חיבור וחיסור וקטורים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

הולכים מ-AA אל BB, ואחר כך מ-BB אל CC. בסוף זזנו מ-AA אל CC.

AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}

כלל המשולש: הסוף של הראשון הוא ההתחלה של השני.

אפשר להמשיך את השרשרת כמה שרוצים: AB→+BC→+CD→=AD→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}. האות שבאמצע נעלמת.

כמה שווה AB→+BB′→+B′C′→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{B'C'}?

להציג את התשובה והפתרון

AC′→\overrightarrow{AC'}. בשרשרת נשארות רק האות הראשונה והאחרונה. וב-u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w}: u‾+w‾+v‾\underline{u}+\underline{w}+\underline{v}.

כלל המקבילית

שני וקטורים יוצאים מאותה נקודה. משלימים אותם למקבילית, והסכום הוא האלכסון שיוצא מאותה נקודה.

ABCD
AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}: האלכסון של המקבילית.
AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}

למה כלל המקבילית נותן אותה תוצאה כמו כלל המשולש?

להציג את התשובה והפתרון

כי AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}. לכן AB→+AD→=AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.

חיסור

לחסר וקטור = להוסיף את הנגדי שלו: u‾−v‾=u‾+(−v‾)\underline{u}-\underline{v}=\underline{u}+(-\underline{v}).

AC→−AB→=BC→\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}

שני וקטורים מאותה התחלה: ההפרש הולך מהסוף של המחוסר אל הסוף של הראשון.

ההפרש בתיבה

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline{w}. הביעו את BD′→\overrightarrow{BD'}.

BD′→=AD′→−AB→\overrightarrow{BD'}=\overrightarrow{AD'}-\overrightarrow{AB}

סוף פחות התחלה, שניהם מ-AA

AD′→=v‾+w‾\overrightarrow{AD'}=\underline{v}+\underline{w}

שרשרת: AD→+DD′→\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD'}

BD′→=−u‾+v‾+w‾\overrightarrow{BD'}=-\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}

הכלי הכי שימושי בפרק: כל וקטור הוא סוף פחות התחלה, מאותה נקודה: PQ→=AQ→−AP→\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}.

כמה שווה AD→−AB→\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}?

להציג את התשובה והפתרון

BD→\overrightarrow{BD}: מהסוף של AB→\overrightarrow{AB}, שהוא BB, אל הסוף של AD→\overrightarrow{AD}, שהוא DD.

שתי טעויות של שרשרת.

AB→+CD→=AD→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}
AB→+BD→=AD→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}

שרשרת עובדת רק כשהסוף של הראשון הוא ההתחלה של השני.

AC→−AB→=CB→\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}
AC→−AB→=BC→\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}

ההפרש הולך אל הסוף של הווקטור הראשון, CC.

תרגילים

תרגיל 1

כמה שווה PQ→+QR→\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}?

  1. PQ→+PR→\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{PR}
  2. PR→\overrightarrow{PR}
  3. QP→\overrightarrow{QP}
  4. RP→\overrightarrow{RP}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב PR→\overrightarrow{PR}

הפתרון:

PQ→+QR→=PR→\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}

כלל המשולש: QQ באמצע נעלמת

מ-PP אל QQ ואחר כך אל RR: בסוף זזנו מ-PP אל RR. RP→\overrightarrow{RP} הוא הנגדי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמה שווה KL→+MN→+LM→\overrightarrow{KL}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{LM}?

  1. KM→\overrightarrow{KM}
  2. NK→\overrightarrow{NK}
  3. LN→\overrightarrow{LN}
  4. KN→\overrightarrow{KN}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד KN→\overrightarrow{KN}

הפתרון:

KL→+LM→+MN→\overrightarrow{KL}+\overrightarrow{LM}+\overrightarrow{MN}

מסדרים לשרשרת: חיבור הוא חילופי

=KN→=\overrightarrow{KN}

הסדר בכתיבה לא חשוב בחיבור. מסדרים כך שכל סוף הוא התחלה של הבא, ואז נשארות רק KK ו-NN.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABCDA'B'C'D'

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D': AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline{w}. הביעו את AC′→\overrightarrow{AC'} בצורה αu‾+βv‾+γw‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w}.

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: α=\alpha= 1 ; β=\beta= 1 ; γ=\gamma= 1

הפתרון:

AC′→=AB→+BC→+CC′→\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC'}

שרשרת לאורך שלושה מקצועות

=u‾+v‾+w‾=\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}

BC→=v‾\overrightarrow{BC}=\underline{v}, CC′→=w‾\overrightarrow{CC'}=\underline{w}

אלכסון התיבה הוא סכום שלושת הווקטורים. מי שכתב 00 ל-γ\gamma עצר בבסיס, ב-CC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ABCDA'B'C'D'

באותה תיבה: הביעו את BD′→\overrightarrow{BD'} בצורה αu‾+βv‾+γw‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w}.

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: α=\alpha= -1 ; β=\beta= 1 ; γ=\gamma= 1

הפתרון:

BD′→=BA→+AD→+DD′→\overrightarrow{BD'}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD'}
=−u‾+v‾+w‾=-\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}

BA→=−u‾\overrightarrow{BA}=-\underline{u}

הצעד מ-BB אל AA הולך נגד u‾\underline{u}: המקדם −1-1, לא 11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABCDA'B'C'D'

באותה תיבה: הביעו את C′A→\overrightarrow{C'A}.

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: α=\alpha= -1 ; β=\beta= -1 ; γ=\gamma= -1

הפתרון:

C′A→=−AC′→\overrightarrow{C'A}=-\overrightarrow{AC'}

הנגדי של אלכסון התיבה

=−u‾−v‾−w‾=-\underline{u}-\underline{v}-\underline{w}

וקטור נגדי: כל המקדמים מחליפים סימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

לכל שלוש נקודות: AC→−AB→=CB→\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

AC→−AB→=AC→+BA→\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}

מוסיפים את הנגדי

=BA→+AC→=BC→=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}

שרשרת

ההפרש הוא BC→\overrightarrow{BC}, מ-BB אל CC. מי שענה «נכון» הפך את הכיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCD

במקבילית ABCDABCD: כמה שווה BA→+BC→\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}?

  1. DB→\overrightarrow{DB}
  2. AC→\overrightarrow{AC}
  3. BD→\overrightarrow{BD}
  4. CA→\overrightarrow{CA}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג BD→\overrightarrow{BD}

הפתרון:

BA→+BC→\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}

שני וקטורים מ-BB: כלל המקבילית

=BD→=\overrightarrow{BD}

האלכסון שיוצא מ-BB

שני הווקטורים יוצאים מ-BB, ולכן גם הסכום יוצא מ-BB. AC→\overrightarrow{AC} הוא האלכסון השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCDA'B'C'D'

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline{w}. שורה אחת שגויה: מצאו אותה.

BD′→=BA→+AD′→\overrightarrow{BD'}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD'}
BA→=−u‾\overrightarrow{BA}=-\underline{u}
AD′→=v‾−w‾\overrightarrow{AD'}=\underline{v}-\underline{w}
BD′→=−u‾+v‾−w‾\overrightarrow{BD'}=-\underline{u}+\underline{v}-\underline{w}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AD′→=v‾−w‾\overrightarrow{AD'}=\underline{v}-\underline{w} → AD′→=v‾+w‾\overrightarrow{AD'}=\underline{v}+\underline{w}

הפתרון:

AD′→=AD→+DD′→=v‾+w‾\begin{aligned}\overrightarrow{AD'} &= \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD'} \\ &= \underline{v}+\underline{w}\end{aligned}

DD′→\overrightarrow{DD'} עולה כמו w‾\underline{w}

D′D' מעל DD, ולכן +w‾+\underline{w}. הטעות עוברת גם לשורה האחרונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הווקטורים u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} מאונכים זה לזה, ∣u‾∣=6|\underline{u}|=6, ∣v‾∣=8|\underline{v}|=8. חשבו את ∣u‾+v‾∣|\underline{u}+\underline{v}|.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

∣u‾+v‾∣2=62+82=100\begin{aligned}|\underline{u}+\underline{v}|^2 &= 6^2+8^2 \\ &= 100\end{aligned}

כלל המקבילית: המקבילית היא מלבן, והסכום הוא האלכסון

∣u‾+v‾∣=10|\underline{u}+\underline{v}|=10

האורך של סכום אינו סכום האורכים: 6+8=146+8=14 נכון רק כששני הווקטורים באותו כיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABCDA'B'C'D'

בתיבה: סדרו את הווקטורים לשרשרת שמתחילה ב-AA ומסתיימת ב-C′C'.

  • AD→\overrightarrow{AD}
  • D′C′→\overrightarrow{D'C'}
  • DD′→\overrightarrow{DD'}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AD→\overrightarrow{AD} · DD′→\overrightarrow{DD'} · D′C′→\overrightarrow{D'C'}

הפתרון:

AD→+DD′→+D′C′→=AC′→\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD'}+\overrightarrow{D'C'}=\overrightarrow{AC'}

כל סוף הוא התחלה של הבא

מסלול אחר מ-AA אל C′C', ואותו סכום: u‾+v‾+w‾\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

כמה שווה MN→−MK→\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MK}?

  1. MN→+MK→\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MK}
  2. KN→\overrightarrow{KN}
  3. KM→\overrightarrow{KM}
  4. NK→\overrightarrow{NK}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב KN→\overrightarrow{KN}

הפתרון:

MN→−MK→=KM→+MN→\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MN}

מוסיפים את הנגדי, ומסדרים לשרשרת

=KN→=\overrightarrow{KN}

סוף פחות התחלה: מ-KK, הסוף של המחוסר, אל NN, הסוף של הראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

ABCDA'B'C'D'

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' (אותם u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w}): הביעו את A′C→\overrightarrow{A'C}.

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: α=\alpha= 1 ; β=\beta= 1 ; γ=\gamma= -1

הפתרון:

A′C→=A′A→+AC→\overrightarrow{A'C}=\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{AC}

יורדים, ואחר כך הולכים באלכסון הבסיס

=−w‾+(u‾+v‾)=u‾+v‾−w‾=-\underline{w}+(\underline{u}+\underline{v})=\underline{u}+\underline{v}-\underline{w}

האלכסון מ-A′A' יורד אל CC: המקדם של w‾\underline{w} הוא −1-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת