מהו וקטור

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

טמפרטורה היא מספר אחד, למשל 25∘25^\circ. אבל תזוזה של 33 ק״מ לא מספיקה: צריך לדעת גם לאן.

וקטור הוא גודל שיש לו אורך וגם כיוון. מציירים אותו כחץ: קטע עם נקודת התחלה ונקודת סוף.

איך כותבים וקטור

AB→\overrightarrow{AB}

הווקטור מ-AA אל BB: AA היא ההתחלה, BB הסוף

u‾\underline{u}

וקטור בשם של אות: קו מתחת לאות

∣AB→∣|\overrightarrow{AB}|

האורך של הווקטור: מספר

מה ההבדל בין AB→\overrightarrow{AB} ל-BA→\overrightarrow{BA}?

להציג את התשובה והפתרון

אותו אורך, אבל כיוון הפוך: הראשון הולך מ-AA אל BB, והשני חוזר מ-BB אל AA.

וקטורים שווים

שני וקטורים שווים אם יש להם אותו אורך ואותו כיוון. לא משנה איפה הם מתחילים.

AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}

במקבילית ABCDABCD: צלעות נגדיות מקבילות ושוות.

ABCDABCD מקבילית. איזה וקטור שווה ל-AD→\overrightarrow{AD}?

להציג את התשובה והפתרון

BC→\overrightarrow{BC}. לא CB→\overrightarrow{CB}: הוא הולך בכיוון ההפוך.

וקטורים נגדיים

שני וקטורים נגדיים אם יש להם אותו אורך וכיוון הפוך. הנגדי של u‾\underline{u} הוא −u‾-\underline{u}.

BA→=−AB→\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}

וקטורים מקבילים

שני וקטורים מקבילים אם הם על ישרים מקבילים, או על אותו ישר. הכיוון זהה או הפוך, והאורך יכול להיות שונה.

אמצע של צלע

במקבילית ABCDABCD, הנקודה EE היא אמצע הצלע ABAB.

AE→=12AB→\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}

אותו כיוון, חצי אורך

EA→=−12AB→\overrightarrow{EA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}

כיוון הפוך, חצי אורך

EB→=AE→\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{AE}

אותו אורך ואותו כיוון: שווים

וקטור האפס 0‾\underline{0}, למשל AA→\overrightarrow{AA}: האורך שלו 00, ואין לו כיוון.

שתי טעויות של אורך וכיוון.

∣AB→∣=∣CD→∣⇒AB→=CD→\begin{aligned}|\overrightarrow{AB}| &= |\overrightarrow{CD}| \Rightarrow \overrightarrow{AB} \\ &= \overrightarrow{CD}\end{aligned}
∣AB→∣=∣BA→∣AB→≠BA→\begin{aligned}|\overrightarrow{AB}| &= |\overrightarrow{BA}| \\ \quad \overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{BA}\end{aligned}

אותו אורך לא מספיק. וקטורים שווים צריכים גם אותו כיוון.

AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}
AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}

במקבילית ABCDABCD הולכים מ-DD אל CC, באותו כיוון כמו מ-AA אל BB.

תרגילים

תרגיל 1

ABCD

במקבילית ABCDABCD: איזה וקטור שווה ל-AB→\overrightarrow{AB}?

  1. BA→\overrightarrow{BA}
  2. DC→\overrightarrow{DC}
  3. CD→\overrightarrow{CD}
  4. AC→\overrightarrow{AC}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב DC→\overrightarrow{DC}

הפתרון:

AB∥DCAB=DC\begin{aligned}AB \parallel DC \\ \quad AB &= DC\end{aligned}

צלעות נגדיות במקבילית

AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}

מ-DD אל CC הולכים לאותו כיוון כמו מ-AA אל BB

CD→\overrightarrow{CD} הוא נגדי ל-AB→\overrightarrow{AB}: אותו אורך, כיוון הפוך. סדר האותיות הוא הכיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ABCD

במקבילית ABCDABCD: איזה וקטור מתחיל ב-CC והוא נגדי ל-AD→\overrightarrow{AD}?

  1. CA→\overrightarrow{CA}
  2. CD→\overrightarrow{CD}
  3. CB→\overrightarrow{CB}
  4. BC→\overrightarrow{BC}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג CB→\overrightarrow{CB}

הפתרון:

AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}

צלעות נגדיות

CB→=−BC→=−AD→\begin{aligned}\overrightarrow{CB} &= -\overrightarrow{BC} \\ &= -\overrightarrow{AD}\end{aligned}

הופכים את הכיוון

BC→\overrightarrow{BC} שווה ל-AD→\overrightarrow{AD}, הוא לא נגדי לו, וגם לא מתחיל ב-CC. האות הראשונה היא ההתחלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

לכל שתי נקודות שונות AA ו-BB: AB→=BA→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

BA→=−AB→\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}

אותו אורך, כיוון הפוך

יש להם אותו אורך, אבל לא אותו כיוון. הם שווים רק כש-AA ו-BB הן אותה נקודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

אם ∣u‾∣=∣v‾∣|\underline{u}|=|\underline{v}|, אז u‾=v‾\underline{u}=\underline{v}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

∣AB→∣=∣BA→∣|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BA}|

דוגמה נגדית: אותו אורך

AB→≠BA→\overrightarrow{AB}\neq \overrightarrow{BA}

אבל כיוון הפוך

שוויון של אורכים הוא שוויון של מספרים. וקטורים שווים צריכים גם אותו כיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABCD

הריבוע ABCDABCD שאורך הצלע שלו 55. חשבו את ∣AC→∣|\overrightarrow{AC}|. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.07

הפתרון:

∣AC→∣2=52+52=50\begin{aligned}|\overrightarrow{AC}|^2 &= 5^2+5^2 \\ &= 50\end{aligned}

פיתגורס במשולש ABCABC

∣AC→∣=50≈7.07|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{50}\approx 7.07

האורך של וקטור הוא אורך הקטע שלו. מי שכתב 1010 חיבר את הצלעות במקום להשתמש בפיתגורס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCD

המלבן ABCDABCD, AB=8AB=8, BC=6BC=6. חשבו את ∣DB→∣|\overrightarrow{DB}|.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

∣DB→∣2=82+62=100\begin{aligned}|\overrightarrow{DB}|^2 &= 8^2+6^2 \\ &= 100\end{aligned}

פיתגורס במשולש DABDAB

∣DB→∣=10|\overrightarrow{DB}|=10

האורך לא תלוי בכיוון: ∣DB→∣=∣BD→∣=10|\overrightarrow{DB}|=|\overrightarrow{BD}|=10.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCDEFO

במשושה המשוכלל ABCDEFABCDEF, OO הוא המרכז. מיינו כל וקטור.

  • שווה ל-AB→\overrightarrow{AB}
  • נגדי ל-AB→\overrightarrow{AB}
  • CO→\overrightarrow{CO}
  • DE→\overrightarrow{DE}
  • ED→\overrightarrow{ED}
  • FO→\overrightarrow{FO}
  • OC→\overrightarrow{OC}
  • OF→\overrightarrow{OF}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: OC→\overrightarrow{OC} — שווה ל-AB→\overrightarrow{AB} · ED→\overrightarrow{ED} — שווה ל-AB→\overrightarrow{AB} · FO→\overrightarrow{FO} — שווה ל-AB→\overrightarrow{AB} · DE→\overrightarrow{DE} — נגדי ל-AB→\overrightarrow{AB} · OF→\overrightarrow{OF} — נגדי ל-AB→\overrightarrow{AB} · CO→\overrightarrow{CO} — נגדי ל-AB→\overrightarrow{AB}

הפתרון:

AB∥FC∥EDAB \parallel FC \parallel ED

במשושה משוכלל שלושה קטעים מקבילים

AB→=FO→=OC→=ED→\begin{aligned}\overrightarrow{AB} &= \overrightarrow{FO} \\ &= \overrightarrow{OC} \\ &= \overrightarrow{ED}\end{aligned}

כולם באורך הצלע, באותו כיוון

כל הקטעים מקבילים ושווים באורכם. רק סדר האותיות קובע אם הווקטור שווה או נגדי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

התאימו כל סימון למשמעות שלו.

  • AB→\overrightarrow{AB}
  • ∣AB→∣|\overrightarrow{AB}|
  • −u‾-\underline{u}
  • 0‾\underline{0}
  • האורך של הווקטור
  • הווקטור הנגדי ל-u‾\underline{u}
  • הווקטור מ-AA אל BB
  • וקטור האפס
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AB→\overrightarrow{AB} — הווקטור מ-AA אל BB · ∣AB→∣|\overrightarrow{AB}| — האורך של הווקטור · −u‾-\underline{u} — הווקטור הנגדי ל-u‾\underline{u} · 0‾\underline{0} — וקטור האפס

הפתרון:

AB→≠∣AB→∣\overrightarrow{AB} \ne |\overrightarrow{AB}|

וקטור מול מספר

הקווים ∣ ∣|\ | הופכים וקטור למספר: האורך שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABCDE

במקבילית ABCDABCD, EE היא אמצע הצלע ABAB. השלימו (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/31/3).

AE→=\overrightarrow{AE}= ____ AB→\overrightarrow{AB} ; BE→=\overrightarrow{BE}= ____ AB→\overrightarrow{AB}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AE→=\overrightarrow{AE}= 0.5 AB→\overrightarrow{AB} ; BE→=\overrightarrow{BE}= -0.5 AB→\overrightarrow{AB}

הפתרון:

AE→=12AB→\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}

אותו כיוון, חצי אורך

BE→=−12AB→\overrightarrow{BE}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}

מ-BB חוזרים לכיוון AA

BE→\overrightarrow{BE} הולך אחורה, לכיוון AA: המקדם שלילי. מי שכתב 12\frac{1}{2} שכח את הכיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABCDE

במקבילית ABCDABCD, ∣AB→∣=14|\overrightarrow{AB}|=14, ו-EE היא אמצע ABAB. מהו ∣BE→∣|\overrightarrow{BE}|?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

BE→=−12AB→\overrightarrow{BE}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}
∣BE→∣=12⋅14=7\begin{aligned}|\overrightarrow{BE}| &= \frac{1}{2} \cdot 14 \\ &= 7\end{aligned}

אורך הוא תמיד חיובי

המקדם −12-\frac{1}{2} אומר כיוון הפוך, אבל האורך לא יכול להיות שלילי: 77, לא −7-7.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

ABCD

במקבילית ABCDABCD. שורה אחת שגויה: מצאו אותה.

AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
AD→=CB→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}
BA→=CD→\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AD→=CB→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB} → AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}

הפתרון:

AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}

מ-AA אל DD כמו מ-BB אל CC

CB→\overrightarrow{CB} נגדי ל-AD→\overrightarrow{AD}: אותו אורך, כיוון הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

ABCDEFO

במשושה המשוכלל ABCDEFABCDEF שמרכזו OO: כמה מהווקטורים OC→\overrightarrow{OC}, ED→\overrightarrow{ED}, FO→\overrightarrow{FO}, DE→\overrightarrow{DE} שווים ל-AB→\overrightarrow{AB}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

OC→=ED→=FO→=AB→\begin{aligned}\overrightarrow{OC} &= \overrightarrow{ED} \\ &= \overrightarrow{FO} \\ &= \overrightarrow{AB}\end{aligned}
DE→=−AB→\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{AB}

הרביעי נגדי

DE→\overrightarrow{DE} מקביל ל-AB→\overrightarrow{AB} ובאותו אורך, אבל בכיוון ההפוך. לכן התשובה 33, לא 44.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת