אינטגרל ושטח

תמליל

איזו פונקציה היא פונקציה קדומה של עצמה? מחפשים פונקציה קדומה F של f, כלומר פונקציה שהנגזרת שלה שווה ל-f של x. מכיוון שהנגזרת של e בחזקת x שווה ל-e בחזקת x, הפונקציה הזו היא פונקציה קדומה של עצמה. בעזרת פונקציה קדומה F מחשבים אינטגרל מסוים: F של b פחות F של a, כאשר a ו-b הם גבולות האינטגרציה.

האינטגרל של e בחזקת kx ועוד m, כל זה במעריך, שווה ל-1 חלקי k כפול e בחזקת kx ועוד m, כל זה במעריך, ועוד קבוע C. כאשר הפונקציה חיובית, האינטגרל שווה לשטח שבין הגרף לציר ה-x. כדי לחשב את השטח שבין y שווה e בחזקת x לבין y שווה 1 בין 0 ל-1, מחסרים בין הפונקציות: e בחזקת x עולה ונמצאת למעלה.

פונקציה קדומה של e בחזקת x פחות 1 היא e בחזקת x פחות x, ומציבים את הגבול העליון ומחסרים את הגבול התחתון. היזהרו מהטעות של מקדם במקום הלא נכון: האינטגרל של e בחזקת 3x, כל זה במעריך, שווה ל-1 חלקי 3 כפול e בחזקת 3x, כל זה במעריך, ועוד קבוע C. המקדם 3 יוצא בגזירה, ולכן בפונקציה הקדומה מחלקים בו.

האם האינטגרל של e בחזקת x מאפס עד שתיים גדול מ-2? נסו לענות לפני שאתם מחשבים.

כן. כאשר x בין אפס לשתיים מתקיים ש-e בחזקת x גדול או שווה ל-1. לכן השטח מתחת לגרף גדול משטח של מלבן שרוחבו שתיים וגובהו 1. חישוב האינטגרל מאשר: e בריבוע פחות 1, בערך 6.389. הערכת אינטגרל מאפשרת לקבל חסם לשטח בלי לחשב פונקציה קדומה: אם הפונקציה גדולה או שווה ל-1 בכל הקטע, האינטגרל גדול או שווה לשטח המלבן שמתחתיו.