נקודות, ישרים ומרחקים · מעגל ומקומות גאומטריים · כיתה י״ב

שלושה כלים של נקודות וישרים, שמכינים את כל הפרק: חלוקת קטע ביחס, מרחק של נקודה מישר, ומרחק בין ישרים מקבילים.

\begin{aligned}AK : KB &= m : n \Rightarrow K \\ &= \left(\frac{n x_A + m x_B}{m + n},\ \frac{n y_A + m y_B}{m + n}\right)\end{aligned}

בחלוקה פנימית

$A(1, 2)$ , $B(7, -1)$ , $AK : KB = 2 : 1$

\begin{aligned}K &= \left(\frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 7}{3},\ \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1)}{3}\right) \\ &= (5,\ 0)\end{aligned}

הנקודה קרובה יותר ל- $B$

מרחק של נקודה מישר

d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

הנקודה $(x_0, y_0)$ , הישר $ax + by + c = 0$

המרחק מ- $(3, 4)$ לישר $3x + 4y - 5 = 0$

\frac{|9 + 16 - 5|}{5} = 4

מה המרחק בין הישרים $3x + 4y - 5 = 0$ ו- $3x + 4y + 10 = 0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

נקודה על הראשון: $(0, 1.25)$ . מרחקה מהשני: $\frac{|0 + 5 + 10|}{5} = 3$ .

הישר בצורה $ax + by + c = 0$ .

\begin{aligned}y &= 2x + 1 : \ d \\ &= \frac{|2x_0 + 1 - y_0|}{\sqrt 5}\end{aligned}

\begin{aligned}2x - y + 1 &= 0 : \ d \\ &= \frac{|2x_0 - y_0 + 1|}{\sqrt{4 + 1}}\end{aligned}

מעבירים הכול לאגף אחד לפני שמציבים.

תרגילים

תרגיל 1

$A(1, 2)$ , $B(7, -1)$ , ו- $K$ על $AB$ עם $AK : KB = 2 : 1$ . מהו שיעור ה- $x$ של $K$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\frac{1 + 2 \cdot 7}{3}

$5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

$A(-2, 4)$ , $B(6, 0)$ , ו- $K$ על $AB$ עם $AK : KB = 1 : 3$ . מהו שיעור ה- $y$ של $K$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\frac{3 \cdot 4 + 1 \cdot 0}{4}

$3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חשבו את המרחק מ- $(3, 4)$ לישר $3x + 4y - 5 = 0$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\frac{|9 + 16 - 5|}{5}

$4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חשבו את המרחק מהראשית לישר $y = 2x + 5$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.236

הפתרון:

2x - y + 5 = 0

\frac{5}{\sqrt 5} = \sqrt 5

$\sqrt 5 \approx 2.236$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חשבו את המרחק בין הישרים $3x + 4y - 5 = 0$ ו- $3x + 4y + 10 = 0$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\frac{|-5 - 10|}{5}

$\frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

$3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המרחק מ- $(k, 0)$ , $k > 0$ , לישר $4x - 3y = 0$ הוא $8$ . מהו $k$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\frac{|4k|}{5} = 8

$k = 10$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הנקודות $(0, 0)$ ו- $(4, 2)$ באותו מרחק מהישר $x + 2y - 4 = 0$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\frac{|-4|}{\sqrt 5} = \frac{|4 + 4 - 4|}{\sqrt 5}

נכון: משני צדי הישר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

$M$ אמצע $AB$ , $A(2, 5)$ , $M(4, 1)$ . מהי $B$ ?

$(6,\ -3)$
$(6,\ 3)$
$(2,\ -4)$
$(3,\ 3)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $(6,\ -3)$

הפתרון:

B = 2M - A

$(6, -3)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

חשבו את המרחק מ- $(1, 1)$ לישר $x = 5$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

|1 - 5|

ישר אנכי: הפרש ב- $x$

$4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

$A(0, 0)$ , $B(8, 6)$ . נקודה $K$ על $AB$ , ו- $AK = 3$ . מהו שיעור ה- $x$ של $K$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.4

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 10 \Rightarrow AK : AB \\ &= 3 : 10\end{aligned}

x_K = 0.3 \cdot 8

$2.4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מרחק של נקודה מישר

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev