משיקים ונקודות קיצון

תמליל

כיצד מוצאים את משוואת המשיק לגרף של פונקציה, ומה הקשר בינו לבין נקודות הקיצון שלה? כדי לכתוב את משוואת המשיק לגרף של f בנקודה שבה x שווה x אפס, דרושים שני דברים: הנקודה x אפס פסיק f של x אפס, והשיפוע, f תג של x אפס. הנוסחה היא: y פחות f של x אפס שווה f תג של x אפס כפול, בסוגריים, x פחות x אפס. נבחן את הפונקציה y שווה e בחזקת x בנקודה שבה x שווה 1.

ערך הפונקציה f של 1 שווה e, וערך הנגזרת f תג של 1 שווה e. נציב בנוסחה: y פחות e שווה e כפול, בסוגריים, x פחות 1. לאחר בידוד y מתקבל המשיק y שווה e כפול x, העובר דרך ראשית הצירים. בנקודה שבה f תג של x אפס שווה אפס שיפוע המשיק הוא אפס, ולכן המשיק אופקי. בנקודה כזו יכולה להיות נקודת קיצון. לפונקציה f של x שווה e בחזקת x, ואחרי החזקה פחות 2 כפול x, יש נקודת קיצון.

באיזה x היא נמצאת, והאם זו נקודת מינימום או מקסימום?

הנגזרת היא f תג של x שווה e בחזקת x, ואחרי החזקה פחות 2. נשווה לאפס: e בחזקת x שווה 2, כלומר x שווה לן 2. משמאל לנקודה הנגזרת שלילית ומימין חיובית, ולכן זו נקודת מינימום. משיק אופקי מתקבל כאשר הערך של f תג בנקודה הוא אפס, ולא הערך של f. בנקודה שבה x שווה לן 2 הנגזרת שווה לאפס, אך ערך הפונקציה שם הוא 2 פחות 2 כפול לן 2,

שהוא בערך 0.614. כדי למצוא נקודת קיצון פותרים f תג של x שווה אפס, ובודקים שהסימן של f תג אכן מתחלף בנקודה.