האסימפטוטות של ההיפרבולה · אליפסה והיפרבולה · כיתה י״ב

רחוק מהראשית, ההיפרבולה מתקרבת לשני ישרים: האסימפטוטות.

y = \pm \frac{b}{a}\,x

האסימפטוטות של $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$

y = \pm \tfrac{4}{3}x

דרך שעובדת תמיד: מחליפים את $1$ ב- $0$ ומפרקים. $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 0 \Rightarrow \left(\frac{x}{3} - \frac{y}{4}\right)\left(\frac{x}{3} + \frac{y}{4}\right) = 0$ .

היפרבולה שווה צלעות

כש- $a = b$ , המשוואה $x^2 - y^2 = a^2$ , והאסימפטוטות $y = \pm x$ : מאונכות זו לזו.

להיפרבולה קדקוד $(1, 0)$ ואסימפטוטות $y = \pm 2x$ . מה המשוואה?

להציג את התשובה והפתרון

$a = 1$ , $\frac{b}{a} = 2$ , $b = 2$ : $x^2 - \frac{y^2}{4} = 1$ .

בהיפרבולה $\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{9} = 1$ השיפוע אינו $\frac{3}{2}$ .

y = \pm \tfrac{3}{2}x

\begin{aligned}\tfrac{y^2}{4} &= \tfrac{x^2}{9} \Rightarrow y \\ &= \pm \tfrac{2}{3}x\end{aligned}

מחליפים את $1$ ב- $0$ , ולא זוכרים נוסחה בעל פה.

תרגילים

תרגיל 1

מהן האסימפטוטות של $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ ?

$y = \pm \frac{3}{4}x$
$y = \pm \frac{4}{3}x$
$y = \pm \frac{16}{9}x$
$y = \pm 12x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $y = \pm \frac{4}{3}x$

הפתרון:

\tfrac{b}{a} = \tfrac{4}{3}

$y = \pm \frac{4}{3}x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו השיפוע החיובי של אסימפטוטה של $\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

\tfrac{b}{a} = \tfrac{1}{2}

$0.5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

להיפרבולה קדקוד $(1, 0)$ ואסימפטוטות $y = \pm 2x$ . מהי המשוואה?

$x^2 - \frac{y^2}{2} = 1$
$x^2 - 4y^2 = 1$
$\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$
$x^2 - \frac{y^2}{4} = 1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x^2 - \frac{y^2}{4} = 1$

הפתרון:

\begin{aligned}a &= 1 \ ; \ b \\ &= 2\end{aligned}

$x^2 - \frac{y^2}{4} = 1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

האסימפטוטות של $x^2 - y^2 = 4$ מאונכות זו לזו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}y &= \pm x \ ; \ 1 \cdot (-1) \\ &= -1\end{aligned}

נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חשבו את הזווית החדה בין האסימפטוטות של $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$ , במעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

y = \pm \sqrt 3 x

\pm 60^\circ

עם ציר ה- $x$

180^\circ - 120^\circ

$60^\circ$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

להיפרבולה $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ אסימפטוטה $y = \frac{3}{4}x$ , ו- $c = 5$ . מהו $a$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}b &= \tfrac{3}{4}a \ ; \ a^2 + \tfrac{9}{16}a^2 \\ &= 25\end{aligned}

$4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהן האסימפטוטות של $\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{9} = 1$ ?

$y = \pm 6x$
$y = \pm \frac{2}{3}x$
$y = \pm \frac{4}{9}x$
$y = \pm \frac{3}{2}x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $y = \pm \frac{2}{3}x$

הפתרון:

\tfrac{y^2}{4} = \tfrac{x^2}{9}

$y = \pm \frac{2}{3}x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

להיפרבולה $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ אסימפטוטות $y = \pm \frac{x}{2}$ . מהו $b$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\tfrac{b}{4} = \tfrac{1}{2}

$2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

סדרו את השלבים של מציאת האסימפטוטות.

כותבים את המשוואה עם $0$ במקום $1$
מפרקים להפרש ריבועים
מקבלים שני ישרים דרך הראשית
משווים כל גורם לאפס

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: כותבים את המשוואה עם $0$ במקום $1$ · מפרקים להפרש ריבועים · משווים כל גורם לאפס · מקבלים שני ישרים דרך הראשית

הפתרון:

A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)

אפס, פירוק, שני ישרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מהו $c$ בהיפרבולה שווה הצלעות $x^2 - y^2 = 8$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

c^2 = 8 + 8

$4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

היפרבולה שווה צלעות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev