הנגזרת של eˣ

תמליל

איזו פונקציה מקיימת שבכל מקום לאורך הגרף שלה, שיפוע המשיק m שווה בדיוק לגובה y של הנקודה? זוהי הפונקציה e בחזקת x. הנגזרת של e בחזקת x שווה ל-e בחזקת x עצמה. אבל זה נכון אך ורק כאשר המעריך הוא x לבד. כשבמעריך יש ביטוי אחר, f של x, הנגזרת של e בחזקת f של x שווה ל-f תג של x כפול e

בחזקת f של x: תמיד כופלים בנגזרת של המעריך. חשוב להבדיל: בביטוי e בחזקת x בריבוע, כאשר ה-x בריבוע נמצא בתוך המעריך, הנגזרת היא שני x כפול e בחזקת x בריבוע. לעומת זאת, e בחזקת x, בסוגריים הכול בריבוע, שווה ל-e בחזקת שני x, כי בחזקה של חזקה כופלים מעריכים. מהי הנגזרת של e בחזקת מינוס x? והאם היא חיובית או שלילית?

הנגזרת של e בחזקת מינוס x שווה למינוס אחת כפול e בחזקת מינוס x, כלומר מינוס e בחזקת מינוס x. כיוון ש-e בחזקת מינוס x גדול מאפס, הנגזרת שלילית לכל x, ולכן הפונקציה יורדת בכל התחום. לסיכום, בכל גזירה של e בחזקה בודקים את המעריך: הנגזרת של e בחזקת f של x היא תמיד f תג של x כפול e בחזקת f של x.