אליפסה כמקום גאומטרי · אליפסה והיפרבולה · כיתה י״ב

אליפסה היא המקום הגאומטרי של הנקודות שסכום המרחקים שלהן משתי נקודות קבועות הוא קבוע.

שתי הנקודות הן המוקדים $F_1$ ו- $F_2$ , והסכום הקבוע הוא $2a$ .

\begin{aligned}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} &= 1 \ \\ \ \ c^2 &= a^2 - b^2\end{aligned}

המוקדים $(\pm c, 0)$ , והסכום $2a$

מוקדים $(\pm 4, 0)$ , וסכום המרחקים $10$

\begin{aligned}2a &= 10 \Rightarrow a \\ &= 5 \ ; \ c \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}b^2 &= 25 - 16 \\ &= 9\end{aligned}

\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1

למה $b^2 = a^2 - c^2$ ? חשבו על הנקודה $(0, b)$ .

להציג את התשובה והפתרון

היא באותו מרחק משני המוקדים, ולכן כל מרחק הוא $a$ . פיתגורס: $a^2 = b^2 + c^2$ .

באליפסה $a$ הוא הגדול.

c^2 = a^2 + b^2

c^2 = a^2 - b^2

המוקדים בתוך האליפסה: $c < a$ . הסימן $+$ שייך להיפרבולה.

תרגילים

תרגיל 1

מהו $a$ באליפסה $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

a^2 = 25

$5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו $c$ באליפסה $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

c^2 = 25 - 9

$4$ : המוקדים $(\pm 4, 0)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$P$ על $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$ . מהו $PF_1 + PF_2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

2a = 2 \cdot 4

$8$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהי משוואת האליפסה שהמוקדים שלה $(\pm 3, 0)$ וסכום המרחקים שלה $10$ ?

$\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{91} = 1$
$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$
$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$
$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$

הפתרון:

\begin{aligned}a &= 5 \ ; \ b^2 \\ &= 25 - 9\end{aligned}

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הנקודה $(0, 3)$ על האליפסה $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

0 + 1 = 1

נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

$P$ על $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ , ו- $PF_1 = 7$ . חשבו את $PF_2$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

10 - 7

$3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

באליפסה המוקדים $(\pm 2, 0)$ ו- $a = 3$ . מהו $b^2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

9 - 4

$5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

סדרו את השלבים של מציאת משוואת אליפסה מהמוקדים ומהסכום.

כותבים $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
מוצאים $a$ מהסכום $2a$
מוצאים $c$ מהמוקדים
מחשבים $b^2 = a^2 - c^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מוצאים $a$ מהסכום $2a$ · מוצאים $c$ מהמוקדים · מחשבים $b^2 = a^2 - c^2$ · כותבים $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

הפתרון:

a,\ c,\ b

סכום, מוקדים, $b$ , משוואה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מיינו: אילו משוואות מתארות אליפסה?

אליפסה
לא אליפסה

$\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} = 1$
$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$
$4x^2 + y^2 = 4$
$x^2 - y^2 = 1$
$y^2 = 4x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ — אליפסה · $4x^2 + y^2 = 4$ — אליפסה · $x^2 - y^2 = 1$ — לא אליפסה · $y^2 = 4x$ — לא אליפסה · $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} = 1$ — אליפסה

הפתרון:

\text{שני ריבועים, שני מקדמים חיוביים}

$x^2 - y^2 = 1$ היפרבולה; $y^2 = 4x$ פרבולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חשבו את המרחק בין שני הקדקודים שעל ציר ה- $x$ של $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

2a = 12

$12$ : הציר הגדול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev