וקטורים בגופים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בבגרות הווקטורים נמצאים בתוך גוף: תיבה, מנסרה או פירמידה. מתחילים בלמצוא בגוף וקטורים שווים, נגדיים ומקבילים.

תיבה

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' יש שני בסיסים: ABCDABCD למטה, A′B′C′D′A'B'C'D' למעלה. המקצועות הצדדיים AA′AA', BB′BB', CC′CC', DD′DD' מחברים ביניהם.

כל פאה של התיבה היא מלבן, כלומר מקבילית. לכן בכל פאה יש שני זוגות של וקטורים שווים.

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D': כמה מקצועות נותנים וקטור שווה ל-AA′→\overrightarrow{AA'}, כולל AA′→\overrightarrow{AA'} עצמו?

להציג את התשובה והפתרון

ארבעה: AA′→\overrightarrow{AA'}, BB′→\overrightarrow{BB'}, CC′→\overrightarrow{CC'}, DD′→\overrightarrow{DD'}. כל המקצועות הצדדיים מקבילים, שווים, ועולים לאותו כיוון.

מנסרה

מנסרה: שני בסיסים חופפים ומקבילים, ומקצועות צדדיים שמחברים קודקודים מתאימים.

⊥\perp

מנסרה ישרה: המקצועות הצדדיים מאונכים לבסיס

∠\angle

מנסרה לא ישרה (משופעת): המקצועות הצדדיים נוטים

ABCA'B'C'
מנסרה משולשת לא ישרה ABCA′B′C′ABCA'B'C'. גם כשהיא נוטה, המקצועות הצדדיים מקבילים ושווים.
AA′→=BB′→=CC′→\begin{aligned}\overrightarrow{AA'} &= \overrightarrow{BB'} \\ &= \overrightarrow{CC'}\end{aligned}

במנסרה ABCA′B′C′ABCA'B'C': איזה וקטור שווה ל-AB→\overrightarrow{AB}?

להציג את התשובה והפתרון

A′B′→\overrightarrow{A'B'}. הבסיס העליון הוא העתקה של הבסיס התחתון, וכל פאה צדדית היא מקבילית.

פירמידה

פירמידה: בסיס (מצולע), וקודקוד אחד מעליו שמחובר לכל קודקודי הבסיס.

SS

פירמידה ישרה: הקודקוד נמצא בדיוק מעל מרכז הבסיס

SS

פירמידה לא ישרה: הקודקוד במקום אחר, למשל מעל אחד מקודקודי הבסיס

ABCS
פירמידה לא ישרה ABCSABCS: המקצוע ASAS עולה ישר למעלה מהקודקוד AA.

בפירמידה SABCDSABCD שהבסיס שלה ריבוע: האם SA→\overrightarrow{SA} ו-SB→\overrightarrow{SB} מקבילים?

להציג את התשובה והפתרון

לא. הם יוצאים מאותה נקודה SS לכיוונים שונים. כל המקצועות הצדדיים של פירמידה נפגשים בקודקוד, ולכן אף שניים מהם אינם מקבילים.

וקטורים שווים בגוף באים תמיד ממקבילית: פאה של תיבה, פאה צדדית של מנסרה, או בסיס שהוא מקבילית.

אורך שווה הוא לא וקטור שווה.

SA→=SC→\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{SC}
∣SA→∣=∣SC→∣SA→≠SC→\begin{aligned}|\overrightarrow{SA}| &= |\overrightarrow{SC}| \\ \quad \overrightarrow{SA} \neq \overrightarrow{SC}\end{aligned}

בפירמידה ישרה המקצועות הצדדיים שווים באורכם. אבל הם הולכים לכיוונים שונים.

A′A→=BB′→\overrightarrow{A'A}=\overrightarrow{BB'}
A′A→=−BB′→\overrightarrow{A'A}=-\overrightarrow{BB'}

בתיבה AA′AA' ו-BB′BB' מקבילים, אבל A′A→\overrightarrow{A'A} יורד ו-BB′→\overrightarrow{BB'} עולה.

תרגילים

תרגיל 1

ABCDA'B'C'D'

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D': איזה וקטור שווה ל-AD→\overrightarrow{AD}?

  1. C′B′→\overrightarrow{C'B'}
  2. B′C′→\overrightarrow{B'C'}
  3. AD′→\overrightarrow{AD'}
  4. DA→\overrightarrow{DA}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב B′C′→\overrightarrow{B'C'}

הפתרון:

AD→=BC→=B′C′→=A′D′→\begin{aligned}\overrightarrow{AD} &= \overrightarrow{BC} \\ &= \overrightarrow{B'C'} \\ &= \overrightarrow{A'D'}\end{aligned}

ארבעה מקצועות מקבילים, באותו כיוון

C′B′→\overrightarrow{C'B'} נגדי: הוא הולך מ-C′C' חזרה אל B′B'. AD′→\overrightarrow{AD'} הוא אלכסון של פאה, לא מקצוע מקביל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ABCDA'B'C'D'

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D': איזה וקטור נגדי ל-BB′→\overrightarrow{BB'}?

  1. BA→\overrightarrow{BA}
  2. DD′→\overrightarrow{DD'}
  3. B′C′→\overrightarrow{B'C'}
  4. D′D→\overrightarrow{D'D}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד D′D→\overrightarrow{D'D}

הפתרון:

BB′→=DD′→\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{DD'}

שני מקצועות צדדיים, עולים

D′D→=−DD′→=−BB′→\begin{aligned}\overrightarrow{D'D} &= -\overrightarrow{DD'} \\ &= -\overrightarrow{BB'}\end{aligned}

יורד

DD′→\overrightarrow{DD'} שווה ל-BB′→\overrightarrow{BB'}: גם הוא עולה. הנגדי חייב לרדת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABCDA'B'C'D'

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. מיינו: שווה ל-AB→\overrightarrow{AB}, או נגדי לו.

  • שווה ל-AB→\overrightarrow{AB}
  • נגדי ל-AB→\overrightarrow{AB}
  • A′B′→\overrightarrow{A'B'}
  • B′A′→\overrightarrow{B'A'}
  • C′D′→\overrightarrow{C'D'}
  • CD→\overrightarrow{CD}
  • D′C′→\overrightarrow{D'C'}
  • DC→\overrightarrow{DC}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: DC→\overrightarrow{DC} — שווה ל-AB→\overrightarrow{AB} · A′B′→\overrightarrow{A'B'} — שווה ל-AB→\overrightarrow{AB} · D′C′→\overrightarrow{D'C'} — שווה ל-AB→\overrightarrow{AB} · CD→\overrightarrow{CD} — נגדי ל-AB→\overrightarrow{AB} · B′A′→\overrightarrow{B'A'} — נגדי ל-AB→\overrightarrow{AB} · C′D′→\overrightarrow{C'D'} — נגדי ל-AB→\overrightarrow{AB}

הפתרון:

AB∥DC∥A′B′∥D′C′AB \parallel DC \parallel A'B' \parallel D'C'

ארבעה מקצועות מקבילים

כל הקטעים באותו אורך ומקבילים. מה שמבדיל הוא מאיפה לאן: מהצלע של AA ו-DD אל הצלע של BB ו-CC, או להפך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ABCA'B'C'

במנסרה ABCA′B′C′ABCA'B'C' לא ישרה: AA′→=CC′→\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{CC'}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

AA′C′CAA'C'C

פאה צדדית של מנסרה היא מקבילית

AA′→=CC′→\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{CC'}

צלעות נגדיות במקבילית

גם במנסרה שנוטה, הפאות הצדדיות הן מקביליות. מי שענה «לא נכון» חשב שצריך מקצועות מאונכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABCS

בפירמידה ABCSABCS: SB→\overrightarrow{SB} מקביל ל-SC→\overrightarrow{SC}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

SB∩SC={S}SB \cap SC=\{S\}

שני המקצועות נפגשים ב-SS

שני ישרים שנפגשים בנקודה אחת אינם מקבילים. לכן אין לפירמידה מקצועות צדדיים מקבילים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

התאימו כל גוף לתיאור שלו.

  • מנסרה ישרה
  • מנסרה לא ישרה
  • פירמידה
  • תיבה
  • כל המקצועות הצדדיים נפגשים בנקודה אחת
  • מקצועות צדדיים מאונכים לבסיס
  • מקצועות צדדיים מקבילים, אבל נוטים
  • שש פאות, כולן מלבנים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מנסרה ישרה — מקצועות צדדיים מאונכים לבסיס · מנסרה לא ישרה — מקצועות צדדיים מקבילים, אבל נוטים · פירמידה — כל המקצועות הצדדיים נפגשים בנקודה אחת · תיבה — שש פאות, כולן מלבנים

הפתרון:

AA′∥BB′AA' \parallel BB'

במנסרה המקצועות מקבילים

SA∩SB={S}SA \cap SB=\{S\}

בפירמידה הם נפגשים

ההבדל בין מנסרה לפירמידה: במנסרה המקצועות הצדדיים מקבילים, בפירמידה הם נפגשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCDA'B'C'D'

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D': כמה מ12 המקצועות נותנים וקטור מקביל ל-AB→\overrightarrow{AB} (שווה או נגדי), כולל ABAB עצמו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

AB, DC, A′B′, D′C′AB ,\ DC ,\ A'B' ,\ D'C'

קבוצה אחת של מקצועות מקבילים

בתיבה יש שלוש קבוצות של ארבעה מקצועות מקבילים: 4⋅3=124 \cdot 3=12. הכיוון לא משנה למקבילות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCDA'B'C'D'

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D': AB=3AB=3, AD=4AD=4, AA′=12AA'=12. חשבו את ∣AC′→∣|\overrightarrow{AC'}|.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

∣AC→∣2=32+42=25\begin{aligned}|\overrightarrow{AC}|^2 &= 3^2+4^2 \\ &= 25\end{aligned}

אלכסון הבסיס

∣AC′→∣2=25+122=169\begin{aligned}|\overrightarrow{AC'}|^2 &= 25+12^2 \\ &= 169\end{aligned}

במשולש ACC′ACC', הזווית ב-CC ישרה

∣AC′→∣=13|\overrightarrow{AC'}|=13

שני צעדים של פיתגורס: קודם אלכסון הבסיס, אחר כך אלכסון התיבה. 3+4+12=193+4+12=19 הוא לא אורך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABCDS

בפירמידה SABCDSABCD הבסיס ABCDABCD הוא מקבילית. איזה שוויון נכון?

  1. AD→=CB→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}
  2. SA→=SC→\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{SC}
  3. AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
  4. SB→=DS→\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{DS}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}

הפתרון:

AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}

הבסיס מקבילית

השוויונות היחידים בפירמידה הם בתוך הבסיס. CB→\overrightarrow{CB} נגדי ל-AD→\overrightarrow{AD}, לא שווה לו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABCDA'B'C'D'

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. שורה אחת שגויה: מצאו אותה.

AA′→=CC′→\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{CC'}
B′C′→=AD→\overrightarrow{B'C'}=\overrightarrow{AD}
DD′→=B′B→\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{B'B}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: DD′→=B′B→\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{B'B} → DD′→=BB′→\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{BB'}

הפתרון:

DD′→=BB′→\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{BB'}

שניהם עולים

B′B→\overrightarrow{B'B} יורד, ו-DD′→\overrightarrow{DD'} עולה: הם נגדיים, לא שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

ABCDA'B'C'D'

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D': כמה וקטורים בין שני קודקודים של התיבה שווים ל-AC→\overrightarrow{AC}, כולל AC→\overrightarrow{AC} עצמו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

AC→=A′C′→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A'C'}

ACC′A′ACC'A' היא מלבן

BD→≠AC→\overrightarrow{BD}\neq \overrightarrow{AC}

האלכסון השני של הבסיס הולך לכיוון אחר

רק AC→\overrightarrow{AC} ו-A′C′→\overrightarrow{A'C'}. BD→\overrightarrow{BD} הוא אלכסון של אותו בסיס, אבל בכיוון אחר: אורך שווה, וקטור שונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

ABCA'B'C'

במנסרה ישרה ABCA′B′C′ABCA'B'C': AB=6AB=6 ו-AA′=8AA'=8. חשבו את ∣AB′→∣|\overrightarrow{AB'}|.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

∣AB′→∣2=62+82|\overrightarrow{AB'}|^2=6^2+8^2

הפאה ABB′A′ABB'A' היא מלבן, כי המנסרה ישרה

∣AB′→∣=10|\overrightarrow{AB'}|=10

במנסרה ישרה הפאה הצדדית היא מלבן, ולכן פיתגורס עובד. במנסרה לא ישרה היא רק מקבילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת