פונקציות עם פרמטר

תמליל

לפעמים פונקציה נתונה עם פרמטר: אות כמו a שמייצגת מספר קבוע שאיננו יודעים. האם לגרף הפונקציה יש אסימפטוטה אנכית? מתברר שהתשובה תלויה בערך של a. נתבונן בפונקציה f של x שווה שבר: במונה e בחזקת x, ובמכנה a פחות e בחזקת x, כאשר נתון ש-a גדול מאפס.

אנו חוקרים את הפונקציה בדיוק כמו פונקציה רגילה, ומתייחסים ל-a כאל מספר. תחילה מחפשים איפה המכנה מתאפס. המכנה מתאפס רק כאשר x שווה לן של a, ביטוי שקיים כי a גדול מאפס. שם המונה שווה ל-a ולא לאפס, ולכן הישר x שווה לן של a הוא אסימפטוטה אנכית. ומה קורה כאשר a קטן מאפס?

האם גם אז יש לגרף אסימפטוטה אנכית?

אין אסימפטוטה אנכית. כאשר a קטן מאפס, המכנה a פחות e בחזקת x הוא מספר שלילי פחות מספר חיובי, ולכן הוא שלילי תמיד. המכנה אינו מתאפס לעולם והפונקציה מוגדרת לכל x. היזהרו מהטעות של הצבה מוקדמת: אין להציב למשל a שווה 1 כדי לקבל x שווה לן של 1, כלומר אפס.

תשובה עם a שווה 1 נכונה רק לפונקציה בודדת, ואילו השאלה מתייחסת לכל הפונקציות האפשריות. כאשר מבקשים להביע באמצעות a, משאירים את a עד סוף הפתרון. התשובה היא ביטוי עם a, למשל x שווה לן של a. מציבים מספר במקום a אך ורק אם השאלה מספקת נתון מספרי נוסף. זכרו: פרמטר הוא מספר קבוע שאינו ידוע מראש.

חקרו איתו כרגיל, והביאו בחשבון שמאפייני הפונקציה תלויים בערכים שהוא מקבל.