מאיפה בא המספר e · הפונקציה המעריכית · כיתה י״ב

בנק נדיב במיוחד נותן 100% ריבית לשנה. מפקידים שקל אחד, ובסוף השנה יש בחשבון 2 שקלים. ומה אם הבנק יחלק את הריבית לחלקים: חצי מהריבית כל חצי שנה, או חלק קטן כל חודש? בכל פעם, הסכום שנצבר — כולל הריבית — מקבל ריבית. האם כך אפשר להתעשר בלי גבול?

פעילות אינטראקטיבית

פעם בשנה: כל הריבית מגיעה בבת אחת, $(1+1)^1 = 2$ . יש 2 שקלים.

פעמיים בשנה: חצי מהריבית בכל פעם, $\left(1+\frac{1}{2}\right)^2 = 2.25$ . בחצי השנה השנייה מקבלים ריבית גם על הריבית של החצי הראשון.

כל חודש: $\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.613$ . הסכום עדיין גדל.

כל יום: $\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365} \approx 2.7146$ . הגידול כבר קטן מאוד.

כל שעה: $\left(1+\frac{1}{8760}\right)^{8760} \approx 2.7181$ . הסכום כמעט לא זז: הוא מתקרב למספר קבוע, $e$ .

מההתחלה

המספר מתחת לכל עמודה הוא מספר הפעמים בשנה שבהן מחושבת הריבית. הקו המקווקו הוא $e$ : העמודות מתקרבות אליו ולא עוברות אותו.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם הסכום יגיע ל-3 אם נחשב ריבית כל שנייה?

להציג את התשובה והפתרון

לא. הסכום ממשיך לגדול, אבל הוא נעצר לפני $2.7183$ . זה הגבול שנקרא $e$ .

e = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \approx 2.71828

$e$ הוא הגבול של הסכום כשמספר החלקים שואף לאינסוף.

$e$ הוא מספר, בדיוק כמו $\pi$ : יש לו ערך קבוע, $2.71828\ldots$ , והספרות אחרי הנקודה לא נגמרות ולא חוזרות על עצמן. הוא לא שבר: אי אפשר לכתוב אותו כמנה של שני מספרים שלמים.

הטעות של העיגול.

e = 2.7

e \approx 2.718

$e$ לא שווה ל- $2.7$ , וגם לא לשום מספר עשרוני סופי. לכן כותבים $\approx$ ולא $=$ .

תרגילים

תרגיל 1

חשבו: $\left(1+\frac{1}{2}\right)^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.25

הפתרון:

\left(1+\frac{1}{2}\right)^2 = 1.5^2

ריבית של חצי, פעמיים בשנה

= 2.25

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו: $\left(1+\frac{1}{4}\right)^4$ . עגלו לארבע ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.4414

הפתרון:

\left(1+\frac{1}{4}\right)^4 = 1.25^4

ריבית של רבע, ארבע פעמים בשנה

= 1.5625^2 = 2.44140625 \approx 2.4414

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

איזה מהמספרים הבאים הכי קרוב ל- $e$ ?

$2.8$
$2.5$
$2.718$
$3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $2.718$

הפתרון:

e = 2.71828\ldots

הערך של $e$

|2.718 - e| < 0.001

ולכן $2.718$ הוא הקרוב ביותר

$2.8$ רחוק מ- $e$ בערך $0.08$ , ו- $2.5$ בערך $0.22$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ככל שמחשבים את הריבית בתדירות גבוהה יותר, הסכום בסוף השנה גדל בלי גבול.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < e

לכל $n$ , גם כשהוא גדול מאוד

הסכום אכן גדל, אבל יש לו גבול: הוא מתקרב ל- $e \approx 2.718$ ולעולם לא עובר אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מפקידים 1000 שקלים בריבית של 100% לשנה, והריבית מחושבת כל חודש. כמה כסף יהיה בחשבון בסוף השנה? חשבו $1000\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12}$ ועגלו לאגורות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2613.04

הפתרון:

\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.613035

בכל חודש מקבלים חלק אחד מתוך 12 של הריבית

1000 \cdot 2.613035 \approx 2613.04

שקלים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מפקידים 1000 שקלים בריבית של 5% לשנה, והריבית מחושבת כל חודש. חשבו $1000\left(1+\frac{0.05}{12}\right)^{12}$ ועגלו לאגורות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1051.16

הפתרון:

1+\frac{0.05}{12} \approx 1.0041667

הריבית של חודש אחד

1000 \cdot 1.0041667^{12} \approx 1051.16

שקלים

הרווח הוא קצת יותר מ-50 שקלים: הריבית על הריבית מוסיפה עוד $1.16$ שקלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

המספר $e$ נמצא בין $2$ ל- $3$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

2 < 2.718 < 3

$e \approx 2.718$

כבר בחישוב הראשון הסכום היה $2$ , והוא גדל אבל לא מגיע ל- $3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מהו $e$ מעוגל לשתי ספרות אחרי הנקודה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.72

הפתרון:

e = 2.71828\ldots \approx 2.72

הספרה השלישית אחרי הנקודה היא 8, ולכן מעגלים למעלה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הבנק מחלק את הריבית של 100% לעשרה חלקים שווים לאורך השנה. חשבו $\left(1+\frac{1}{10}\right)^{10}$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.594

הפתרון:

\left(1+\frac{1}{10}\right)^{10} = 1.1^{10}

בכל פעם מקבלים עשירית מהריבית, עשר פעמים בשנה

\begin{aligned}1.1^{2} &= 1.21 \ ; \ 1.1^{4} \\ &= 1.4641 \ ; \ 1.1^{8} \approx 2.1436\end{aligned}

מעלים בריבוע שוב ושוב

1.1^{10} = 1.1^{8} \cdot 1.1^{2} \approx 2.1436 \cdot 1.21 \approx 2.594

התוצאה בערך $2.594$ : יותר מ- $2.25$ של חצי שנה, ופחות מ- $e$ . הטעות הנפוצה היא לחשב $1 + \frac{1}{10} \cdot 10 = 2$ : החזקה היא כפל חוזר של $1.1$ , ולא כפל של $\frac{1}{10}$ ב- $10$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

סדרו מהקטן לגדול

$\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12}$
$\left(1+\frac{1}{2}\right)^{2}$
$\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365}$
$e$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\left(1+\frac{1}{2}\right)^{2}$ · $\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12}$ · $\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365}$ · $e$

הפתרון:

\left(1+\frac{1}{2}\right)^{2} = 2.25

פעמיים בשנה

\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.613

כל חודש

\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365} \approx 2.7146

כל יום

e \approx 2.71828

הגבול

ככל שמחלקים את הריבית ליותר חלקים הסכום גדל, אבל הוא תמיד נשאר קטן מ- $e$ . לכן $e$ אחרון, גם אחרי החישוב היומי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev