline{v}

הפתרון:

3u‾−6v‾=−3(−u‾+2v‾)3\underline{u}-6\underline{v}=-3(-\underline{u}+2\underline{v})

כפולה, עם t=−3t=-3

ב-u‾+2v‾\underline{u}+2\underline{v} היחס בין המקדמים הוא 1:21:2 אבל בסימן אחד, וב-3u‾−6v‾3\underline{u}-6\underline{v} בסימנים הפוכים: לא כפולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פשטו: 3(u‾+w‾)−2(u‾−v‾+w‾)3(\underline{u}+\underline{w})-2(\underline{u}-\underline{v}+\underline{w}). כתבו בצורה αu‾+βv‾+γw‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w}.

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: α=\alpha= 1 ; β=\beta= 2 ; γ=\gamma= 1

הפתרון:

3u‾+3w‾−2u‾+2v‾−2w‾3\underline{u}+3\underline{w}-2\underline{u}+2\underline{v}-2\underline{w}

פותחים סוגריים: −2-2 כופל כל איבר

=u‾+2v‾+w‾=\underline{u}+2\underline{v}+\underline{w}

−2⋅(−v‾)=+2v‾-2 \cdot (-\underline{v})=+2\underline{v}. מי שכתב −2-2 ל-β\beta שכח את המינוס שלפני הסוגריים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הנקודה FF על הקטע BCBC, ו-BF→=35BC→\overrightarrow{BF}=\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}. השלימו (אפשר לכתוב שבר).

FC→=\overrightarrow{FC}= ____ BC→\overrightarrow{BC} ; CF→=\overrightarrow{CF}= ____ BC→\overrightarrow{BC}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: FC→=\overrightarrow{FC}= 0.4 BC→\overrightarrow{BC} ; CF→=\overrightarrow{CF}= -0.4 BC→\overrightarrow{BC}

הפתרון:

FC→=BC→−BF→=25BC→\begin{aligned}\overrightarrow{FC} &= \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BF} \\ &= \frac{2}{5}\overrightarrow{BC}\end{aligned}
CF→=−25BC→\overrightarrow{CF}=-\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}

כיוון הפוך

35\frac{3}{5} ועוד 25\frac{2}{5} הם המקצוע כולו. ו-CF→\overrightarrow{CF} הולך אחורה: מקדם שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABT

הנקודה TT על ABAB, ו-AT:TB=2:3AT:TB=2:3. AT→=kAB→\overrightarrow{AT}=k\overrightarrow{AB}. מהו kk? (אפשר לכתוב שבר)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4

הפתרון:

AT:TB=2:3⇒AT=25AB\begin{aligned}AT:TB &= 2:3 \Rightarrow AT \\ &= \frac{2}{5}AB\end{aligned}

2+3=52+3=5 חלקים

AT→=25AB→\overrightarrow{AT}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}

היחס 2:32:3 הוא חלק לחלק, לא חלק לשלם. לכן 25\frac{2}{5}, ולא 23\frac{2}{3}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

אם a‾=−12b‾\underline{a}=-\frac{1}{2}\underline{b}, אז a‾\underline{a} ו-b‾\underline{b} מקבילים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

a‾=tb‾ t=−12\begin{aligned}\underline{a} &= t\underline{b} \\ \ t &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

כפולה

מקדם שלילי לא מבטל את המקבילות: הוא רק אומר כיוון הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מצאו את tt שעבורו a‾=4u‾+tv‾\underline{a}=4\underline{u}+t\underline{v} מקביל ל-b‾=2u‾−3v‾\underline{b}=2\underline{u}-3\underline{v}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -6

הפתרון:

a‾=kb‾⇒4=2k\begin{aligned}\underline{a} &= k\underline{b} \Rightarrow 4 \\ &= 2k\end{aligned}

מהמקדם של u‾\underline{u}

k=2⇒t=2⋅(−3)=−6\begin{aligned}k &= 2 \Rightarrow t \\ &= 2 \cdot (-3) \\ &= -6\end{aligned}

מהמקדם של v‾\underline{v}

קודם מוצאים את kk מהמקדם הידוע, ורק אחר כך את tt. t=−3t=-3 שכח את k=2k=2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCA'B'C'MK

במנסרה ABCA′B′C′ABCA'B'C': AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline{w}. MM היא אמצע B′C′B'C'. הביעו את AM→\overrightarrow{AM}.

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: α=\alpha= 0.5 ; β=\beta= 0.5 ; γ=\gamma= 1

הפתרון:

AM→=AA′→+A′B′→+B′M→\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{B'M}

עולים, הולכים, ואז חצי מקצוע

=w‾+u‾+12(v‾−u‾)=\underline{w}+\underline{u}+\frac{1}{2}(\underline{v}-\underline{u})

B′C′→=v‾−u‾\overrightarrow{B'C'}=\underline{v}-\underline{u}

=12u‾+12v‾+w‾=\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}+\underline{w}

B′C′→\overrightarrow{B'C'} הוא לא v‾\underline{v}: הוא הולך מ-B′B' אל C′C', כלומר v‾−u‾\underline{v}-\underline{u}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABCA'B'C'MK

באותה מנסרה, KK על CC′CC' ו-CK→=13CC′→\overrightarrow{CK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CC'}. הביעו את BK→\overrightarrow{BK}.

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: α=\alpha= -1 ; β=\beta= 1 ; γ=\gamma= 0.333333

הפתרון:

BK→=BA→+AC→+CK→\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CK}
=−u‾+v‾+13w‾=-\underline{u}+\underline{v}+\frac{1}{3}\underline{w}

CC′→=w‾\overrightarrow{CC'}=\underline{w}

CC′→=AA′→\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AA'} כי כל המקצועות הצדדיים של מנסרה שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מיינו: האם הווקטור מקביל ל-u‾−2v‾\underline{u}-2\underline{v}?

  • מקביל
  • לא מקביל
  • −u‾+2v‾-\underline{u}+2\underline{v}
  • −2u‾+v‾-2\underline{u}+\underline{v}
  • 12u‾−v‾\frac{1}{2}\underline{u}-\underline{v}
  • u‾+2v‾\underline{u}+2\underline{v}
  • 2u‾−v‾2\underline{u}-\underline{v}
  • 3u‾−6v‾3\underline{u}-6\underline{v}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: −u‾+2v‾-\underline{u}+2\underline{v} — מקביל · 3u‾−6v‾3\underline{u}-6\underline{v} — מקביל · 12u‾−v‾\frac{1}{2}\underline{u}-\underline{v} — מקביל · 2u‾−v‾2\underline{u}-\underline{v} — לא מקביל · u‾+2v‾\underline{u}+2\underline{v} — לא מקביל · −2u‾+v‾-2\underline{u}+\underline{v} — לא מקביל

הפתרון:

−u‾+2v‾=−1(u‾−2v‾)-\underline{u}+2\underline{v}=-1(\underline{u}-2\underline{v})
12u‾−v‾=12(u‾−2v‾)\frac{1}{2}\underline{u}-\underline{v}=\frac{1}{2}(\underline{u}-2\underline{v})

מקביל = אותו יחס בין המקדמים: 1:(−2)1:(-2). 2u‾−v‾2\underline{u}-\underline{v} הפך את התפקידים של u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

ABCA'B'C'MK

באותה מנסרה: איזה ביטוי שווה ל-MK→\overrightarrow{MK}?

  1. 12u‾−12v‾+23w‾\frac{1}{2}\underline{u}-\frac{1}{2}\underline{v}+\frac{2}{3}\underline{w}
  2. −u‾+v‾−23w‾-\underline{u}+\underline{v}-\frac{2}{3}\underline{w}
  3. −12u‾+12v‾−23w‾-\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}-\frac{2}{3}\underline{w}
  4. −12u‾+12v‾+13w‾-\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}+\frac{1}{3}\underline{w}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג −12u‾+12v‾−23w‾-\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}-\frac{2}{3}\underline{w}

הפתרון:

MK→=AK→−AM→\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AM}

סוף פחות התחלה

AK→=v‾+13w‾\overrightarrow{AK}=\underline{v}+\frac{1}{3}\underline{w}
=−12u‾+12v‾−23w‾=-\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}-\frac{2}{3}\underline{w}

הדרך הקצרה: סוף פחות התחלה, משני וקטורים שכבר מצאנו. KK נמוכה מ-MM, ולכן המקדם של w‾\underline{w} שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

הנקודה FF על BCBC ו-BF:FC=1:2BF:FC=1:2. שורה אחת שגויה: מצאו אותה.

BF→=13BC→\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}
FC→=23BC→\overrightarrow{FC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}
FB→=13BC→\overrightarrow{FB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: FB→=13BC→\overrightarrow{FB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC} → FB→=−13BC→\overrightarrow{FB}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}

הפתרון:

FB→=−BF→\overrightarrow{FB}=-\overrightarrow{BF}

נגדי

מ-FF אל BB הולכים אחורה על BCBC: המקדם שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת