מוצאים פרמטר מתוך שטח · הפונקציה המעריכית · כיתה י״ב

בשאלות רבות נותנים את השטח, ומבקשים את הפרמטר. הפרמטר נמצא בדרך כלל באחד מגבולות האינטגרציה, למשל בישר $x = \ln a$ . העבודה היא כמו בחישוב שטח רגיל, אבל בסוף לא מקבלים מספר: מקבלים ביטוי עם $a$ , ומשווים אותו לשטח הנתון.

ארבעה צעדים

1

כותבים את השטח כאינטגרל, וגבולות האינטגרציה כוללים את $a$

2

מוצאים פונקציה קדומה

3

מציבים את הגבולות, ומקבלים ביטוי עם $a$

4

משווים לשטח הנתון ופותרים את המשוואה. בודקים שהפתרון מקיים את התנאי על $a$

בשטח שבציור, האם אפשר לבחור $a$ כך שהשטח יהיה $0.5$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כן. השטח שווה $2a$ , ולכן $a = 0.25$ . אין לזה בעיה: $\ln 0.25$ הוא מספר שלילי, והרצועה פשוט עוברת לצד השמאלי של ציר ה- $y$ . הדרישה היחידה היא $a > 0$ , כדי ש- $\ln a$ יהיה מוגדר.

כשהפונקציה הקדומה היא ln

פעילות אינטראקטיבית

שטח עם פרמטר, צעד אחרי צעד

\int_0^{\ln a} \frac{e^x}{e^x + 2}\,dx = \ln 2 \quad (a > 1)

לחצו «להתחיל». המונה $e^x$ הוא בדיוק הנגזרת של המכנה $e^x + 2$ .

פונקציה קדומה

\int \frac{e^x}{e^x + 2}\,dx = \ln(e^x + 2) + C

נגזרת המכנה נמצאת במונה, ולכן הפונקציה הקדומה היא $\ln$ של המכנה. אין צורך בערך מוחלט: $e^x + 2 > 0$ .

מציבים

\ln(e^{\ln a} + 2) - \ln(e^0 + 2) = \ln(a + 2) - \ln 3

$e^{\ln a} = a$ ו- $e^0 = 1$ .

כלל הלוגריתם

\ln\frac{a + 2}{3} = \ln 2

הפרש של שני $\ln$ הוא $\ln$ של המנה.

פותרים

\begin{aligned}\frac{a + 2}{3} &= 2 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

$\ln$ שווים, ולכן גם המספרים שווים. $a = 4$ מקיים את התנאי $a > 1$ .

בכל שאלה כזאת השלב האחרון הוא משוואה: לפעמים לינארית, לפעמים עם $e^a$ , ולפעמים עם $\ln$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

שטח או אינטגרל? אם הגרף מתחת לציר ה- $x$ בקטע, האינטגרל שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט שלו. לפני שמשווים לשטח הנתון, בודקים את הסימן של הפונקציה בקטע.

הטעות של סדר הגבולות.

F(\ln a) - F(\ln 3a)

F(\ln 3a) - F(\ln a)

מציבים קודם את הגבול העליון, ומחסירים את הערך בגבול התחתון. סדר הפוך נותן שטח שלילי, ואז גם $a$ יוצא שלילי.

תרגילים

תרגיל 1

השטח המוגבל על ידי הגרף של $y = e^x$ , ציר ה- $x$ והישרים $x = \ln a$ ו- $x = \ln(3a)$ הוא $8$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\int_{\ln a}^{\ln 3a} e^x\,dx = e^{\ln 3a} - e^{\ln a}

= 3a - a = 2a

\begin{aligned}2a &= 8 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

$a = 4$ . $e^{\ln 3a} = 3a$ , ולא $3e^a$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

השטח המוגבל על ידי הגרף של $y = e^{-x}$ , ציר ה- $x$ , ציר ה- $y$ והישר $x = a$ (כאשר $a > 0$ ) הוא $0.75$ . מצאו את $a$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.386

הפתרון:

\begin{aligned}\int_0^a e^{-x}\,dx &= \left[-e^{-x}\right]_0^a \\ &= 1 - e^{-a}\end{aligned}

\begin{aligned}1 - e^{-a} &= 0.75 \Rightarrow e^{-a} \\ &= 0.25\end{aligned}

\begin{aligned}-a &= \ln 0.25 \Rightarrow a \\ &= \ln 4 \approx 1.386\end{aligned}

$a = \ln 4 \approx 1.386$ . הפונקציה הקדומה של $e^{-x}$ היא $-e^{-x}$ : שכחה של המינוס נותנת שטח שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

השטח המוגבל על ידי הגרף של $y = e^{2x}$ , ציר ה- $x$ , ציר ה- $y$ והישר $x = \ln a$ (כאשר $a > 1$ ) הוא $12$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}\int_0^{\ln a} e^{2x}\,dx &= \left[\tfrac{1}{2}e^{2x}\right]_0^{\ln a} \\ &= \frac{a^2 - 1}{2}\end{aligned}

$e^{2\ln a} = (e^{\ln a})^2 = a^2$

\begin{aligned}\frac{a^2 - 1}{2} &= 12 \Rightarrow a^2 \\ &= 25\end{aligned}

a = 5

$a = -5$ לא מקיים $a > 1$

$a = 5$ . התנאי $a > 1$ פוסל את הפתרון השלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

השטח המוגבל על ידי הגרף של $y = 2e^x$ , ציר ה- $x$ והישרים $x = \ln a$ ו- $x = \ln(a+1)$ שווה $2$ לכל $a > 0$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\int_{\ln a}^{\ln(a+1)} 2e^x\,dx = 2(a + 1) - 2a

= 2

הטענה נכונה: $a$ מתבטל. רצועה שרוחבה גדל פי $\frac{a+1}{a}$ בין שני ישרים של $\ln$ נותנת תמיד את אותו שטח מתחת ל- $e^x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + 2}$ . השטח המוגבל על ידי הגרף שלה, ציר ה- $x$ , ציר ה- $y$ והישר $x = \ln a$ (כאשר $a > 1$ ) הוא $\ln 3$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

\int_0^{\ln a} \frac{e^x}{e^x + 2}\,dx = \ln(a + 2) - \ln 3

\begin{aligned}\ln\frac{a + 2}{3} &= \ln 3 \Rightarrow \frac{a + 2}{3} \\ &= 3\end{aligned}

a = 7

$a = 7$ . לא לשכוח את $\ln 3$ שמגיע מהגבול התחתון $x = 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$ . השטח המוגבל על ידי הגרף שלה, ציר ה- $x$ והישרים $x = \ln a$ ו- $x = \ln(3a)$ הוא $\ln 2$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\left[\ln(e^x + 1)\right]_{\ln a}^{\ln 3a} = \ln(3a + 1) - \ln(a + 1)

\frac{3a + 1}{a + 1} = 2

\begin{aligned}3a + 1 &= 2a + 2 \Rightarrow a \\ &= 1\end{aligned}

$a = 1$ . כאן השטח הוא $\ln$ של מנה, ולכן משווים את המנה ל- $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

השטח המוגבל על ידי הגרפים של $y = e^x$ ו- $y = e^{-x}$ והישר $x = a$ (כאשר $a > 0$ ) הוא $1.5$ . מצאו את $a$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.159

הפתרון:

\int_0^a (e^x - e^{-x})\,dx = e^a + e^{-a} - 2

הגרפים נחתכים ב- $x = 0$ , ומימין $e^x$ למעלה

\begin{aligned}e^a + e^{-a} &= 3.5 \Rightarrow t^2 - 3.5t + 1 \\ &= 0 \ (t = e^a)\end{aligned}

כופלים ב- $t$

t = \frac{3.5 + \sqrt{8.25}}{2} \approx 3.186

$t > 1$ כי $a > 0$

a = \ln t \approx 1.159

$a \approx 1.159$ . הפתרון השני, $t \approx 0.314$ , נותן $a < 0$ , ולכן נפסל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

השטח המוגבל על ידי הגרף של $y = e^{-x}$ , ציר ה- $x$ , ציר ה- $y$ והישר $x = -a$ (כאשר $a > 0$ ) הוא $3$ . איזו משוואה מקיים $a$ ?

$e^a + 1 = 3$
$e^{-a} = 3$
$e^a - 1 = 3$
$1 - e^{-a} = 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $e^a - 1 = 3$

הפתרון:

\begin{aligned}\int_{-a}^0 e^{-x}\,dx &= \left[-e^{-x}\right]_{-a}^0 \\ &= -1 + e^{a}\end{aligned}

\begin{aligned}e^a - 1 &= 3 \Rightarrow a \\ &= \ln 4\end{aligned}

$e^a - 1 = 3$ . המשוואה $1 - e^{-a} = 3$ שייכת לקטע $[0, a]$ , ואין לה פתרון כאן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

השטח המוגבל על ידי הגרף של $y = xe^{x^2}$ , ציר ה- $x$ והישר $x = a$ (כאשר $a > 0$ ) הוא $4$ . מצאו את $a$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.482

הפתרון:

\begin{aligned}\int_0^a xe^{x^2}\,dx &= \left[\tfrac{1}{2}e^{x^2}\right]_0^a \\ &= \frac{e^{a^2} - 1}{2}\end{aligned}

$2x$ הוא הנגזרת של המעריך $x^2$

\begin{aligned}e^{a^2} &= 9 \Rightarrow a^2 \\ &= \ln 9\end{aligned}

a = \sqrt{\ln 9} \approx 1.482

$a = \sqrt{\ln 9} \approx 1.482$ . הגרף פוגש את ציר ה- $x$ רק בראשית, ולכן הגבול התחתון הוא $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

לכל $0 < a < b$ , השטח מתחת לגרף של $y = e^x$ בין הישרים $x = \ln a$ ו- $x = \ln b$ שווה $b - a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\int_{\ln a}^{\ln b} e^x\,dx &= e^{\ln b} - e^{\ln a} \\ &= b - a\end{aligned}

הטענה נכונה, והיא קיצור שימושי: בין שני ישרים של $\ln$ , השטח מתחת ל- $e^x$ הוא ההפרש בין המספרים שבתוך ה- $\ln$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

ארבעה צעדים

כשהפונקציה הקדומה היא ln

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev